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\begin{center}\textbf{Dur\'ee : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

 {\Large \textbf{\gray \decofourleft~CA/PLP externe   2006~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 1}}\\
On note $\R$ l'ensemble des nombres r\'eels et $\C$ l'ensemble des nombres complexes.\\
Pr\'eciser si chacune des affirmations suivantes est vraie ou est fausse, et justifier la r\'eponse.\\
\begin{enumerate}
\item Soient $f$ une fonction d\'efinie sur un intervalle I $\subset \R$, et $g$ une fonction d\'efinie sur $f(\text{I})$. Les fonctions $f$ et $g$ ne sont pas n\'ecessairement d\'erivables. Si $f$ est d\'ecroissante sur I et si $g$ est d\'ecroissante sur $f(\text{I})$, alors $ g \circ f$ est croissante sur I.
\item 	Si $x$ est un nombre r\'eel irrationnel, alors pour tout nombre entier naturel non nul $n$ le r\'eel $x^n$ est irrationnel.
\item 	Soit (E) l'\'equation diff\'erentielle : $y'' + 9y = 0$. La seule solution de (E) qui v\'erifie la condition initiale $y(0) = 0$ est la fonction nulle.
\item 	Pour tout nombre entier naturel $n$ on a l'\'egalit\'e : $\displaystyle\sum_{k=0}^n k^3  = \left(\displaystyle\sum_{k=0}^n k \right)^2$.
\item 	Soit $f$ une fonction d\'efinie sur $\R$ \`a valeurs dans $\R$. Si $f$ est p\'eriodique et monotone sur $\R$, alors $f$ est constante.
\item 	Toute suite r\'eelle strictement croissante tend vers $+\infty$.
\item 	Soient E un $\R$-espace vectoriel, et $\left(u_{1},~u_{2},~\ldots,~u_{n}\right)$ une base de E. Pour tout vecteur non nul $v$ de E, la famille $\left(u_{1},~u_{2},~\ldots,~u_{n},~v\right)$ est encore une base de E.
\item 	Le plan affine euclidien \'etant rapport\'e \`a un rep\`ere orthonormal, deux droites non parall\`eles aux axes du rep\`ere sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leurs coefficients directeurs est \'egal \`a $(-1)$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 2}}\\	
\emph{Le but de cet exercice est l'\'etude de quelques propri\'et\'es g\'eom\'etriques des quadrangles harmoniques.}\\

\medskip

\noindent On note $\C$ l'ensemble des nombres complexes.\\
Dans tout l'exercice le plan complexe est rapport\'e \`a un rep\`ere orthonormal direct

\medskip

\noindent \textbf{Partie I}\\
Soient les points A, B, C, D d'affixes respectives $a = -2+2\text{i} ~;~ b = -2\text{i}~ ;~ c = -2~ ;~ d = 2+4\text{i}$.\\
Soient les nombres complexes $Z_{1}$ et $Z_{2}$ tels que $Z_{1} = \dfrac{b -a}{d - a}$ 	et $Z_{2} = \dfrac{b -c}{d - c}$.
\begin{enumerate}
\item Faire une figure et placer les points A,B, C et D.
\item  \'Ecrire $Z_{1}$ et $Z_{2}$ sous forme alg\'ebrique et sous forme trigonom\'etrique.
\item 	En d\'eduire la nature des triangles BAD et BCD.
\item 	Montrer que les points A, B, C et D appartiennent \`a un m\^eme cercle dont on pr\'ecisera le centre et le rayon.
\end{enumerate}

\medskip

\noindent \textbf{Partie II}\\
Soient quatre points quelconques A, B, C, D distincts deux \`a deux, d'affixes respectives $a,~ b,~ c$ et $d$.\\
On appelle birapport des quatre points A, B, C, D rang\'es dans cet ordre, le quotient, not\'e [A, B, C, D] :
\[ [\text{A, B, C, D}] = \dfrac{\dfrac{c - a}{c - b}}{\dfrac{d - a}{d - b}}. \]
\begin{enumerate}
\item Montrer que le birapport [A, B, C, D] est un nombre r\'eel si et seulement si les quatre points A, B, C, D sont cocycliques ou align\'es.
\item 	Montrer que la relation [A, B, C, D] $= -1$ est \'equivalente \`a chacune des relations suivantes :

\[\begin{array}{l l}  
(1) &	2(ab+cd) = (a+b)(c+d) ;\\
(2)& \left(c - \dfrac{a+b}{2} \right)\left(d - \dfrac{a+b}{2} \right) = \left(\dfrac{a - b}{2} \right)^2.\\
\end{array}\]
Dans la suite du probl\`eme, on appelle quadrangle harmonique la figure form\'ee par quatre points
A, B, C, D distincts deux \`a deux, non align\'es tels que le birapport [A, B, C, D] soit \'egal \`a $-1$.
\item 	Montrer que le quadrangle A, B, C, D de la partie 1 est harmonique.
\item 	Soit A, B, C et D un quadrangle harmonique. On note I le milieu du segment [AB]. En utilisant les r\'esultats de la question 2. ci-dessus, montrer que la droite (AB) est la bissectrice de l'angle des demi-droites [IC) et [ID), et que l'on a :
\[\text{IC} \times  \text{ID} = \dfrac{\text{AB}^2}{4}\]
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 3}}\\	
\emph{Le but de cet exercice est l'\'etude d'une chaîne de transmissions al\'eatoires d'une information binaire.}\\

\medskip

\noindent Un \'emetteur $E$ \'emet une information binaire (c'est-\`a-dire ne prenant que la valeur $0$ ou la valeur $1$).\\
 Un r\'ecepteur $R$ re\c{c}oit cette information qui, pour des raisons non d\'evelopp\'ees ici, peut \^etre conforme ou non \`a l'information \'emise. Quelle que  soit l'information \'emise par $E$ (\og 0 \fg{} ou \og  1 \fg), la probabilit\'e que l'information re\c{c}ue par $R$ soit conforme \`a  l'information \'emise par $E$ est \'egale \`a $p (0 < p <  1)$ et la probabilit\'e que l'information re\c{c}ue par $R$ soit non-conforme \`a l'information \'emise est \'egale \`a $(1 - p)$.\\
  Ainsi par exemple lorsque l'information \'emise par $E$ est \og  0 \fg, la probabilit\'e que l'information re\c{c}ue par $R$ soit \og  $0$ \fg{} est \'egale \`a $p$ et la probabilit\'e que l'information re\c{c}ue par R soit \og  1 \fg{} est \'egale \`a $(1 - p)$.
  
\medskip
  
\noindent \textbf{Partie 1}\\
Dans cette partie, l'information binaire est transmise le long d'une chaîne de $(n+1)$ \'el\'ements
\'electroniques, not\'es $E_{0},~ E_{1},~\ldots,~ E_{n}$.\\
Chaque \'el\'ement $E_{k}$ est successivement r\'ecepteur, puis \'emetteur, except\'e le premier \'el\'ement $E_{0}$ qui est seulement \'emetteur et le dernier \'el\'ement $E_{n}$ qui est seulement r\'ecepteur. L'information \'emise par un \'emetteur-r\'ecepteur est toujours identique \`a celle re\c{c}ue.\\ Pour tout nombre entier $k$ compris entre $0$ et $(n-1)$, la transmission d'information de l'\'el\'ement $E_{k}$ \`a l'\'el\'ement suivant $E_{k+1}$ suit la loi d\'efinie en d\'ebut d'exercice, c'est-\`a-dire que l'\'el\'ement $E_{k+1}$ re\c{c}oit correctement l'information binaire \'emise par $E_{k}$ avec une probabilit\'e \'egale \`a $p (0 < p < 1)$, et re\c{c}oit l'information contraire  avec la probabilit\'e $(1 - p)$.\\
Par ailleurs, on a constat\'e que la qualit\'e de la transmission d'un \'el\'ement $E_{k}$ \`a l'\'el\'ement suivant $E_{k+1}$ ne d\'epend pas de ce qui s'est pass\'e lors des transmissions pr\'ec\'edentes.\\
On note $A_{k}  (1 \leqslant  k \leqslant  n)$, l'\'ev\`enement \og la valeur re\c{c}ue par $E_{k}$ est identique \`a celle \'emise par $E_{0}$ \fg, et on d\'esigne par $P_{k}$ sa probabilit\'e. On convient que $p_{0} =  1$.
\begin{enumerate}
\item  \'Etude du cas particulier $n =2$.
	\begin{enumerate}
		\item Construire un arbre pond\'er\'e d\'ecrivant cette situation dans le cas $n =  2$. On pr\'ecisera sur ce sch\'ema les diff\'erentes probabilit\'es.
		\item	D\'eterminer $p_{1}$ et $p_{2}$.
		\end{enumerate}
\item	\'Etude du cas g\'en\'eral.\\
	D\'emontrer que pour tout nombre entier $k$ compris entre $0$ et $(n - 1)$ on a :
		\[p_{k+1} =  (2p - 1)p_{k} + 1 - p. \]
\item	On se propose de d\'eterminer, l'expression de $p_{n}$ en fonction de $n$.
	\begin{enumerate}
		\item 
 Pour tout nombre entier naturel $k$ inf\'erieur ou \'egal \`a $n$, on pose : $u_{k} =  p_{k} - \dfrac{1}{2}$.
		\begin{enumerate}
			\item Montrer que les $\left(u_{k}\right)_{0\leqslant k \leqslant n}$	sont les premiers termes d'une suite g\'eom\'etrique dont on pr\'ecisera la raison.
			\item  En d\'eduire l'expression de $p_{n}$ en fonction de $n$ et de $p$.
		\end{enumerate}
		\item  D\'emontrer que la suite $\left(p_{n}\right)_{n \in \N}$ converge et d\'eterminer sa limite.
		\item  Comment peut-on interpr\'eter ce r\'esultat ?
	 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\noindent \textbf{Partie II}\\
Dans cette partie, l'\'emetteur $E_{0}$ \'emet une information binaire transmise directement, sans passer par des interm\'ediaires, vers une famille de r\'ecepteurs. Dans la suite de l'exercice on supposera que cette famille est infinie, et on la notera $\left(R_{i}\right)_{i \in \N}$. Une partie de cette famille de r\'ecepteurs $\left(R_{i}\right)_{i \in \N}$	est \og \`a l'\'ecoute\fg autrement dit est pr\^ete \`a recevoir l'information \'emise par $E_{0}$, conforme ou non.\\
On suppose que les transmissions entre l'\'emetteur $E_{0}$ et chacun des r\'ecepteurs \og \`a l'\'ecoute \fg dans la famille $\left(R_{i}\right)_{i \in \N}$ sont ind\'ependantes les unes des autres et que la r\`egle de transmission est la m\^eme que celle d\'efinie en d\'ebut d'exercice, c'est-\`a-dire qu'un r\'ecepteur \og \`a l'\'ecoute \fg re\c{c}oit correctement l'information binaire \'emise par $E_{0}$ avec une probabilit\'e \'egale \`a $p (0 < p < 1)$, et re\c{c}oit l'information  contraire avec la probabilit\'e $(1 - p)$.
\begin{enumerate}
\item On consid\`ere que $n$ r\'ecepteurs sont \og \`a l'\'ecoute \fg. D\'eterminer la probabilit\'e que $k$ d'entre eux exactement re\c{c}oivent correctement la valeur \'emise par $E_{0}$ ($k$ \'etant un nombre entier compris entre $0$ et $n$).
\item 	Le nombre de r\'ecepteurs \og \`a l'\'ecoute\fg est une variable al\'eatoire $X$. On admet que cette variable suit une loi de Poisson de param\`etre $\lambda,~ \lambda$ \'etant un nombre r\'eel strictement positif donn\'e. Pour tout entier naturel $k$ on a donc :

\[P(X = k) = \dfrac{\text{e}^{- \lambda}\lambda^k}{k!}.\]
On appelle $Y$ la variable al\'eatoire repr\'esentant le nombre de r\'ecepteurs de la famille $\left(R_{i}\right)_{i \in \N}$ qui re\c{c}oivent la valeur \'emise par l'\'emetteur $E_{0}$.
	\begin{enumerate}
		\item  D\'ecrire par une phrase l'\'ev\`enement ($Y= 0$).
		\item On appelle $B_{n}$ l'\'ev\`enement : \og $n$ r\'ecepteurs exactement sont \og \`a l'\'ecoute \fg{} \fg.\\
D\'emontrer que $P\left((Y = 0) \cap  B_{n}\right) = \dfrac{\text{e}^{- \lambda}(1 - p)^n \lambda^n}{n!}$. 
		\item 	Justifier que l'on peut d\'ecrire l'\'ev\`enement ($Y= 0$) sous la forme suivante :
\[(Y=0) = \bigcup_{n=0}^{+ \infty} \left[(Y=0) \cap B_{n}\right].\]
En d\'eduire que $P((Y= 0))= \text{e}^{-\lambda p}.$\\
(On rappelle que $\forall x \in  \R,~\displaystyle\sum_{n=0}^{+ \infty} \dfrac{x^n}{n!} = \text{e}^x$.
		\item 	Pour tout nombre entier $k$ naturel, d\'eterminer $P(Y = k)$. En d\'eduire que $Y$ suit une loi de Poisson dont on d\'eterminera le param\`etre.\\
	Donner alors son esp\'erance $E(Y)$ et sa variance $V(Y)$.
 	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 4}}\\	
\emph{Le but de cet exercice est l'\'etude de propri\'et\'es li\'ees aux polyn\^omes de Bernoulli}

\medskip

\noindent Pour tout nombre entier naturel $k$ tel que $0 \leqslant  k \leqslant  n$, on note $\binom{n}{k}$ le nombre de combinaisons de $k$ \'el\'ements pris parmi $n$. On rappelle que  $\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n - k)!}$.\\
On admet, dans tout cet exercice, qu'il existe une unique suite $\left(b_{n}\right)_{n \in \N}$ d\'efinie par la condition initiale
$b_{0} = 1$ et la relation de r\'ecurrence $\displaystyle\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} b_{k} = 0$, valable pour tout $n$ entier sup\'erieur ou \'egal \`a $2$.\\
On appelle \emph{nombres de Bernoulli} les nombres r\'eels not\'es $b_{k}$ ainsi d\'efinis.\\
On appelle \emph{polyn\^omes de Bernoulli} les polyn\^omes $B_{n}(X)$ d\'efinis par : $B_{0}(X) = 1$ et pour tout nombre entier naturel non nul $n,~ B_{n}(X) = \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \binom{n}{k} b_{k}X^{n-k}$.
\begin{enumerate}
\item  D\'eterminer $b_{1},~ b_{2},~  b_{3}$ et $b_{4}$. Montrer en particulier que $b_{4} = - \dfrac{1}{30}$.
\item  D\'eterminer les polyn\^omes $B_{1}(X),~B_{2}(X)$ et $B_{3}(X)$.
\item  V\'erifier que, pour tout nombre entier $n$ sup\'erieur ou \'egal \`a $2,~ B_{n}(0) = B_{n}(1) = b_{n}$.
\item  D\'emontrer que, pour tout nombre entier $n$ sup\'erieur ou \'egal \`a 1, $B'_{n}(X) = nB_{n-1}(X)$.
\item  En d\'eduire que, pour tout nombre entier $n$ sup\'erieur ou \'egal \`a 1, $\displaystyle\int_{0}^1 B_{n}(t)\:\text{t} = 0$.
\item  \'Etablir par r\'ecurrence que, pour tout nombre entier $n$ sup\'erieur ou \'egal \`a $1$,
\[B_{n}(X+1) -B_{n}(X) = nX^{n-1}.\]
\item En d\'eduire que pour tout nombre entier naturel $m$, et pour tout nombre entier $n \geqslant  2$, on a :

\[\sum_{k=0}^{m} k^n = \dfrac{1}{n+1}\left(B_{n+1}(m+1) - B_{n+1}(0) \right).\]Retrouver alors la formule donnant $\displaystyle\sum_{k=0}^{m} k^2$.

\item On admet dans les questions suivantes que la suite $\left(B_{n}\right)$ est l'unique suite de polyn\^omes v\'erifiant les propri\'et\'es d\'emontr\'ees aux questions 4 et 5 et telle que $B_{0}(X)
= 1$.\\
Pour tout nombre entier naturel $n$, on pose : $A_{n}(X) = (- 1)^n B_{n}(1 - X)$.
	\begin{enumerate}
		\item  D\'emontrer que la suite $\left( A_{n}\right)$ est confondue avec la suite $\left(B_{n}\right)$.
		\item  En d\'eduire que pour tout nombre entier $p$ sup\'erieur ou \'egal \`a 1,\\ $b_{2p+1} = 0$.
 	\end{enumerate}
\item Soient $n$ et $p$ deux nombres entiers sup\'erieurs ou \'egaux \`a 1. Soit $f$ une fonction de classe C$^{2p+1}$ sur l'intervalle [0 ; 1]. Pour tout nombre entier naturel non nul $n$, on d\'esigne par $f^{(n)}$ la d\'eriv\'ee d'ordre $n$ de $f$ et on pose par convention $f^{(0)} = f$.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que, pour tout nombre entier $n$ de l'intervalle $[2~; 2p+ 1]$, on a :
$\displaystyle\int_{0}^1 f^{(n)}(t) \times  B_{n}(t)\:\text{d}t =  b_{n}\times \left(f^{n-1)}(1) - f^{n-1)}(0)\right)  - n \times  \displaystyle\int_{0}^1 f^{(n-1)} \times  B_{n-1}(t)\:\text{d}t$.
		\item 	En d\'eduire que, pour tout nombre entier naturel $k$ de l'intervalle $[1 ~;~ p]$, on a :\\
$\dfrac{1}{(2k + 1)!}\displaystyle\int_{0}^1 f^{(2k+1)}(t)B_{2k+1}(t)\:\text{d}t - \dfrac{b_{2k}}{(2k)!}\left(f^{(2k-1)}(1) - f^{(2k-1)}(0)\right)   +\\ \dfrac{1}{(2k-1)!}\displaystyle\int_{0}^1 f^{(2k-1)}(t)B_{2k-1}(t)\:\text{d}t.$
		\item 	Montrer alors la premi\`ere formule d'Euler-Mac Laurin :\\
		pour tout nombre entier naturel $p$ non nul,\\
$\displaystyle\int_{0}^1  f(x)\:\text{d}x  = \dfrac{f(0) +f(1)}{2} - \displaystyle\sum_{k=1}^p b_{2k} \dfrac{f^{(2k-1)}(1) - f^{(2k-1)}(0)}{(2k)!}  - \\\dfrac{1}{(2p +  1)!}\displaystyle\int_{0}^1 f^{(2p+1)}(t)B_{2p+1}(t)\:\text{d}t.$
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}