\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage[dvips]{color} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small } \lfoot{\small{CAPES externe}} \rfoot{\small{27 novembre 2012}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} {\Large \textbf{CAPES épreuve 2 session 2013}} \end{center} \vspace{0,5cm} \begin{center}{\large DEUXIÈME COMPOSITION}\end{center} \hrule \begin{center}{\large Problème 1 : Puissances de matrices}\end{center} \hrule \vspace{1cm} \textbf{Rappels et notations} Étant donnés deux entiers naturels non nuls $p$ et $q$, $\mathcal{M}_{p,\:q}(\C)$ désigne l'ensemble des matrices à $p$ lignes et $q$ colonnes, à coefficients complexes.$d_{1}\quad \rput{-30}(0,0){\parallel}\quad d_{2}$ L'ensemble $\mathcal{M}_{p,\:p}(\C)$ est noté $\mathcal{M}_{p}(\C)$ et $I_{p}$ désigne la matrice identité de $\mathcal{M}_{p}(\C)$. On identifiera par la suite $\mathcal{M}_{p,\:1}(\C)$ et $\C^p$. \medskip Soit $\left(A_{n}\right)_{n \in \N}$ une suite de matrices de $\mathcal{M}_{p,~q}(\C)$. Pour tout entier $n$, on note $A_{n} = \left(a_{ij}(n)\right)_{\substack{1\leqslant i\leqslant p\\1 \leqslant j \leqslant q}}$. On dit que la suite $\left(A_{n}\right)_{n \in \N}$ est convergente, si pour tout couple $(i,~j)$ tel que $i \in \llbracket 1,~p\rrbracket$ et $j \in \llbracket 1,~q\rrbracket$, la suite $\left(a_{ij}(n)\right)_{n \in \N}$ converge dans $\C$. \medskip En posant $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(a_{i,~j}(n)\right) = l_{i,~j}$ et $L = \left(l_{i,~j}\right)$, on dit alors que la matrice $L$ est la limite de la suite $\left(A_{n}\right)_{n\in \N}$ et on note : $\displaystyle\lim_{n \to \infty} A_{n} = L$. \medskip Soit $A$ une matrice de $\mathcal{M}_{p}(\C)$. Pour tout entier naturel $n$, on note $A^n$ la puissance $n$-ième de la matrice $A$. Ce problème a pour but de déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que la suite $\left(A_{n}\right)_{n \in \N}$ converge dans $\mathcal{M}_{p}(\C)$. \medskip \begin{center} \textbf{Partie A : étude d'un exemple} \end{center} On considère les suites $\left(x_{n}\right)_{n \in \N}$ et $\left(y_{n}\right)_{n \in \N}$ définies par : \renewcommand\arraystretch{1.9} \[x_{0} \in \R,\: y_{0} \in \R\:\: \text{et}\:\: \forall n \in \N, \left\{\begin{array}{l c l} x_{n+1} &=& \dfrac{4}{5}x_{n} + \dfrac{2}{5}y_{n}\\ y_{n+1} &=& \dfrac{1}{5}x_{n} + \dfrac{3}{5}y_{n} \end{array}\right.\] \renewcommand\arraystretch{1} Dans cette partie, on pose $A = \dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}4 &2\\ 1& 3\end{pmatrix}$. \medskip \begin{enumerate} \item Pour $n \in \N$, exprimer $\begin{pmatrix} x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix}$ en fonction de $A^n$ et de $\begin{pmatrix} x_{0}\\y_{0}\end{pmatrix}$. \item Montrer qu'il existe une matrice diagonale $D$ de $\mathcal{M}_{2}(\C)$ telle que $A$ puisse s'écrire : \[A = P D P^{- 1}\] où $P$ désigne la matrice $\begin{pmatrix} 2&1\\1&- 1\end{pmatrix}$. \item Pour tout $n \in \N$, déterminer une expression de $A^n$ en fonction de $n$. \item Établir que la suite $\left(A^n\right)_{n \in \N}$ est convergente et préciser sa limite. \item Démontrer que les suites $\left(x_{n}\right)_{n \in \N}$ et $\left(y_{n}\right)_{n \in \N}$ convergent et déterminer les limites de ces suites en fonction de $x_{0}$ et $y_{0}$. \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Partie B : résultats préliminaires}\end{center} Soient $p$ et $q$ deux entiers naturels non nuls. \medskip \begin{enumerate} \item Soient $\left(A_{n}\right)_{n \in \N}$ et $\left(B_{n}\right)_{n \in \N}$ deux suites de matrices de $\mathcal{M}_{p,~q}(\C)$ qui convergent respectivement vers $L$ et $M$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(A_{n} + B_{n}\right) = L + M$. \item Soit $a \in \C$. Montrer que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(a A_{n}\right) = aL$. \item Soient $B \in \mathcal{M}_{p,~q}(\C)$ et $\left(a_{n}\right)_{n \in \N}$ une suite de nombres complexes qui converge vers $a \in \C$. Montrer que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} a_{n}B = aB$. \end{enumerate} \item Soit $\left(A_{n}\right)_{n \in \N}$ une suite de matrices de $\mathcal{M}_{p}(\C)$ qui converge vers $L$. \begin{enumerate} \item Soit $X \in \mathcal{M}_{p,~q}(\C)$. Démontrer que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} A_{n} X = LX$. \item Énoncer sans démonstration un résultat analogue pour la multiplication à droite. \end{enumerate} \item Soit $\left(A_{n}\right)_{n \in \N}$ une suite de matrices de $\mathcal{M}_{p}(\C)$ telle que : \[\forall X \in \C^P, \displaystyle\lim_{n \to + \infty} A_{n} X = 0\] Montrer que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} A_{n} = 0$. \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Partie C : condition nécessaire}\end{center} Dans la suite du problème, on note $u$ l'endomorphisme de $\C^p$ représenté par la matrice $A$ dans la base canonique. On définit, pour tout entier naturel $n$, $u_{n}$ par : \[u_{0} = \text{Id}_{\C^p}\quad \text{et}\quad u_{n+1} = u \circ u^n.\] On suppose dans cette partie que la suite $\left(A^{n}\right)_{n \in \N}$ converge. \medskip \begin{enumerate} \item Soit $\lambda$ une valeur propre de $u$ ($u \in \C$). \begin{enumerate} \item Montrer que $|\lambda \leqslant 1$. \item On suppose que $|\lambda = 1$. Montrer qu'alors $\lambda = 1$. \emph{On pourra considérer}\: $\left|\lambda^{n+1} - \lambda^n\right|$. \end{enumerate} \item Montrer que $\text{Ker}\: (u - \text{Id}) \cap \text{Im}(u - \text{Id}) = \{0\}$. \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Partie D : condition suffisante} \end{center} On note $\chi_{u}(X) = \det \left(A - XI_{p}\right)$ le polynôme caractéristique de $u$, où det désigne le déterminant de la matrice considérée. \medskip \begin{enumerate} \item Énoncer le théorème de d'Alembert-Gauss. \item En déduire que l'on peut écrire $\chi_{u}(X) = \det \left(A - XI_{p}\right) = \displaystyle\prod_{i=1}^p \left(\alpha_{i} - X\right)$, avec $\alpha_{i} \in \C$ pour tout entier $i \in \llbracket 1,~p\rrbracket$. \item Justifier le fait que $u$ admet dans une certaine base $\left(e_{1}, \ldots , e_{p}\right)$ une matrice $T$ de la forme : \[T = \begin{pmatrix} \alpha_{}&\ldots&\ldots&\ldots\\ &\alpha_{2}&\ldots&\ldots\\ &&\ddots&\ldots\\ 0&&&\alpha_{p} \end{pmatrix}\] \item On suppose dans cette question que $\left|\alpha_{i}\right| < 1$ pour tout entier $i \in \llbracket 1,~p\rrbracket$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u^n \left(e_{1}\right) = 0$. \item Montrer par récurrence que pour tout entier $i \in \llbracket 1,~p\rrbracket$, $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u^n \left(e_{i}\right) = 0$. \item En déduire la limite de $T^n$, puis celle de $A^n$. \end{enumerate} \item On note $\lambda{1}, ... , \lambda{m}$ les valeurs propres de $u$, deux à deux distinctes, avec $m \in \N^{\star}$. On suppose dans cette question que $\lambda_{1} = 1$ et $\left|\lambda_{i}\right| < 1$ pour tout entier $i$ tel que $2 \leqslant i \leqslant m$. On suppose également que Ker $(u - \text{Id}) \cap \text{Im}\: (u - \text{Id}) = \{0\}$. \begin{enumerate} \item Montrer que Ker$(u - \text{Id})$ et Im $(u - \text{Id})$ sont deux sous-espaces supplémentaires dans $\C^p$ stables par $u$. \item On note $u_{1}$ l'endomorphisme de Im $(u - \text{Id})$ induit par $u$. Montrer que toute valeur propre de $u_{1}$ est une valeur propre de $u$, distincte de $\lambda_{1}$. \item En remarquant que $u_{1}$ vérifie les hypothèses de la question 4, en déduire que $A^n$ converge et déterminer une matrice semblable à sa limite. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Partie E : conclusion et application} \end{center} \begin{enumerate} \item On note $\lambda_{1}, \ldots ,\lambda_{m}$ les valeurs propres de $A$, deux à deux distinctes, avec $m \in \N^{\star}$. Déduire des questions précédentes que la suite $\left(A_{n}\right)_{n \in \N}$ converge si et seulement si : \[\left\{\begin{array}{l} \forall i \in \llbracket 1, m\rrbracket, \quad \left|\lambda_{i}\right| < 1\\ \text{ou}\\ \lambda_{1} = 1,\: \text{Ker}\: (u - \text{Id}) \cap \text{Im} (u - \text{Id}) = \{0\} \:\text{et}\: \forall i \in \llbracket 2,~m\rrbracket, \: \left|\lambda_{i}\right| < 1 \end{array}\right.\] \item Déterminer si les suites $\left(A_{n}\right)_{n\in \N}$ sont convergentes, dans chacun des cas suivants : \begin{enumerate} \item $A = \begin{pmatrix} 0,2& 0,1\\ 0,2& 0,3 \\ \end{pmatrix}$ \item $A = \begin{pmatrix} 1&1&\text{i}\\ 0&\dfrac{\text{i}}{2}&1\\ 0&0&1\\ \end{pmatrix}$. \item $A = \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&- 6 + \dfrac{\text{i}}{2}&9\\ 0&- 4&6 + \dfrac{\text{i}}{2}\\ \end{pmatrix}$ \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \hrule \begin{center}{\large Problème 2 : quelques théorèmes d'arithmétique} \end{center} \hrule \bigskip On démontre dans la partie A un théorème de Lagrange dont on utilise le résultat pour démontrer le théorème de Wilson (partie B) et le théorème de Wolstenholme (partie C). \bigskip \begin{center}\textbf{Partie A : théorème de Lagrange}\end{center} \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout entier $n \geqslant 1$ et tout entier $k \in \llbracket 1,~n\rrbracket$ on a : \[k\binom{n}{k} = n\binom{n - 1}{k - 1}\] \item Montrer que pour tout entier premier $p$ et tout entier $k \in \llbracket 1,~p - 1\rrbracket$, $p$ divise $\binom{p}{k}$. \item Soit $p$ un entier premier impair. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : \[f(x) = \displaystyle \prod_{k=1}^{p - 1} (x + k)\] \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout réel $x$ on a : \[pf(x) = (x + 1)f(x + 1) - xf(x)\] \item Justifier l'existence d'un $p$-uplet d'entiers $\left(a_{0}, a_{1},~\ldots, a_{p-1}\right)$ tel que pour tout réel $x$ on a : \[f(x) = \displaystyle\sum_{k=0}^{p - 1} a_{k} x^{p-1-k}\] \item Montrer que $a_{0} = 1$ et $a_{p-1} = (p - 1)!$ \item À l'aide de la question 3 a et en faisant intervenir le binôme de Newton, montrer que pour tout entier $k \in \llbracket 0,~p - 1\rrbracket$ on a : \[pa_{k} = \displaystyle\sum_{i=0}^{k} \binom{p - i}{k + 1 - i}a_{i}\] \item En déduire que $a_{1} = \binom{p}{2}$ et que pour tout entier $k \in \llbracket 2,~ p - 1\rrbracket$ on a : \[ka_{k} = \binom{p}{k + 1} + \displaystyle\sum_{i=1}^{k - 1} \binom{p - i}{k + 1 - i}a_{i}\] \item En déduire le théorème de Lagrange : \og Si $p$ est un entier premier impair et si $f(x) = \displaystyle\prod_{k = 1}^{p - 1} (x + k) = \displaystyle\sum a_{k} x^{p - 1 - k}$ alors les coefficients $a_{1}, a_{2}, \ldots ,a_{p-2}$ sont divisibles par $p$ \fg. \emph{On pourra raisonner par récurrence.} \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \begin{center}\textbf{Partie B : théorème de Wilson} \end {center} On se propose de démontrer la propriété suivante, connue sous le nom de \og théorème de Wilson \fg{} : si $p$ est un entier premier alors $(p - 1)! \equiv -1 \quad (\bmod p)$. \medskip \begin{enumerate} \item Vérifier que la propriété est vraie pour $p = 2$. \item $p$ est maintenant un entier premier impair. \begin{enumerate} \item Montrer que: \[p! = 1 + \displaystyle\sum_{k = 1}^{p - 2} a_{k} + (p - 1)!\] (\emph{les entiers $\left(a_{i}\right)_{i\in \llbracket1,~p-2\rrbracket}$ sont ceux définis à la question A 3 b}) \item En déduire que $(p - 1)! \equiv - 1\quad (\bmod p)$. \end{enumerate} \item Montrer que la réciproque du théorème de Wilson est vraie. \item On se propose d'étudier ce que devient le théorème de Wilson pour les entiers non premiers strictement supérieurs à 4. \begin{enumerate} \item On suppose que $n > 4$ et que la décomposition en produit de facteurs premiers de $n$ comprend au moins deux facteurs premiers distincts. Montrer que $(n - 1)! \equiv 0 \quad (\bmod n)$. \item On suppose que $n > 4$ et que $n = p^{\alpha}$ où $p$ est un entier premier et $a$ est un entier strictement supérieur à $2$. Montrer que $(n - 1)! \equiv 0 \quad (\bmod n)$. \item On suppose que $n > 4$ et que $n = p^2$ où $p$ est un entier premier. Montrer que $1 < 2p < n$ et en déduire que $(n - 1)! \equiv 0 \quad (\bmod n)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center}\textbf{Partie C : théorème de Wolstenholme}\end{center} Pour tout entier $n \geqslant 1$, on considère le rationnel: \[H_{n} = \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k}\] On désigne par $s_{n}$ et $t_{n}$ les deux entiers naturels tels que : \[H_{n} = \dfrac{s_{n}}{t_{n}} \quad \text{et} \quad \text{pgcd} \left(s_{n},~t_{n}\right) = 1\] \begin{enumerate} \item Écrire un algorithme permettant d'obtenir pour $n$ allant de $2$ à $10$ les entiers $s_{n}$ et $t_{n}$ (on supposera qu'on dispose d'une instruction pgcd$(a,~b)$ qui renvoie le plus grand commun diviseur de deux entiers $a$ et $b$). \item Calculer $s_{4}, s_{6}$ et $s_{10}$ et vérifier que ces entiers sont divisibles respectivement par $5^2, 7^2$ et $11^2$. \hspace{-0,5cm}Dans la suite, $p$ désigne un nombre premier strictement supérieur à 3. \hspace{-0,5cm} On se propose de démontrer que l'entier $s_{p - 1}$ est divisible par $p^2$ (théorème de Wolstenholme). \item Montrer que $H_{p-1} = \dfrac{a_{p - 2}}{(p - 1)!}$ où $a_{p-2}$ est défini comme à la partie A. \emph{On pourra utiliser une relation liant les racines d'un polynôme et l'un de ses coefficients}. \item Déduire de l'écriture de $f(- p)$ que : \[a_{p-2} = p^{p - 2} - a_{1}p^{p-3} + \ldots + a_{p - 3}p\] \item Conclure. \end{enumerate} \end{document}