\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx,stmaryrd} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{graphicx} %\usepackage{accents} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{enumitem} \usepackage{stmaryrd} \usepackage{lscape} \usepackage[mathscr]{eucal} %\usepackage{braket} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage[dvips]{color} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \setlength{\headheight}{13.6pt}. \addtolength{\topmargin}{-1.6pt}. \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} %\newcommand{\P}{\mathbb{P}} %\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\Roman{enumi}}} %\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} %\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\arabic{enumii}}} %\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} %\renewcommand{\theenumiii}{\textbf{\alph{enumiii}}} %\renewcommand{\labelenumiii}{\textbf{\theenumiii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{$k$}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \newcommand{\e}{\,\text{e}} \usepackage{hyperref} %\hypersetup{% %pdfauthor = {APMEP},/Users/denis/Library/Containers/com.apple.mail/Data/Library/Mail Downloads/D6942931-13A7-41D2-A81D-6F461531F577/ %pdfsubject = {CAPLP 2023}, %pdftitle = {épreuve 1 mars 2025}, %allbordercolors = white, %pdfstartview=FitH} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small épreuve 1} \lfoot{\small{CAPPLP externe 30 mars 2025}} \rfoot{\small{}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~CAPLP Concours externe Option mathématiques ~\decofourright\\[5pt] 2025 épreuve 1}} \vspace{0,5cm} \textbf{ÉPREUVE ÉCRITE DISCIPLINAIRE} \medskip \textbf{PARTIE 1 : MATHÉMATIQUES} \end{center} \emph{La partie mathématiques est constituée de deux exercices indépendants qui peuvent être traités dans un ordre quelconque.} \smallskip \emph{Le premier exercice est un vrai faux avec justification.} \smallskip \emph{Le deuxième exercice est constitué de quatre parties.} \medskip \textbf{\Large Exercice 1} \medskip \emph{Pour chacune des propositions suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse, puis justifier la réponse.\\ Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.} \medskip \begin{enumerate} \item On considère l'équation dans $\C :\: z^2 - 2\text{i}z - 1 + 8\text{i} = 0$. \textbf{Proposition :} Cette équation admet deux solutions complexes dont les parties réelles sont opposées ou nulles. \item On considère un triangle rectangle dont les longueurs des côtés sont trois entiers consécutifs. \textbf{Proposition :} Le seul triangle rectangle vérifiant cette condition est celui dont les longueurs des côtés sont respectivement 3, 4 et 5. \item \textbf{Proposition :} Si Julie gagne 20\,\% de moins que Pauline, alors Pauline gagne 20\,\% de plus que Julie. \item On considère l'équation différentielle \[(E) :\quad y''(t) = y'(t) + 2yt)\] \textbf{Proposition :} L'unique solution de $(E)$ sur $\R$ telle que $y(0) = y'(0) = 0$ est la fonction nulle. \item Soit $X$ et $Y$ deux matrices carrées non nulles de même taille à coefficients réels. \textbf{Proposition :} Si $XY = 0$ alors les matrices $X$ et $Y$ ne sont pas inversibles. \item Un groupe est constitué de 6 filles et 4 garçons. On forme une équipe de cinq personnes, composée de 3 filles et 2 garçons, extraits de ce groupe. \textbf{Proposition :} On peut réaliser 120 équipes différentes. \item On considère la fonction $f : x \longmapsto \sqrt{x^2 + 3x + 2} - x$ définie sur l'intervalle $[-1~;~+\infty[$. \textbf{Proposition :} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = \dfrac 32$. \item Une voiture roule à la vitesse uniforme de 90~km.h$^{-1}$ pendant 1~h 12~min, puis à 40~km.h$^{-1}$ pendant une durée inconnue. Sur l'ensemble du trajet, la vitesse moyenne de cette voiture est égale à 50 km.h$^{-1}$. \textbf{Proposition :} La durée inconnue est 4~h 48~min. \item On considère trois suites numériques $(u_n),\: (v_n)$ et $(w_n)$ définies sur $\N$. On suppose qu'il existe un entier naturel $N$ tel que, pour tout $n \geqslant N,\: u_n \leqslant v_n \leqslant w_n$. \textbf{Proposition :} Si les suites $(u_n)$ et $(w_n)$ convergent alors la suite $(v_n)$ converge. \item L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk. On considère le plan $(P)$ d'équation $-2x +3y - 6z - 27 = 0$ et la sphère $(S)$ de centre A$(4~;~-1~;~3)$ et de rayon 8. \textbf{Proposition :} Le plan $(P)$ est tangent à la sphère $(S)$. \item Soit $A $et $B$ deux évènements indépendants. \textbf{Proposition :} Les évènements $\overline{A}$ et $\overline{B}$ sont des événements indépendants. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\Large Exercice 2} \medskip On considère, pour l'ensemble du problème, les fonctions \[f : x \longmapsto \e^{-x}\cos(x)\quad \text{et}\quad g :x \longmapsto \e^{-x}\sin(x)\] définies et dérivables sur $\R$. On note $\mathcal{f}$ et $\mathcal{g}$ les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthonormé \Oij. \bigskip \textbf{\large Partie I : Propriétés de la fonction $f$} \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que : $\forall n \in \N, \forall x \in \R,\: f(x + 2n)= \e^{-2n}f(x)$. \item Expliquer comment, à partir du graphe de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~2\pi]$, on peut construire le graphe de la fonction $f$ sur tout intervalle $[2n~;~2(n + 1)\pi]$ avec $n$ entier naturel non nul. \item Montrer que : $\forall x \in \R,\quad |f(x)| \leqslant g(x)$. \item Calculer la fonction dérivée de la fonction $f$. \item En déduire les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~2\pi]$. \item On appelle point de contact des courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ tout point dont l'abscisse $x$ vérifie \[f(x) = g(x).\] Déterminer l'ensemble $H$ des points de contact des courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$. \item On se propose de montrer que les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ ont les mêmes tangentes en tous les points de l'ensemble $H$. \begin{enumerate} \item Déterminer une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ en tout point de $H$. \item Déterminer une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_g$ en tout point de $H$ et conclure. \end{enumerate} \item On s'intéresse à la tangente à la courbe $\mathcal{C}g$ au point d'abscisse 0. \begin{enumerate} \item Donner une équation de cette tangente. \item Montrer que cette tangente est au-dessous de la courbe $\mathcal{C}_g$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\large Partie II : Dérivation} \medskip \begin{enumerate}[resume] \item Justifier que la fonction $f$ est la partie réelle de la fonction $h : x \longmapsto \e^{x(- 1 + \text{i})}$ définie sur $\R$. \item Pour tout $n$ entier naturel, déterminer la dérivée $n$-ième de la fonction $h$. \item Soit $n$ un entier naturel. Écrire $(-1 + \text{i})n$ sous forme exponentielle. \item En déduire que, pour tout $n$ entier naturel, la dérivée $n$-ième de la fonction $f$, notée $f^{(n)}$, est la fonction définie sur $\R$ par : \[x \longmapsto \sqrt 2 ^n \cos \left(x + \dfrac{3n\pi}{4} \right)\] \item Déterminer l'ensemble des entiers naturels $n$ tels que $f^{(n)}(0) = 0$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\large Partie III : Calcul intégral} \medskip \begin{enumerate}[resume] \item Montrer que la fonction $F$définie sur $\R$ par $F(x) = \dfrac 12 \e^{-x}(- \cos(x) + \sin (x))$ est une primitive de la fonction $f$. \item Montrer que : \[\displaystyle\lim_{A \to + \infty} \displaystyle\int_0^A f(x)\:\text{d}x = \dfrac 12.\] \end{enumerate} \medskip On se propose d'étudier la suite $(u_n)$ définie, pour tout $n$ entier naturel, par : \[u_n = \displaystyle\int_0^{2n\pi} |f(x)|\:\text{d}x\] \begin{enumerate}[resume] \item \begin{enumerate} \item Étudier les variations de la suite $(u_n)$. \item Montrer, en utilisant la question 5. que : $\forall n \in \N,\: u_n \leqslant 1$. \item En déduire la convergence de la suite $(u_n)$. \end{enumerate} \item Montrer que $u_1 = \dfrac 12\left(1 + 2\e^{-\frac{\pi}{2}} + 2\e^{-\frac{3\pi}{2}} - \e^{-2\pi} \right)$. \item Montrer que : \[\forall n \in \N,\: u_{n+1} = u_n + \e^{-2n\pi} u_1.\] \item En déduire que : \[\forall n \in \N^*,\: u_n = u_1\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \e^{-2k\pi}.\] \item Montrer que : \[\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = \dfrac{u_1}{1 - \e^{-2\pi}}.\] \end{enumerate} \bigskip \textbf{\large Partie IV : Équation différentielle} \medskip \begin{enumerate}[resume] \item Démontrer que $f$ est solution d'une équation différentielle linéaire, du second ordre et à coefficients constants, de la forme : \[(E) : \quad y'' + ay' + by = 0.\] On donnera les valeurs des nombres $a$ et $b$. \item Déterminer les conditions initiales $y(0)$ et $y'(0)$ telles que $f$ soit l'unique solution de l'équation différentielle $(E)$. \item On considère la suite $(v_n)$ définie sur $\N$ par $v_n = f^{(n)}(0)$. En utilisant les questions \textbf{21.} et \textbf{22.}, montrer que : \[\forall n \in \N, \quad \left\{\begin{array}{l c l} v_{n+2} &=&- 2v_{n+1} - 2v_n\\ v_0 &=&1\\ v_1 &=&- 1 \end{array}\right.\] \item En déduire la formule explicite de $v_n$ en fonction de $n$. \item Soit $n$ un entier naturel. Donner le développement limité à l'ordre $n$ en 0 de la fonction $f$. \item On note $(T_0)$ la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point A d'abscisse $0$. \begin{enumerate} \item Justifier qu'une équation de $(T_0)$ est : \[y = - x + 1.\] \item Autour du point A, quelle est la position relative de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $(T_0)$ ? Justifier. \end{enumerate} \item Soit un entier naturel non nul $p$. On pose : $h = 10^{-p}$. \begin{enumerate} \item On souhaite déterminer numériquement le plus grand entier naturel $m$ tel que : \[\forall x \in [-mh~;~0], \quad f(x) \leqslant -x + 1.\] Compléter le programme suivant en précisant ce qu'il faut écrire à la place du mot TEXTE. \begin{center} \begin{tabular}{|l l|}\hline 1 &from math import *\\ 2 &p=int( input (" entrer un entier naturel p = "))\\ 3 &h =10**( - p)\\ 4 &m=0\\ 5 &\\ 6 &while TEXTE :\\ 7 &m=m+1\\ 8 &\\ 9 &print (-(m -1)* h)\\ \hline \end{tabular} \end{center} \item Expliquer pourquoi ce programme se termine toujours. \item Pour tout entier naturel $n,\: n \geqslant 2$, proposer un programme écrit en langage Python permettant de déterminer numériquement le plus grand entier naturel $\ell$ tel que : \[\forall x \in [- \ell h~;~0], \quad f(x) \geqslant P_n(x)\] où $P_n$ est la partie régulière du développement limité de $f$ à l'ordre $n$ en 0. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}