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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Épreuve 1}
\lfoot{\small{CAPLP externe 26 mars 2026}}
\rfoot{\small{}}
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\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~CAPLP Concours externe Option mathématiques (bac + 5) ~\decofourright\\[7pt] 26 mars 2026 épreuve 1}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ÉPREUVE ÉCRITE DISCIPLINAIRE 5 h}
\end{center}

\medskip

La partie Mathématiques est constituée de deux exercices indépendants qui peuvent être traités dans un ordre quelconque.

Le premier exercice est un vrai faux avec justification. Le deuxième exercice est constitué de quatre parties.

\bigskip

\textbf{\Large Exercice 1 :}

\medskip

Pour chacune des propositions suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse, puis justifier la réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

\medskip

\begin{enumerate}
\item $f$ est la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \dfrac{2\e^x}{\e^x + 1}$.

\textbf{Proposition :} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = +\infty$.
\item On considère dans un repère orthonormé les points A(2~;~4), B(1~;~1) et C$(7~;~- 1)$ et le point D barycentre des points pondérés (A~;~1),(B~;~$-1$),(C~;~1).

\textbf{Proposition :} Les diagonales du quadrilatère ABCD sont de même longueur.
\item Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \sqrt{x^2 - 2x - 3}$.

\textbf{Proposition :}  $f$ est dérivable sur $]3~;~+\infty[$.
\item On dispose d’une pièce truquée telle que la probabilité d’obtenir \og Face \fg{} vaut
$\dfrac13$.

On lance 10 fois de suite et de façon indépendante cette pièce.

\textbf{Proposition :} La probabilité d’obtenir au moins une fois \og Face \fg{} au cours des 10 lancers
est supérieure à $0,95$.
\item On dispose de $200$ tuyaux cylindriques identiques que l’on dispose de la manière suivante : on constitue sur le sol, entre 2 butées, une première rangée de 20 tuyaux se touchant. Sur cette première rangée sont placés 19 tuyaux reposant chacun sur deux tuyaux de la rangée précédente. On constitue ensuite sur celle-ci une nouvelle rangée de tuyaux disposés de la même manière et ainsi de suite.

\textbf{Proposition :} Il est possible de stocker en un seul tas l’ensemble des tuyaux en procédant ainsi.  
\item On considère la matrice $M = \begin{pmatrix}\cos(x)&\sin(x)\\ \sin(x)&\cos(x)\end{pmatrix}$  où $x$ est un nombre réel.

\textbf{Proposition :} La matrice $M$ est inversible.
\item Une société d’assurance estime que la valeur d’un appareil électroménager qu’elle assure diminue de 15\,\% par an (perte de valeur appelée vétusté).

\textbf{Proposition :} Au bout de 5 ans, un appareil aura perdu plus de la moitié de sa valeur d’achat.
\item On considère l’équation différentielle 

$(E) : \quad y'' - 4y' + 4y = 0$

\textbf{Proposition :} Toute solution de $(E)$ sur $\R$ s’annule en $0$.
\item On considère une série statistique de moyenne $m$.

\textbf{Proposition :} Si on double tous les effectifs de cette série alors sa moyenne double aussi.
\item Soit le nombre complexe $z  = - \dfrac12 + \dfrac12\text{i}$. Dans le plan complexe, on considère les points M, N et P d’affixes $z,\:z^2$ et $z^4$.

\textbf{Proposition :} Les points M, N et P sont alignés.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Exercice 2 :}

\medskip

Le plan est muni d’un repère orthonormal

\medskip

\textbf{Partie I :} Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : 

\[f(x) = 1+  \dfrac{\ln(x)}{x}.\]

On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans le repère \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $0$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la droite $D$ d’équation $y = 1$ est asymptote à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$.
		\item Étudier la position relative de $\mathcal{C}_f$ par rapport à la droite $D$ sur l’intervalle $]0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la dérivée de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$ et étudier son signe sur cet intervalle.
		\item Donner le tableau de variations de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $n \in \N$ et $h \ne - 1$. Rappeler la valeur de la somme 
		
		\[\sum_{i=0}^n (- h)^p.\]
		
		\item Donner le développement limité à l’ordre 2 en 0 de $\dfrac{1}{1+ h}$
puis celui de $\ln(1 + h)$ à l’ordre 2 en 0.
		\item En déduire le développement limité à l’ordre 2 en 1 de $f$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On note $T$ la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d’abscisse 1.
		
Donner l’équation réduite de $T$.
		\item Étudier la position relative de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $T$ sur l’intervalle $]0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On pose $A(t) = \dfrac{\ln^2 (t)}{2}$  sur $]0~;~+ \infty[$. Montrer que pour tout $t > 0 :\quad  A'(t) = \dfrac{\ln (t)}{t}$.
		\item Montrer que la valeur de l’aire, en unité d’aire, de la partie du plan comprise entre $\mathcal{C}_f$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x = 1x et $x = \$e vaut $\e - \dfrac12$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie II :} On souhaite, dans cette partie, résoudre sur $]0~;~+\infty[$ l’équation différentielle suivante : 

\[(R) ∶\quad y' + \dfrac 1t y = \dfrac{1}{t^2}\]

\begin{enumerate}[resume]
\item Résoudre l’équation différentielle $\left(E_0\right) ∶ \quad y' + \dfrac 1t y = 0$ sur $]0~;~+\infty[$.
\item Montrer que la fonction $g$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $g(t) = \dfrac{\ln (t)}{t}$  est solution de $(E)$.
\item Montrer que les solutions de $(E)$ sur $]0~;~+\infty[$ sont les fonctions $t \longmapsto \dfrac{\ln (at)}{t}$ où $a$ est un réel strictement positif.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie III :} On rappelle que $f$ est la fonction définie dans la partie I.

\medskip

\begin{enumerate}[resume]
\item Montrer que l’équation $f(x) = 0$ admet une unique solution sur $]0~;~+\infty[$. On notera
$\alpha$ cette solution.

On pose, pour tout entier naturel $n$ non nul :

\[f_n(x) = x -  nf(x)\]
\item Déduire de la question précédente que les courbes représentatives des fonctions $f_n$ et $f_{n+1}$
admettent un unique point d’intersection dont on précisera les coordonnées.
\item On remarque que $\dfrac12 < \alpha < 1$ et on définit deux suites $(a_k)_{k\in \N}$ et $(b_k)_{k\in \N}$  de la manière suivante :
\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item $a_0 = \dfrac12$ et $b_0 = 1$
\item Pour tout $k \in \N$, on pose : $c_k = \dfrac{a_k + b_k}{2}$
\end{itemize}

avec : si $f(a_k)f(c_k) < 0$, \quad $a_{k+1} = a_k$ et $b_{k+1} = c_k$

\phantom{avec : }sinon, \quad $a_{k+1} = c_k$ et $b_{k+1} = b_k$.

On admet que les suites $(a_k)_{k\in \N}$ et $(b_k)_{k\in \N}$ convergent et ont pour limite commune $\alpha$.

	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que, pour tout $k \in \N$, on a $a_k < \alpha < b_k$.
		\item Compléter les pointillés dans le programme suivant pour que la fonction \texttt{approx} renvoie un encadrement de $\alpha$ d’amplitude inférieure ou égale à eps :

%%%%%%% algo
\begin{tabular}{|l|}\hline
from math import log\\
def approx(eps): \\
\quad	a=.................................\\
\quad	b=.................................\\
\quad	while abs(b-a)>eps:\\
\quad\quad		c=(a+b)/2\\
\quad\quad		if .............................\\
\quad\quad\quad			b=c\\
\quad\quad		else:\\
.\quad\quad\quad...........................\\
\quad return (a,b)\\ \hline
\end{tabular}
%%%%%% 

		\item Quelle valeur doit-on donner à eps pour obtenir un encadrement de $\alpha$ à $10^{-2}$ ?
		\item Donner un encadrement de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie IV :}

Soit $n$ un entier naturel non nul.

On considère la fonction $h_n$ définie sur $]0~;~ +\infty[$ par 

\[h_n(x) = x^2 - n (1 - \ln(x))\]


\begin{enumerate}[resume]
\item Donner le tableau de variations de la fonction $h_n$
sur $]0~;~ +\infty[$.
\item Montrer que l’équation $h_n(x) = 0$ admet une unique solution sur $]0~;~ +\infty[$ que l’on note $x_n$.
\item En déduire le tableau de variations de $f_n$. On y fera figurer $x_n$.
\item Justifier que pour tout $n \geqslant  2,\:\: 1 < x_n < \e$.
\item Montrer que pour tout $n \geqslant  2,\:\: h_n(x_{n+1} ) > h_n(x_n)$.
\item En déduire que la suite $(x_n)_{n \geqslant 2}$ est croissante et qu’elle est convergente.
\item Montrer que la suite $(x_n)_{n \geqslant 2}$ converge vers e.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Donner un équivalent de la fonction $x \longmapsto \e^x - 1$ en 0.
		\item En déduire un équivalent de la suite $(x_n - \e)_{n \geqslant 2}$ en $+ \infty$.
en $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}