\documentclass[11pt,a4paper]{article} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,amsthm} \usepackage{geometry} \usepackage{enumitem} \usepackage{hyperref} \geometry{top=2.5cm, bottom=2.5cm, left=3.5cm, right=3.5cm} \geometry{margin=2.5cm} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\PP}{\mathcal{P}} \newcommand{\Lb}[2]{L_{#1}^{#2}} \newcommand{\lsig}{\ell(\sigma, f)} \newcommand{\norm}[1]{\left\|#1\right\|} \newcommand{\abs}[1]{\left|#1\right|} % Intervalle d'entiers %\newcommand{\llbracket}{[\![} %\newcommand{\rrbracket}{]\!]} \newcommand{\e}{\,\text{e}} \usepackage[french]{babel} \begin{document} \begin{center}\textbf{\Large CAPES externe de Mathématiques\\[7pt] Session 2007 --- Première composition\\[0.5em]} \end{center} \date{} \medskip \date{} \section*{Introduction} L'objet du problème est l'étude de la suite $(s_n)_{n \geqslant 1}$ définie par : \[\forall n \geqslant 1, \quad s_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2}.\] Dans une première partie, nous nous attacherons à démontrer, de différentes façons, par des méthodes élémentaires, que cette suite converge. Les parties 2, 3 et 4 suivantes seront consacrées à la détermination de sa limite $S$ par divers moyens. Les parties 5 et 6 utiliseront la valeur de $S$ pour calculer la somme de certaines séries numériques. On rappelle que, pour tous entiers $m$, $n$ vérifiant $m \leqslant n$, on note $\llbracket m, n \rrbracket$ l'intervalle d'entiers \[\llbracket m, n \rrbracket = \{ p \in \Z \mid m \leqslant p \leqslant n \}.\] \section*{Première partie : Convergence de la suite} \textit{Dans cette partie, le candidat utilisera uniquement les connaissances faisant partie du programme de Terminale S.} \subsection*{1. Première méthode} \begin{enumerate}[label=\alph*)] \item Démontrer que, pour tout entier $k \geqslant 2$, on a la majoration \[\frac{1}{k^2} \leqslant \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}.\] \item En déduire que la suite $(s_n)_{n \geqslant 1}$ est majorée. \item Démontrer que la suite $(s_n)_{n \geqslant 1}$ converge et donner un majorant de sa limite. \end{enumerate} \noindent\textit{Dans toute la suite du problème, on notera $S$ cette limite.} \subsection*{2. Deuxième méthode} On considère la suite $(t_n)_{n \geqslant 1}$, définie par : \[\forall n \geqslant 1, \quad t_n = s_n + \frac{1}{n}.\] \begin{enumerate}[label=\alph*)] \item Démontrer que les suites $(s_n)_{n \geqslant 1}$ et $(t_n)_{n \geqslant 1}$ sont adjacentes. \item Donner, en le justifiant, un encadrement d'amplitude $10^{-1}$ de $S$. \end{enumerate} \subsection*{3. Troisième méthode} Écrire le texte d'un exercice de niveau Terminale S démontrant, par comparaison à une intégrale, la convergence de la suite $(s_n)_{n \geqslant 1}$. \section*{Deuxième partie : Utilisation de polynômes} \begin{enumerate} \item Soit $P \in \C [X]$ un polynôme de degré $n \geqslant 1$ : $P(X) = a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + \cdots + a_n X^n$. Rappeler la formule permettant de calculer la somme \[\sigma_1 = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i = \alpha_1 + \cdots + \alpha_n\] des racines de $P$ en fonction de ses coefficients $a_k$, $k \in \llbracket 0, n \rrbracket$. \item \begin{enumerate}[label=\alph*)] \item Soient $p \in \N$ et $\varphi \in \R$. Démontrer l'égalité \[\sin\!\bigl((2p+1)\varphi\bigr) = \sum_{k=0}^{p} (-1)^k \binom{2p+1}{2k+1} \cos^{2p-2k}(\varphi)\,\sin^{2k+1}(\varphi),\] où $\dbinom{2p+1}{2k+1}$ désigne le coefficient binomial pour $k \in \llbracket 0, p \rrbracket$. \item En déduire que, pour tout entier $p \in \N$ et pour tout réel $\varphi \not\equiv 0\,[\pi]$, on \[\sin\!\bigl((2p+1)\varphi\bigr) = \sin^{2p+1}(\varphi) \sum_{k=0}^{p} (-1)^k \binom{2p+1}{2k+1} \bigl(\cot^2\varphi\bigr)^{p-k},\] où $\cot\varphi = \dfrac{\cos\varphi}{\sin\varphi}$. \end{enumerate} \item Soit $p \in \N^*$ et $P \in \R[X]$ le polynôme défini par : \[P(X) = \sum_{k=0}^{p} (-1)^k \binom{2p+1}{2k+1} X^{p-k}.\] \begin{enumerate}[label=\alph*)] \item Pour tout entier $k \in \llbracket 1, p \rrbracket$, on pose $\gamma_k = \cot^2\!\left(\dfrac{k\pi}{2p+1}\right)$. Calculer $P(\gamma_k)$ pour tout $k \in \llbracket 1, p \rrbracket$. \item Vérifier que, pour tout $k \in \llbracket 1, p \rrbracket$, le réel $\dfrac{k\pi}{2p+1}$ appartient à l'intervalle $\left]0, \dfrac{\pi}{2}\right[$. En déduire que le polynôme $P$ possède $p$ racines distinctes, que l'on déterminera. \item En déduire les égalités : \[\sum_{k=1}^{p} \cot^2\!\!\left(\frac{k\pi}{2p+1}\right) = \frac{p(2p-1)}{3}, \qquad \sum_{k=1}^{p} \frac{1}{\sin^2\!\left(\dfrac{k\pi}{2p+1}\right)} = \frac{2p(p+1)}{3}.\] \end{enumerate} \item \begin{enumerate}[label=\alph*)] \item Démontrer, pour tout réel $\varphi \in \left]0, \dfrac{\pi}{2}\right[$, les encadrements \[0 < \sin\varphi < \varphi < \tan\varphi.\] \item En déduire que, pour tout entier $p \geqslant 1$, on a l'encadrement \[\frac{p(2p-1)}{3} < \frac{(2p+1)^2}{\pi^2} \sum_{k=1}^{p} \frac{1}{k^2} < \frac{2p(p+1)}{3}.\] \item Démontrer que $S = \dfrac{\pi^2}{6}$. \end{enumerate} \item Montrer que les suites $(u_n)_{n \geqslant 1}$, $(v_n)_{n \geqslant 1}$ et $(w_n)_{n \geqslant 1}$ définies par : \[\forall n \geqslant 1, \quad u_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k)^2}, \qquad v_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{(2k+1)^2}, \qquad w_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k+1}}{k^2}\] sont convergentes et déterminer les valeurs exactes de leurs limites, respectivement notées $U$, $V$ et $W$. \end{enumerate} \section*{Troisième partie : Utilisation des intégrales de Wallis} Pour tout entier $n \in \N$, on pose \[I_n = \int_0^{\pi/2} \cos^{2n} t\,\text{d}t, \qquad J_n = \int_0^{\pi/2} t^2 \cos^{2n} t\,\text{d}t, \qquad K_n = \frac{4^n (n!)^2}{(2n)!}\,J_n.\] \begin{enumerate} \item Calculer les intégrales $I_0$ et $J_0$. \item \begin{enumerate}[label=\alph*)] \item Démontrer que pour tout $n \in \N$, on a : \[I_{n+1} = \frac{2n+1}{2n+2}\,I_n.\] \textit{(Indication : on pourra penser à une intégration par parties.)} \item En déduire que pour tout $n \in \N$, on a : \[I_n = \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2}\,\frac{\pi}{2}.\] \end{enumerate} \item Soit $n \geqslant 1$. \begin{enumerate}[label=\alph*)] \item Démontrer la relation $I_n = n(2n-1)J_{n-1} - 2n^2 J_n$. \item En déduire que $K_{n-1} - K_n = \dfrac{\pi}{4n^2}$. \item Démontrer la relation \[\frac{\pi}{4} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2} = J_0 - K_n.\] \end{enumerate} \item \begin{enumerate}[label=\alph*)] \item Démontrer que, pour tout réel $x \in \left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]$, on a : \[x \leqslant \frac{\pi}{2}\sin x.\] \item En déduire que, pour tout entier $n$, on a \[ 0 \leqslant J_n \leqslant \frac{\pi^2 I_n}{8(n+1)}, \qquad\text{puis}\qquad 0 \leqslant K_n \leqslant \frac{\pi^3}{16(n+1)}.\] \item Retrouver la valeur de $S$. \end{enumerate} \end{enumerate} \section*{Quatrième partie : Noyau de Dirichlet} Pour tout entier $n \geqslant 1$, on note $D_n$ le noyau de Dirichlet, défini par : \[\forall x \in \R, \quad D_n(x) = \frac{1}{2} + \sum_{k=1}^{n} \cos(kx).\] \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout entier $n \geqslant 1$ et tout réel $x \not\equiv 0\,[2\pi]$, on a \[D_n(x) = \frac{1}{2}\,\frac{\sin\!\left(\left(n + \tfrac{1}{2}\right)x\right)}{\sin\tfrac{x}{2}}.\] \item Pour tout entier $n \geqslant 1$, on note $L_n$ l'intégrale \[L_n = \int_0^{\pi} x\,D_n(x)\,\text{d}x.\] \begin{enumerate}[label=\alph*)] \item Calculer l'intégrale $\displaystyle\int_0^{\pi} x\cos(kx)\,\text{d}x$ pour tout entier $k \geqslant 1$. \item En déduire que \[L_n = \frac{\pi^2}{4} - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2} + \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^k}{k^2}.\] \end{enumerate} \item On note $f$ le prolongement par continuité en $0$ de la fonction définie sur l'intervalle $]0, \pi]$ par : $x \mapsto \dfrac{x}{\sin\!\left(\tfrac{x}{2}\right)}$. Démontrer que la fonction $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur l'intervalle $[0, \pi]$. \item Soit $\varphi : [0, \pi] \to \R$ une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[0, \pi]$. Démontrer que \[\lim_{\lambda \to +\infty} \int_0^{\pi} \varphi(x)\sin(\lambda x)\,\text{d}x = 0.\] \textit{(Indication : on pourra penser à une intégration par parties.)} \item \begin{enumerate}[label=\alph*)] \item Démontrer que $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} L_n = 0$. \item Retrouver la valeur de $S$. \textit{(On utilisera la relation entre $W$ et $S$ obtenue à la question 5 de la deuxième partie.)} end{enumerate} \end{enumerate} \end{enumerate} \section*{Cinquième partie : Une somme double} L'objet de cette partie est de calculer la limite de la somme double \[\lim_{M \to +\infty} \left( \lim_{N \to +\infty} \sum_{n=1}^{N} \sum_{m=1}^{M} \frac{1}{nm(n+m-1)!} \right).\] On pose, pour tout entier $N \geqslant 1$, $H_N = \displaystyle\sum_{n=1}^{N} \dfrac{1}{n}$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate}[label=\alph*)] \item Démontrer que pour tout entier $N \geqslant 1$, on a : \[\ln(1+N) \leqslant H_N \leqslant 1 + \ln(N).\] \item En déduire que $\displaystyle\lim_{N \to +\infty} \frac{H_N}{N} = 0$. \item Démontrer que pour tout entier $M \geqslant 2$, on a : \[\sum_{m=1}^{M-1} \frac{H_m}{m(m+1)} = \sum_{m=1}^{M} \frac{1}{m^2} - \frac{H_M}{M}.\] \item En déduire que la série $\displaystyle\sum_{m=1}^{+\infty} \frac{H_m}{m(m+1)}$ converge et déterminer sa limite. \end{enumerate} \item Pour tout entier $N \geqslant 1$ et pour tout entier $m \geqslant 2$, on pose \[Z_{N,m} = \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n(n+m-1)}.\] \begin{enumerate}[label=\alph*)] \item Démontrer que pour tout entier $m \geqslant 2$ \[Z_{N,m} = \frac{1}{m-1}\left( H_{m-1} - \sum_{n=N+1}^{N+m-1} \frac{1}{n} \right).\] \item En déduire que $\displaystyle\lim_{N \to +\infty} Z_{N,m} = \frac{H_{m-1}}{m-1}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate}[label=\alph*)] \item Montrer que pour tout entier $N \geqslant 1$ et pour tout entier $M \geqslant 2$ on a : \[\sum_{n=1}^{N} \sum_{m=1}^{M} \frac{1}{nm(n+m-1)} = \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n^2} + \sum_{m=2}^{M} \frac{Z_{N,m}}{m}.\] \item Montrer que \[\lim_{N \to +\infty} \sum_{n=1}^{N} \sum_{m=1}^{M} \frac{1}{nm(n+m-1)} = \frac{\pi^2}{6} + \sum_{m=2}^{M} \frac{H_{m-1}}{m(m-1)}.\] \item En déduire alors \[\lim_{M \to +\infty} \left( \lim_{N \to +\infty} \sum_{n=1}^{N} \sum_{m=1}^{M} \frac{1}{nm(n+m-1)} \right).\] \end{enumerate} \end{enumerate} \section*{Sixième partie : La fonction Dilogarithme} Pour tout réel $x \in [-1~;~1[$, on considère l'intégrale \[\mathrm{Li}(x) = -\int_0^x \frac{\ln(1-t)}{t}\,dt. \] \begin{enumerate} \item Justifier l'existence de cette intégrale pour tout réel $x \in [-1, 1[$. \item On définit la fonction Dilogarithme \[\mathrm{Li} : \begin{array}{rcl} [-1, 1[ & \longrightarrow & \R \\ x & \longmapsto & \mathrm{Li}(x) \end{array}\] Démontrer que la fonction $\mathrm{Li}$ est prolongeable par continuité en $1$. On notera encore $\mathrm{Li}$ ce prolongement par continuité. \item \begin{enumerate}[label=\alph*)] \item Montrer que pour tout $x \in ]-1, 1[$, on a \[ \mathrm{Li}(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{n^2}.\] \item En déduire la valeur de $\mathrm{Li}(1)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate}[label=\alph*)] \item Pour $x \in ]0~;~1[$, calculer la dérivée de $\mathrm{Li}(x) + \mathrm{Li}(1-x)$. \item Démontrer la relation fonctionnelle \[\forall x \in ]0, 1[, \quad \mathrm{Li}(x) + \mathrm{Li}(1-x) = \frac{\pi^2}{6} - \ln(1-x)\ln(x).\] \end{enumerate} \item Déduire de la question précédente la valeur de la somme $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2^n n^2}$. \item \begin{enumerate}[label=\alph*)] \item Pour tout réel $x \in ]-1~;~1[$, démontrer la relation \[\mathrm{Li}(x) + \mathrm{Li}(-x) = \frac{1}{2}\,\mathrm{Li}(x^2). \] \item Retrouver la valeur de la somme $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate}[label=\alph*)] \item Pour tout réel $x \in ]0~;~1[$, démontrer la relation \[\mathrm{Li}(x) - \mathrm{Li}(-x) + \mathrm{Li}\!\left(\frac{1-x}{1+x}\right) - \mathrm{Li}\!\left(\frac{x-1}{1+x}\right) = \frac{\pi^2}{4} + \ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\ln(x). \] \item En déduire la valeur de la somme $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(\sqrt{2}-1)^{2n+1}}{(2n+1)^2}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}