\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx,stmaryrd} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{stmaryrd} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage[dvips]{color} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {CAPES 2018 }, pdftitle = {Épreuve 3 avril 2018}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Épreuve 1} \lfoot{\small{CAPES externe avril 2018}} \rfoot{\small{}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~CAPES Concours externe session 2018 Option mathématiques ~\decofourright\\[5pt] Épreuve 1}} \end{center} \vspace{0,5cm} Le sujet comporte cinq parties \medskip {\large Notations} \medskip $\N$ désigne l'ensemble des entiers naturels et $\N^*$ l'ensemble des entiers naturels non nuls. Pour $m$ et $n$ deux entiers naturels, $\llbracket m~;~n\rrbracket$ désigne l'ensemble des naturels $k$ tels que $m \leqslant k \leqslant n$. $\Z$ désigne l'ensemble des entiers relatifs. $\Q$ désigne l'ensemble des nombres rationnels. $\R$ désigne l'ensemble des nombres réels. On note e le nombre exp(1), image de $1$ par la fonction exponentielle. On rappelle que, pour tout nombre réel $x$, il existe un unique entier relatif $E(x)$ tel que $E(x) \leqslant x < E(x) + 1$. Cet entier $E(x)$ est appelé \emph{partie entière de } $x$. \begin{center} \textbf{\large Partie A : suites adjacentes} \end{center} Étant données deux suites réelles $\left(a_n\right)_{n\in \N}$ et $\left(b_n\right)_{n\in \N}$, on rappelle qu'elles sont dites adjacentes si l'une des deux est croissante, l'autre décroissante et si $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}\left(a_n - b_n\right) = 0$. \medskip \textbf{I} On suppose dans cette question que la suite $\left(a_n\right)_{n\in \N}$ est croissante et que la suite $\left(b_n\right)_{n\in \N}$ est décroissante. \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $\left(a_n - b_n\right)_{n\in \N}$ est monotone et en déduire que pour tout entier naturel $n$,\: $a_n \leqslant b_n$. \item Justifier que les suites $\left(a_n\right)_{n\in \N}$ et $\left(b_n\right)_{n\in \N}$ sont convergentes vers une même limite $\ell$ vérifiant : \[\forall n \in \N, \quad a_n \leqslant \ell \leqslant b_n.\] \item On suppose de plus les suites $\left(a_n\right)_{n\in \N}$ et $\left(b_n\right)_{n\in \N}$ strictement monotones. Montrer que: \[\forall n \in \N, \quad a_n < \ell < b_n.\] \end{enumerate} \bigskip \textbf{II.} Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose $a_n = \displaystyle\sum_{p=0}^{n} \dfrac{1}{p!}$ et $b_n = a_n + \dfrac{1}{n \times n!}$. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que les suites $\left(a_n\right)_{n\in \N*}$ et $\left(b_n\right)_{n\in \N*}$ sont adjacentes. \item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, e$ - a_n = \dfrac{1}{n!}\displaystyle\int_0^1 (1 - t)^n\text{e}^t\:\text{d}t$. \emph{Indication :} on pourra procéder par récurrence. \item En déduire que pour tout entier naturel $n$ non nul, $0 < \text{e} - a_n < \dfrac{1}{n \times n!}$. En déduire la limite de la suite $\left(a_n\right)_{n\in \N*}$. \emph{Indication :} on pourra étudier les variation de la fonction $t \longmapsto (1 - t)\text{e}^t$. \item En déduire une valeur de $n$ telle que $a_n$ soit une valeur approchée de e à $10^{-5}$ près. \item On suppose que e est un nombre rationnel. \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe un entier naturel non nul $q$ tel que le nombre e$q!$ soit un entier naturel. %Tournez la page S. V. P{}. \item Montrer que $x = q!\left(\text{e} - \displaystyle\sum_{p=0}^q \dfrac{1}{p!}\right)$ est un entier naturel. \item Montrer que $0 < x < 1$. \item Conclure. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip Soit $f$ une fonction à valeurs réelles définie sur un intervalle ouvert $I$ contenant $0$. On rappelle que $f$ est dite \emph{développable en série entière} au voisinage de $0$ s'il existe un nombre réel $R > 0$ et une suite $\left(a_n\right)_{n\geqslant 0}$ de nombres réels tels que $]- R~;~R[$ est inclus dans $I$ et : \[\forall x \in ]- R~;~R[,\quad f(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{+ \infty} a_n x^n.\] \bigskip \textbf{III.} \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que la fonction $x\longmapsto \dfrac{1}{1 + x}$est développable en série entière au voisinage de $0$. Préciser son développement et donner le rayon de convergence de cette série entière. \item Justifier que, pour tout nombre réel $x$ dans l'intervalle $] - 1~;~1[$, \[\ln (1 + x) = \displaystyle\sum_{k=0}^{+ \infty} (- 1)^k \dfrac{x^{k+1}}{k + 1}.\] On énoncera avec soin le théorème utilisé. \item Pour $x \in [0~;~1]$ et $n \in \N$, on pose $S_n(x) = \displaystyle\sum_{k=0}^{n}(- 1)^k \dfrac{x^{k+1}}{k + 1}$. Démontrer que les deux suites $\left(S_{2n}(x)\right)_{n\in \N}$ et $\left(S_{2n+1}(x)\right)_{n\in \N}$ sont adjacentes. \item En déduire que, pour tout entier naturel $n$ et tout nombre réel $x$ dans l'intervalle [0~;~1[, \[S_{2n+1}(x) \leqslant \ln (1 + x) \leqslant S_{2n}(x).\] \item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, \[S_{2n+1}(1) \leqslant \ln (2) \leqslant S_{2n}(1).\] \item Démontrer que $\ln (2) = \displaystyle\sum_{k=0}^{+ \infty} \dfrac{(- 1)^k}{k + 1}$. \end{enumerate} \bigskip \begin{center} \textbf{\large Partie B : écriture d'un entier en base deux} \end{center} \medskip Le but de cette partie est de démontrer que tout entier naturel $N$ supérieur ou égal à 2 s'écrit de manière unique \[N = \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} d_k 2^k \quad \text{avec} \quad n \geqslant 2\: \text{et} \: \left\{\begin{array}{l} \forall k \in \llbracket 0~;~n - 1\rrbracket, \quad d_k \in \{0,\:1\},\\ d_{n-1} = 1. \end{array}\right.\] L'égalité précédente se note $N = \overline{d_{n-1}d_{n-2}\ldots d_0}$ (écriture de $N$ en base deux) ; la suite finie $\left(d_k\right)_{0\leqslant k \leqslant n - 1}$ s'appelle la suite des chiffres dans l'écriture de $N$ en base deux. \medskip Dans toute cette partie, $N$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2. \medskip \textbf{IV.} On suppose que $N = \displaystyle\sum_{k=0}^{n - 1} d_k2^k$ avec $\forall k \in \llbracket 0~;~n - 2\rrbracket,\: d_k \in \{0,\:1\}\quad \text{et} \quad d_{n - 1} = 1$. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que $2^{n-1} \leqslant N \leqslant 2^n - 1$. \item Montrer que $d_0$ est le reste de la division euclidienne de $N$ par 2. \item Démontrer que la suite $\left(d_0, \ldots ,d_{n-1}\right)$ est déterminée de manière unique. \end{enumerate} \textbf{V.} On définit deux suites d'entiers $\left(y_k\right)_{k \in \N}$ et $\left(d_k\right)_{k \in \N}$ par $y_0 = N$ et pour tout entier naturel $k$,\: $y_{k+1}$ et $d_k$ désignent respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de $y_k$ par 2. \medskip \begin{enumerate} \item On fixe $k \in \N*$. Exprimer $N$ en fonction de $k, d_0,\: \ldots,\:d_{k-1}$ et $y_k$. \item Démontrer que la suite $\left(y_k\right)_{k\in \N}$ est nulle à partir d'un certain rang et qu'il existe un entier $n \geqslant 1$ tel que $\overline{d_{n-1}d_{n-2}\ldots d_0}$ soit l'écriture de $N$ en base deux. \item Écrire un algorithme qui, pour tout entier naturel $N$ supérieur ou égal 2 donné, renvoie la suite $\left(d_0,\: d_1,\:\ldots,\: d_{n-1}\right)$ des chiffres de son écriture en base deux. \item Écrire en base deux le nombre qui s'écrit $391$ en base dix. \end{enumerate} \textbf{VI.} On se propose à présent de calculer le nombre $N$ qui s'écrit $\overline{d_{n-1}d_{n-2} \ldots d_0}$ en base deux. \medskip \begin{enumerate} \item Première méthode : méthode \og naïve \fg. On écrit $N = \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} d_k2^k$. Combien d'opérations (additions et multiplications) doit-on effectuer \emph{a priori} pour calculer $N$ avec cette méthode ? \item Deuxième méthode : méthode de Hörner. On écrit $N = \left(\left(\left(\left(d_{n-1} \times 2 + d_{n-2}\right) \times 2 + d_{n-3}\right) \times 2 + \ldots \right) \times 2\right) + d_0$. Combien d'opérations (additions et multiplications) doit-on effectuer \emph{a priori} pour calculer $N$ avec cette méthode ? \item Écrire un algorithme qui, pour toute suite de chiffres $\left(d_0,\: \ldots , d_{n-1}\right)$ donnée, renvoie la valeur de $N$ calculée à l'aide de cette deuxième méthode. \item Quel est le nombre dont l'écriture en base deux est $\overline{101001000100001}$ ? \end{enumerate} \bigskip \begin{center} \textbf{\large Partie C : nombres dyadiques} \end{center} L'ensemble $D_2 = \left\{\dfrac{a}{2^p}~;~a \in \Z,\: p \in \N\right\}$ est appelé ensemble des nombres dyadiques. On note $D^{+}_2$ l'ensemble des nombres dyadiques positifs ou nuls. \textbf{VII.} Montrer que $\Z$ est strictement inclus dans $D_2$ et que $D_2$ est strictement inclus dans $\Q$. \emph{Indication} : on pourra montrer que $\dfrac{1}{3} \in D_2$. \textbf{VIII.} Soit $x \in D^+_2\verb+\+ \N$. On se propose de démontrer qu'il existe un unique entier $n \geqslant 1$ et une unique suite $\left(a_0,\:a_1,\:\ldots,\:a_n\right)$ avec $a_0 \in \N$ et $\left(a_1,\:\ldots,\:a_n\right) \in \{0,\: 1\}^n$ tels que \[x = \displaystyle\sum_{k=0}^n a_k2^{-k},\quad \text{avec}\: a_n \neq 0.\] Le membre de droite de cette égalité s'appelle le développement dyadique de $x$. \medskip \begin{enumerate} \item On suppose qu'une telle suite existe. Montrer que $a_0 = E(x)$ puis montrer que la suite $\left(a_0,\: a_1,\:\ldots,\: a_n\right)$ est déterminée de manière unique. \item On souhaite à présent montrer l'existence d'une telle suite. À l'aide de la partie précédente, montrer l'existence d'un entier $a_0$, d'un entier $p \geqslant 1$ et d'une suite de nombres entiers $d_0, \ldots,\:d_{p-1}$ égaux à $0$ ou $1$, non tous nuls, tels que \[x = a_0 + \displaystyle\sum_{k=0}^{p-1} d_k2^{k-p}.\] \item Conclure. \end{enumerate} \textbf{IX.} Donner le développement dyadique de $\dfrac{35}{4}$. \bigskip \begin{center} \textbf{\large Partie D : développement dyadique illimité} \end{center} On appelle suite dyadique toute suite $\left(a_k\right)_{k\in \N*}$ où pour tout $k \in \N*$,\: $a_k$ est un élément de $\{O,\:1\}$. De plus : \begin{itemize} \item une suite dyadique $\left(a_k\right)_{k\in \N*}$ est dite impropre s'il existe un entier $m \in \N*$ tel que pour tout $k \geqslant m$,\: $a_k = 1$ ; \item une suite dyadique $\left(a_k\right)_{k\in \N*}$ est dite propre si elle n'est pas impropre. \end{itemize} \textbf{X.} On suppose que $a = \left(a_k\right)_{k\in \N*}$ est une suite dyadique. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que la série de terme général $a_k2^{-k}$ est convergente. On note sa somme \[s(a) = \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} a_k2^{-k}.\] \item Soit $N$ un entier naturel. Que vaut $\displaystyle\sum_{k=N}^{+\infty}2^{-k}$ ? \item Vérifier que $s(a) \in [0~;~1]$. \item Montrer que si $a$ est une suite dyadique propre, alors $s( a) \in [0~;~1[$. \item Montrer que si $a$ est une suite dyadique impropre, alors $s(a)$ est un nombre dyadique. \item Soit $a = \left(a_k\right)_{k\in \N*}$ la suite définie par \[a_k = \left\{\begin{array}{l c l} 0&\text{si} &k\: \text{est impair}\\ 1&\text{si} &k\: \text{est pair} \end{array}\right.\] Montrer que $s(a) = \dfrac{1}{3}$. \end{enumerate} \textbf{XI.} Soit $x$ un nombre dyadique compris dans l'intervalle [0,\: 1[. \medskip \begin{enumerate} \item En utilisant les résultats de la partie C, montrer qu'il existe une suite dyadique propre $a$ telle que \[x = \displaystyle\sum_{k=1}^{+ \infty} a_k2^{-k}.\] \item Montrer que si $x$ est non nul, alors il existe également une suite dyadique impropre $b$ telle que \[x = \displaystyle\sum_{k=1}^{+ \infty} b_k2^{-k}.\] \end{enumerate} \textbf{XII.} Dans cette question, on considère un nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~1[. On lui associe la suite $\alpha(x) = \left(\alpha_k(x)\right)_{k \in \N*}$ définie pour tout $k \in \N$* par l'égalité \[\alpha_k(x) = E\left(2^k x\right) - 2E\left(2^{k-1}x \right).\] Pour tout $n \in \N*$, on pose $u_n(x) = \displaystyle\sum_{k=1}^n \alpha_k(x)2^{-k}$ et $v_n(x) = u_n(x) + 2^{-n}$. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que la suite $\left(\alpha_k(x)\right)_{k \in \N*}$ est une suite dyadique. \item Démontrer que les deux suites $\left(u_n(x)\right)_{k \in \N*}$ et $\left(v_n(x)\right)_{k \in \N*}$ sont adjacentes et prennent leurs valeurs dans $D_2 \cap [0~;~1]$. \item Vérifier que $E\left(2^nx\right) = 2^nu_n(x)$ et en déduire que pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, \[u_n(x) \leqslant x < v_n(x).\] \item Quelle est la limite commune des suites $\left(u_n(x)\right)_{k \in \N*}$ et $\left(v_n(x)\right)_{k \in \N*}$ ? \item Montrer que $\left(\alpha_k(x)\right)_{k \in \N*}$ est une suite dyadique propre et que \[x = \displaystyle\sum_{k=1}^{+ \infty} \alpha_k(x)2^{-k}.\] \item En déduire que pour tout nombre réel $x$ dans l'intervalle [0~;~1[, il existe une unique suite dyadique propre $\left(a_k(x)\right)_{k \in \N*}$ telle que : \[x = \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} a_k2^{-k}.\] On note alors \[x = \overline{0, a_1a_2a_3\ldots}\] Cette nouvelle représentation de $x$ est appelée la représentation dyadique propre de $x$. Si la suite $\left(a_k(x)\right)_{k \in \N*}$ est nulle à partir d'un certain rang, on dit que la représentation dyadique de $x$ est finie. \item Si $d = \left(d_n\right)_{n \in \N*}$ est une suite dyadique propre, on note $x = s(d)$ et $d' = \left(d_{n+1}\right)_{n\in \N*}$. Justifier que $d_1 = E(2x)$ et $s\left(d'\right) = 2x - d_1$. En déduire un algorithme qui prend en entrées un nombre réel $x \in [0~;~1[$ et un entier $n \in \N*$ et qui renvoie la liste des $n$ premiers chiffres du développement dyadique propre de $x$. On admettra l'existence d'une fonction \emph{floor} qui renvoie la partie entière de son argument. \end{enumerate} \textbf{XIII.} Démontrer que $D_2 \cap [0~;~1]$ est dense dans $[0~;~1]$. En déduire que $D_2$ est dense dans $\R$. \textbf{XIV.} Démontrer que $\R\backslash D_2$ est dense dans $\R$. \emph{Indication} : on pourra utiliser la question \textbf{VII.} \textbf{XV.} Soit $x$ un nombre réel dans l'intervalle [0~;~1[ dont un développement dyadique, propre ou impropre, est $\overline{0, a_1a_2a_3\ldots}$. \medskip \begin{enumerate} \item Quel est le développement dyadique de $1 - x$ ? \item On suppose que $2x \in [0~;~1[$. Quel est le développement dyadique de $2x$ ? Plus généralement, quel est le développement dyadique de $2^lx$, lorsque $l$ est un entier relatif et que $2^lx \in [0~;~1[$ ? \item Donner le développement dyadique de $\dfrac{2}{3}$. \end{enumerate} \begin{center} \textbf{\large Partie E : suite extraite de la suite \boldmath$(\cos( n\pi \theta))_{n\in \N}$\unboldmath} \end{center} \medskip \textbf{XVI.} Dans cette question, $\theta$ désigne un nombre réel strictement positif. On pose \[c_n = \cos (n\pi \theta),\qquad s_n = \sin (n\pi \theta).\] \medskip \begin{enumerate} \item Vérifier que pour tout entier naturel $n$, \[\begin{array}{r c l} c_{n+1} + c_{n-1}& =& 2c_n \cos(\pi \theta),\\ c_{n+1} - c_{n-1} &=& - 2s_n\sin (\pi \theta),\\ c_n^2 + s_n^2 &=& 1. \end{array}\] \item En déduire que la suite $\left(c_n\right)_{n\in \N}$ converge si et seulement si $\theta$ est un entier relatif pair. \emph{Indication }: on pourra raisonner par disjonction de cas, suivant la valeur de $\cos(\pi \theta)$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{XVII.} On s'intéresse à présent à la suite $\left(c_{2^n}\right)_{n\in \N}$ extraite de $\left(c_n\right)_{n\in \N}$. Pour tout entier naturel $n$, on pose : \[u_n = c_{2^n} = \cos \left(2^n \pi \theta\right).\] \medskip \begin{enumerate} \item On suppose (dans cette question uniquement) que $\theta$ est un nombre dyadique. Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ ? \item On suppose (dans cette question uniquement) qu'il existe un nombre dyadique $x$ tel que $\theta = x + \dfrac{1}{3}$. Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ ? \item On suppose (dans cette question uniquement) qu'il existe un nombre dyadique $x$ tel que $\theta = x + \dfrac{2}{3}$. Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ ? \item Justifier que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n+1} = 2u_n^2 - 1$. \item Lorsque la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ converge vers $\ell$, quelles sont les seules valeurs possibles pour le réel $\ell $? \item Soit $\left(a_n\right)_{n\in \N*}$ la suite définissant le développement dyadique propre de $\theta - E(\theta)$. Montrer que, quel que soit l'entier naturel $n$, il existe un entier relatif $k_n$ et un réel $\epsilon_n$ appartenant à l'intervalle $\left[0~;~\frac{1}{2}\right]$ tels que : \[2^n \theta = 2k_n + a_n + \dfrac{a_{n+1}}{2} + \epsilon_n.\] \item Démontrer que : \begin{itemize} \item si $a_n = a_{n+1}$, alors $u_n \geqslant 0$ ; \item si $a_n \neq a_{n+1}$, alors $u_n \leqslant 0$. \end{itemize} Puis que : \begin{itemize} \item si $u_n > 0$, alors $a_n = a_{n+1}$ ; \item si $u_n < 0$, alors $a_n \neq a_{n+1}$. \end{itemize} \item On suppose que la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ converge vers un nombre réel $\ell > 0$. Montrer qu'à partir d'un certain rang, $a_n = 0$. En déduire que $\theta$ est un nombre dyadique. \item On suppose que la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ converge vers un nombre réel $\ell < 0$. Montrer qu'à partir d'un certain rang, $a_{n+1} \neq a_n$. En déduire que $\theta - \dfrac{1}{3}$ ou $\theta - \dfrac{2}{3}$ est un nombre dyadique. \end{enumerate} \bigskip \textbf{XVIII.} Énoncer et démontrer une condition nécessaire et suffisante pour que la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ converge. On justifiera ce résultat et on précisera le cas échéant la valeur de sa limite. \end{document}