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\begin{document}
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\lhead{\small CAPLP externe}
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\rfoot{\small{ 2007}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}

\vspace{0,25cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~CAPLP externe mathématiques-sciences 2007~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill }

\medskip
Pour chacune des affirmations suivantes, préciser si  elle est vraie ou si elle est fausse puis :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] si elle est vraie, la démontrer
\item[$\bullet~$] si elle est fausse, donner un contre-exemple.
 \end{itemize}
\begin{enumerate}
\item  Toute suite réelle, convergente est monotone à partir d'un certain rang.
\item  Soient $f$ et $g$ deux fonctions. déflnies de $\R$ dans $\R$.

Dans le plan muni d'un repère orthoxormé direct \Oij{} on considère $M(t)$ le point de coordonnées $(f(t),~g(t))$ et on note $\Gamma$ la courbe décrite par le point $M(t)$ lorsque $t$ décrit $\R$.

Ainsi $\Gamma$ est la courbe paramétrée par $\left\{\begin{array}{l cl}
x&=&f(t)\\
y&=&g(t)\\
\end{array}\right.,~t~\text{variant dans}~\R$.

L'affirmation est la suivante : si les fonctions $f$ et $g$ sont paires, la courbe $\Gamma$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. $y'\text{O}y$.
\item  La fonction $h~:~\longmapsto x \sqrt{|x|}$ est dérivable  sur $\R$.
\item  Pour une fonction $f$ continue sur l'intervalle [0~;~1], si $\displaystyle\int_{0}^1 f(t)\:\text{d}t = 0$, alors $f$ est la fonction
nulle sur l'intervalle [0~;~1].
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill }

\medskip

\begin{enumerate}
\item  \textbf{Étude de la fonction \boldmath$f$ \unboldmath  telle que} \boldmath $f(x) = \dfrac{x}{\ln (x)}$ \unboldmath
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer l'ensemble D de tous les nombres réels $x$ pour lesquels $f(x)$ est défini.
		\item On pose désormais $f(0) = 0$. La fonction $f$ est-elle alors continue à droite en $0$ ?
		\item  La fonction $f$ est-elle alors dérivable à droite en $0$ ?
		\item  Étudier les variations de la fonction $f$ et dresser son tableau de variations sur D~$\cup \{0\}$.
		
On y fera apparaître les différentes limites et la valeur de $f(\text{e})$, où e est le nombre réel positif tel que $\ln(\text{e}) = 1$.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Étude de la suite \boldmath $v$ \unboldmath telle que \boldmath $v_{0} = 3$ \unboldmath et \boldmath $\forall n \in \N,~ v_{n+1} = f\left(v_{n}\right)$ \unboldmath où \boldmath $f$ \unboldmath est la fonction étudiée à la question 1}
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer, par récurrence sur $n$, que

\[\forall n \in \N,~v_{n} \geqslant \text{e}.\]

		\item Justifier que la suite $v$ converge et déterminer sa limite
		\item Montrer que :

\[\forall x \geqslant \text{e},~0 \leqslant f'(x) \leqslant \dfrac{1}{4}.\]

		\item Énoncer l'inégalité des accroissements finis.
		\item En déduire que :

\[\forall n \in \N,~\left|v_{n} - \text{e}\right| \leqslant \dfrac{1}{4^n}.\]

		\item Déterminer un entier naturel $n_{1}$ à partir duquel $v_{n}$ est  une valeur approchée du nombre réel e à au moins $10^{-12}$.
 	\end{enumerate}
\item \textbf{Solutions d'une équation différentielle}\\
Soit K l'intervalle $]1~;~+\infty[$.

On note E$_{1}$ l'équation diflërentieile suivante :

	 \[-x^2z'(x) + xz(x) = z^2(x).\]
	 
On recherche les fonctions $z$  solutions de E$_{1}$ sur l'intervalle K et qui ne s'annulent pas sur K.
	\begin{enumerate}
		\item On pose $y = \dfrac{1}{z}$. Vérifier que $y$ est solution sur K d'une équation différentielle linéaire du premier ordre que l'on notera E$_{2}$.
		\item Résoudre l'équation différentielle E$_{2}$ sur l'intervalle K.
		
On vérifiera ensuite que ces solutions sont de la forme $g_{a}~:~ x \longmapsto \dfrac{\ln (ax)}{x}$ où $a$ est un nombre réel strictement positif.

Vérifier que, pour tout nombre réel $a$ supérieur ou égal à 1, $g_{a}$ ne s'annule pas sur K.
		 
On a donc ainsi, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle K,~$ z(x) = \dfrac{x}{\ln (ax)}$.
		\item Pour tout nombre réel $a$ strictement positif, on note $\mathcal{C}_{a}$ la courbe representative de la fonction $f_{a}~:~x \longmapsto \dfrac{\ln (ax)}{x}$ dans le plan muni d'un repère orthonormé d'origine O.
		
Montrer que la courbe $\mathcal{C}_{a}$ est l'image de la courbe $\mathcal{C}_{1}$ par une homothétie de  centre O dont on précisera le rapport.
	 \end{enumerate}
 \end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill }

\medskip 

\begin{enumerate}
\item  \textbf{Calcul des puissances successives d'une matrice}

On note $\mathcal{B}_{c} = \left(\vect{e_{1}},~\vect{e_{2}},~\vect{e_{3}}\right)$ la base canonique de l'espace vectoriel $\R^3$. On a donc :

\[\vect{e_{1}}= (1~;~0~;~0),\quad \vect{e_{2}} = (0~;~1~;~0),\quad \vect{e_{3}}	= (0~;~0~;~1).\]

On considère les matrices suivantes :

\[A = \begin{pmatrix}
0&1&0&\\
4&2&4&\\
0&1&0\\
\end{pmatrix},~\quad Q = \begin{pmatrix}
1&1&1\\-2&4&0\\
1&1&-1\\
\end{pmatrix},~\text{et}~I_{3} = \begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1\\
\end{pmatrix}\]

On considère l'endomorphisme $f$ de $\R^3$ dont la matrice dans la base $\mathcal{B}_{c}$, est $A$.
	\begin{enumerate}
		\item  On considère les vecteurs suivants de $\R^3$ : $\vect{u_{1}} = (1~;~-2~;~1),~\vect{u_{2}} = (1~;~4~;~1),\\\vect{u_{3}} =(1~;~0~;~-1)$.
		
Vérifier que la famille $\mathcal{B}_{n} = \left(\vect{u_{1}},~\vect{u_{2}},~\vect{u_{3}}\right)$ est une base de l'espace vectoriel $\R^3$. $Q$ est ainsi la matrice de passage de la base $\mathcal{B}_{c}$ à la base $\mathcal{B}_{n}$.
		\item Calculer $Q^2 $ et $Q^3$ et vérifier que $Q^3$ est combinaison linéaire de $I_{3}$ et de $Q^2$.
		\item En déduire que la matrice $Q$ est inversible, puis déterminer son inverse $Q^{-1}$.
		\item Vérifier que les vecteurs $\vect{u_{1}} ,~\vect{u_{2}}$ et$\vect{u_{3}}$  sont des vecteurs propres de l'endomorphisme $f$.\\
 En déduire la matrice $A'$ de l'endomorphisme $f$ dans la base $\mathcal{B}_{n}$.
		\item Rappeler le lien entre les matrices $A',~ A$ et $Q$.
		\item En déduire, pour tout nombre entier naturel $n$ non nul, l'expression de la matrice $A^n$ en
fonction de $A',~ Q$ et $n$.
 	\end{enumerate}
Pour la suite de l'exercice, on admettra que, pour tout nombre entier naturel $n$ non nul :

\[A^n = \dfrac{2^n}{6} = \begin{pmatrix}	2^n + 2(-1)^n & 2^n - (-1)^n&2^n + 2(-1)^n\\2^{n+2} - 4(-1)^n& 2^{n+2} + 2(-1)^n&2^{n+2}  - 4(-1)^n\\
2^n + 2(-1)^n & 2^n - (-1)^n & 2^n + 2(-1)^n\\\end{pmatrix}\]

\item \textbf{Étude de la loi d'une variable aléatoire}

Dans un jeu, un pion se déplace aléatoirement sur  les sommets d'un triangle, notés S$_{1}$,~S$_{2}$,~S$_{3}$, selon la règle suivante :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] À l'instant $0$, le pion se situe au sommet S$_{1}$.
\item[$\bullet~~$] Si à l'instant $n$ le pion est au sommet S$_{1}$, alors à l'instant $n+ 1$ il  sera au sommet S$_{2}$.
\item[$\bullet~~$] Si à l'instant $n$ le pion est au sommet S$_{2}$, alors à l'instant $n+ 1$ il sera au sommet S$_{1}$ avec
la probabilité $\dfrac{1}{4}$, au sommet S$_{2}$ avec la probabilité $\dfrac{1}{2}$, au sommet S$_{3}$ avec la probabilité $\dfrac{1}{4}$.
\item[$\bullet~~$] Si à l'instant $n$ le pion est au sommet S$_{3}$, alors à l'instant $n + 1$ il sera au sommet S$_{2}$.
 \end{itemize}
 
\medskip
 
On appelle $X_{n}$ la variable aléatoire égale à $i$ si le pion se trouve à l'instant $n$ sur le sommet S$_{i}$, et on note $a_{n}~b_{n},~c_{n}$ les probabilités :

\[a_{n} = P(\{X_{n} = 1\}),~b_{n} =  P(\{X_{n} = 2\}),~ c_{n} = P(\{X_{n} = 3\}).\]

\begin{enumerate}
\item  On note $T_{n}$ la matrice à une colonne : $T_{n} = \begin{pmatrix} a_{n}\\ b_{n}\\c_{n}\\\end{pmatrix}$. 

Préciser les matrices $T_{0}$ et $T_{1}$.
\item  Écrire la matrice $M$, carrée d'ordre 3, dont le terme situé à l'intersection de la $i$-ième ligne et de la $j$-ième colonne est égal à la probabilité conditionnelle $P_{\{X_{n} = j\}}\left( \{X_{n+1} = i\}\right)$, notée aussi $P\left(\{X_{n+1}= i\} / \{X_{n} = j\}\right)$.
\item  Justifier que les conditions d'application de la formule des probabilités totales sont réunies, puis l'utiliser pour montrer que, pour tout nombre entier naturel $n$ :

\[T_{n+1} =  MT_{n}.\]

\item  En déduire l'expression de la matrice $T_{n}$ en fonction de $n,~T_{0}$ et $A$, où $A$ est la matrice étudiée à la question 1.
\item  En déduire les probabilités $a_{n}~,b_{n},~c_{n}$ en fonction de $n$, ainsi que leur limite quand $n$ tend
vers $+\infty$.
\item  Vérifier que, pour tout nombre entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, l'espérance de $X_{n}$ est indépendante de $n$.
	 \end{enumerate}
 \end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill }

\medskip
  
Dans tout cet exercice, on se place dans l'espace affine euclidien réel $\mathcal{E}$ rapporté à un repère orthonormé direct $\mathcal{R} =$ \Oijk.

Soient les points A(1~;~0~;~0), B(0~;~1~;~0) et C(0~;~0~;~ 1). Pour tout point $M$ de l'espace $\mathcal{E}$ de coordonnées $(x~;~y~;~z)$ dans le repère $\mathcal{R}$, on note indifféremment $\varphi(M)$ ou $\varphi(x~;~y~;~z)$  la quantité :

\[\varphi(M) = \varphi(x~;~y~;~z) =  \text{O}M + \text{A}M + \text{B}M + \text{C}M\]

On admettra ici que la quantité $\varphi(M)$ admet un minimum global, noté $m$, lorsque le point $M$ décrit l'espace $\mathcal{E}$ et on souhaite obtenir la valeur de ce minimum ainsi que le(s) point(s) en le(s)quel(s) ce minimum est réalisé.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer et comparer lesquantités $\varphi$(O), $\varphi$(A), $\varphi$(B) et $\varphi$(C).
\item  Justifier que $0 \leqslant  m \leqslant  3$ et que si $\varphi$ réalise son minimum $m$ en un point P alors OP$\leqslant  3$.
\item  Soit $r$ l'application affine de l'espace $\mathcal{E}$ transformant le point $M(x~;~y~;~z)$ en le point $M' = r(M)$ de coordonnées $(y~;~z~;~x)$.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer les images par l'application $r$ des points O, A, B et C. 
		\item  Vérifier que l'application $r$ est une isométrie, c'est-à-dire que, pour tout couple de points $(M,~ N)$ de $\mathcal{E}^2$, les distances $r(M)r(N)$ et $MN$ sont égales, c'est-à-dire $M'N' = MN$. 
		\item  Pour tout point $M$ de l'espace $\mathcal{E}$, montrer que $\varphi(M) =  \varphi(M')$.
	\end{enumerate}
\item Soit $\Delta$ la droite passant par le point O et de vecteur directeur $\vect{a} = \vect{\imath} + \vect{\jmath} + \vect{k}$.

Soit $P$ un point qui n'est pas sur la droite $\Delta$.

Soient $P' = r(P)$ et $P'' =  r(P')$ et soit $Q$ l'isobarycentre des points $P,~P'$ et $P''$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que pour tout point $M$ de l'espace $\mathcal{E}$, on a :
		
$MQ \leqslant \dfrac{1}{3}\left(MP + MP'+ MP''\right)$. 
		\item En déduire que $\varphi(Q) - \text{O}Q \leqslant  \varphi (P) - \text{O}P$.
		\item Vérifier que $\vect{\text{O}Q} \cdot \vect{QP} = 0$, puis en déduire que $\varphi(Q) < \varphi(P)$.
		\item Si l'application $\varphi$ réalise son minimum $m$ en un point $P$, que sait-on désormais sur ce point $P$ ?
	\end{enumerate}
\item On considère la fonction $\Phi$ définie en tout nombre réel $x$ par  $\Phi(x) = \varphi(x,~x,~x)$.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que, pour tout nombre réel $x$  négatif ou nul, $\Phi(x) \geqslant \Phi(0)$.
		\item Étudier le sens de variation de la fonction $\Phi$ sur  $\R_{+}*$.
		\item En déduire l'existence d'un point $P_{0}$ en lequel l'application $\varphi$ atteint son minimum.
		
Déterminer le point $P_{0}$ et le minimum de l'application $\varphi$.
	 \end{enumerate}
\item 	 Vérifier que $P_{0}$ est le barycentre du système de points pondérés $\left\{(\text{O},~3),~(\text{A},~1),~(\text{B},~1),~(\text{C},~1)\right\}$.

On note $\theta$ une mesure de l'angle non orienté $\widehat{\text{A}P_{0}\text{B}}$, choisie dans l'intervalle $[0~;~\pi]$.

Déterminer la valeur exacte de $\cos (\theta)$ et une valeur approchée à un degré près par défaut de $\theta$.

Remarque : On pourrait vérifier (mais ceci est admis ici) qu'en fait les mesures des angles $\widehat{\text{O}P_{0}\text{A}},~\widehat{\text{O}P_{0}\text{B}},~\widehat{\text{O}P_{0}\text{C}},~\widehat{\text{A}P_{0}\text{B}}, \widehat{\text{B}P_{0}\text{C}}$ et $\widehat{\text{C}P_{0}\text{A}}$ choisies dans l'intervalle $[0~;~\pi]$ sont toutes égales à  $\theta$.
\end{enumerate}
\end{document}