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\begin{center} { \Large{ \textbf{\gray \decofourleft~CAPLP externe et troisième concours 2008 
~\decofourright }\\
Mathématiques - Sciences}}

\bigskip

DURÉE : 4 heures
 \end{center}

\vspace{1cm}

\noindent Ce sujet comprend quatre exercices.\\
Le premier exercice est un test vrai-faux avec justification.\\
Le deuxième exercice traite de probabilités.\\
Le troisième exercice étudie la nature géométrique d'une application du plan complexe dans lui-même.\\
Le quatrième exercice porte sur des suites adjacentes.\\

\vspace{1cm}

La clarté et la précision des raisonnements, la qualité de la rédaction,
interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage des calculatrices de poche est autorisé (conformément aux directives de la circulaire n° 99-186 du 16 novembre 1999).

\newpage

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 1}}\\
Pour chacune des propositions suivantes, préciser si elle est vraie ou si elle est fausse puis justifier votre réponse.\\
Remarque : la réponse « proposition vraie » ou « proposition fausse » non argumentée ne rapporte aucun point.\\

\medskip

\noindent \textbf{Proposition 1 :}\\
Soit $f$ une fonction définie et croissante sur l'intervalle $[-3~;~2]$ telle que $f(-3) = -1$ et $f(2) = 4$. Alors l'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution dans l'intervalle $[-3~;~2]$.\\

\medskip

\noindent \textbf{Proposition 2 :}\\
Soit $f$ la fonction définie en tout réel $x$ différent de $-1$ par $f(x) = \dfrac{5x +  3}{4x + 4}$.\\ 
Alors, pour tout nombre réel $x$ supérieur ou égal à $1$, on a $f(x) \geqslant 1$.

\medskip

\noindent \textbf{Proposition 3 :}\\
On note $\R$ l'ensemble des nombres réels.\\
Soit $f$ une fonction définie sur $\R$, à valeurs dans $\R$, dérivable sur $\R$. Si la fonction $f$ est
croissante sur $\R$, alors sa fonction dérivée $f'$ est positive ou nulle sur $\R$.

\medskip

\noindent \textbf{Proposition 4 :}\\
Un cycliste part d'une ville A et roule jusqu'à une autre ville B à la vitesse moyenne de $20$~kilomètres par heure. Il repart de la ville B et revient par le chemin inverse jusque la ville A à
la vitesse moyenne de $30$~kilomètres par heure. Sa vitesse moyenne sur le trajet aller-retour est donc de $25$~kilomètres par heure.


\medskip

\noindent \textbf{Proposition 5 :}\\
Soit $f$ une isométrie du plan. Soient A et B deux points du plan et A$'$ l'image du point A par l'application $f$. On suppose que A$' \neq$~ A. Si B est un point fixe de $f$, c'est-à-dire si $f$(B) = B,
alors B appartient à la médiatrice du segment [AA$'$].

\vspace{1cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 2}}\\
Les questions 3. a. et 3. b. ne dépendent pas des questions 2. a. et 2. b.\\
Dans la fabrication d'appareils électroniques, une entreprise utilise trois types de composants
(nommés X, Y et Z) dans les proportions suivantes : 15\:\%
 de composants de type X, 55\:\%
  de type Y et 30\:\%
   de type Z.\\
On sait que 5\:\%
    des composants du type X sont défectueux, 3\:\%
     des composants du type Y et
2\:\%
      des composants du type Z.\\
On dispose d'un stock constitué de tels composants dans les proportions indiquées ci-dessus.
\begin{enumerate}
\item  On prélève un composant de ce stock. Chaque composant a la même probabilité d'être prélevé.\\
On note X l'év\`enement : « le composant est de type X » et on définit de la même manière
les év\`enements Y et Z. On note D l'év\`enement : « le composant est défectueux » et B l'év\`enement : « le composant n'est pas défectueux ».
	\begin{enumerate}
		\item  Quelle est la probabilité que le composant prélevé soit un composant défectueux de type X ?
		\item Quelle est la probabilité que le composant prélevé soit défectueux ? On notera $p$ cette probabilité. On vérifiera que $p = 0,03$.
		\item Les deux év\`enements « le composant est de type X » et « le composant est défectueux » sont-ils indépendants ?
		\item Sachant que le composant prélevé est défectueux, quelle est la probabilité qu'il soit de type Z ?
 	\end{enumerate}
\item À l'issue du processus de fabrication, un test permet de repérer les composants défectueux.\\
Ces derniers sont alors remplacés. Le remplacement d'un composant occasionne un surco\^ut de $2$~\euro{} s'il est de type X, de $3$~\euro{} s'il est de type Y, de $5$~\euro{} s'il est de type Z.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer le surco\^ut moyen de remplacement d'un composant défectueux.
		\item  Si on répercute ce co\^ut sur l'ensemble des composants (défectueux ou non), à combien s'élève en moyenne le surco\^ut occasionné par la présence de composants défectueux dans le stock ? \\On arrondira le résultat au centime d'euro inférieur.
 	\end{enumerate}
\item On prélève cette fois quatre composants dans le stock. Ce stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de quatre composants.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la probabilité que les quatre composants prélevés soient d'un même type.
		\item On note N le nombre de composants qui ne sont pas défectueux parmi les quatre composants prélevés. Déterminer, à $0,001$~près, la probabilité qu'au moins trois des quatre composants prélevés ne soient pas défectueux.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 3}}\\
Dans le plan complexe $\mathcal{P}$ rapporté à un repère orthonormé direct \Ouv, on considère l'application $f$ du plan $\mathcal{P}$ dans le plan $\mathcal{P}$ qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$
d'affixe 
\[z' = \dfrac{5}{2}z + \left(\dfrac{3}{2} + 2\text{i}\right)\overline{z} + 2\text{i}.\]
Pour les figures, on prendra $2$~cm pour unité de longueur.\\
On désigne par A, B, C les points d'affixes $z_{\text{A}} = 1,~ z_{\text{B}} = - 1 + 2\text{i}$ et $z_{\text{C}} = 1 - \dfrac{5}{2}\text{i}$.

\begin{enumerate}
\item  Soient A$'$, B$'$, C$'$ les images respectives des points A, B, C par l'application $f$.
	\begin{enumerate}
		\item  Donner les affixes des points A$'$, B$'$, C$'$.
		\item Placer les points A, B, C, A$'$, B$'$, C$'$ sur une figure.
		\item Montrer que les points A$'$, B$'$, C$'$ sont alignés. On note D$'$ la droite (A$'$B$'$).
	 \end{enumerate}
\item  Soit $h$ l'homothétie de centre $\Omega$ d'affixe $z_{\Omega} = - \dfrac{1}{2}\text{i}$ et de rapport $5$.
	\begin{enumerate}
		\item  Soit $M$ un point d'affixe $z$. Exprimer, en fonction de $z$, l'affixe $z_{1}$ de l'image du point $M$ par l'application $h$.
		\item On note $h^{- 1}$ l'application réciproque de l'application $h$. Caractériser l'application $h^{- 1}$ et exprimer, en fonction de $z$, l'affixe $z_{2}$ de l'image du point $M$ d'affixe $z$ par
l'application $h^{- 1}$.
		\item Déterminer les affixes des points A$_{2}$,~B$_{2}$ et C$_{2}$ images respectives des points A$'$,
B$'$ et C$'$ par l'application $h^{- 1}$ et placer ces points sur la figure de la question 1. b.
		\item On note D$_{2}$ l'image de la droite D$'$ par l'application $h^{- 1}$. Vérifier que D$_{2}$ est la
droite passant par O et de vecteur directeur $\vect{w}$
d'affixe $2 + \text{i}$.
 	\end{enumerate}
\item  On note $p$ l'application $p = h^{- 1} \circ   f$. Pour tout point $M$ d'affixe $z$ du plan $\mathcal{P}$, on note

\[\M_{3} = h^{- 1}(M') = h^{- 1}( f(M))  = p(M).\]
et on note $z_{3}$ l'affixe du point $M_{3}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que $z_{3} = \dfrac{1}{2}z + \left( \dfrac{3}{10} + \dfrac{2}{5}\text{i} \right)\overline{z}$.
		\item Vérifier que les points invariants par l'application $p$ sont les points de la droite
D$_{2}$.
		\item Montrer que le nombre $\dfrac{z_{3}}{2 + \text{i}}$
est un nombre réel et que le nombre $\dfrac{z - z_{3}}{2 + \text{i}}$
est un nombre imaginaire pur.
		\item Définir alors géométriquement l'application $p$ puis l'application $f$.
	 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 4}}\\
\emph{Les parties B et C sont indépendantes de la partie A, la partie C n'utilise des parties précédentes que le théorème démontré dans la partie B.}\\
On désigne par $\R$ l'ensemble des nombres réels et par $\N$ l'ensemble des entiers naturels.\\
On rappelle que deux suites réelles sont dites adjacentes lorsque les trois conditions suivantes
sont vérifiées :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  l'une des deux suites est croissante,
\item[$\bullet~$]  l'autre suite est décroissante,
\item[$\bullet~$]  la différence entre les deux suites tend vers zéro en l'infini.
 \end{itemize}
 
\noindent \textbf{Partie A : étude de deux suites couplées}\\
On considère dans cette partie A les suites réelles $\left(u_{n}\right)_{n\in \N}$  et $\left(v_{n}\right)_{n\in \N}$ définies par :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  $u_{0} = 2,~v_{0} = 5$,
\item[$\bullet~$] pour tout entier naturel $n,~u_{n+1} = \dfrac{v_{n} + 2u_{n}}{3}$ et $v_{n+1} = \dfrac{u_{n} + 2v_{n}}{3}$.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item  On pose, pour tout entier naturel $n,~ d_{n} = v_{n} - u_{n}$.\\
Vérifier que la suite $\left(d_{n}\right)_{n\in \N}$ est géométrique puis donner l'expression de $d_{n}$ en
fonction de $n$ ainsi que sa limite lorsque $n$ tend vers l'infini.
\item \'Etudier la monotonie des suites $\left(u_{n}\right)_{n\in \N}$  et $\left(v_{n}\right)_{n\in \N}$.
\item Les suites $\left(u_{n}\right)_{n\in \N}$  et $\left(v_{n}\right)_{n\in \N}$ sont-elles adjacentes ?
\item On pose, pour tout entier naturel $n,~ s_{n} = u_{n} + v_{n}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la nature de la suite $\left(s_{n}\right)_{n\in \N}$.
		\item En déduire les expressions de $u_{n}$ et $v_{n}$ en fonction de $n$.
		\item Vérifier que les suites $\left(u_{n}\right)_{n\in \N}$  et $\left(v_{n}\right)_{n\in \N}$ convergent vers une m\^eme limite que
l'on précisera.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}	
	\medskip
	
\noindent \textbf{Partie B : démonstration d'un résultat concernant les suites adjacentes}\\
On se propose dans cette partie de démontrer le théorème suivant :\\
	 si $\left(a_{n}\right)_{n\in \N}$  et $\left(b_{n}\right)_{n\in \N}$ sont deux suites adjacentes, alors elles convergent et ont la même limite.
\begin{enumerate}
\item  On rappelle (et on admet donc) que toute suite réelle croissante et majorée converge.\\
En déduire que toute suite réelle décroissante minorée converge.
\item   On considère $\left(a_{n}\right)_{n\in \N}$  et $\left(b_{n}\right)_{n\in \N}$ deux suites adjacentes, la suite $\left(a_{n}\right)_{n\in \N}$ étant supposée croissante.\\
 On pose, pour tout entier naturel $n,~d_{n} = b_{n} - a_{n}$.
	\begin{enumerate}
		\item  \'Etudier la monotonie de la suite $\left(d_{n}\right)_{n\in \N}$.
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n,~a_{n}  \leqslant  b_{n$.
		\item Justifier que la suite $\left(a_{n}\right)_{n\in \N}$ est majorée.
		\item Justifier que les suites $\left(a_{n}\right)_{n\in \N}$ et $\left(b_{n}\right)_{n\in \N}$ convergent.
		\item Conclure.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

	\medskip
	
\noindent \textbf{Partie C : suites adjacentes et dichotomie}\\
\emph{Le but de cette partie est de montrer que l'on peut obtenir par dichotomie la borne supérieure d'une partie non vide et majorée de l'ensemble des réels.}\\
On suppose que \textbf{K} est une partie non vide et majorée de $\R$.\\
Soit $M$ un majorant de \textbf{K} et $k$ un élément de \textbf{K}.\\
On définit alors les suites $\left(u_{n}\right)_{n\in \N}$ et $\left(v_{n}\right)_{n\in \N}$ par :
\[(1)~\left\{\begin{array}{l c l}
	u_{0}&=&k\\
	v_{0}&=&M, \\
	\end{array}\right.\]
et pour tout $n$ dans $\N$  \renewcommand{\arraystretch}{1.75}~(2)\left\{\begin{tabular}{l cl}
	$u_{n+1} = \dfrac{u_{n} + v_{n}}{2}$ et $v_{n+1} = v_{n}$& si&  $\dfrac{u_{n} + v_{n}}{2}$ ne majore pas \textbf{K}\\
$u_{n+1} = u_{n}$ et $v_{n+1} = \dfrac{u_{n} + v_{n}}{2}$&si&
$\dfrac{u_{n} + v_{n}}{2}$  majore \textbf{K}\\
	\end{tabular}

\begin{enumerate}
\item  On suppose, dans cette question seulement, que :
\begin{center} \textbf{K} = $] -1~ ;~ 1] \cup  [0~ ;~ 11[,~ k = 1~ \text{et}~ M = 13$.\end{center}
Déterminer $\left(u_{n},~ v_{n}\right)$ pour tout entier $n$ appartenant à $\{1,~ 2,~ 3,~ 4\}$.
\item On revient désormais au cas général : \textbf{K} est une partie non vide et majorée de $\R,~ M$ est un majorant de \textbf{K}, $k$ est un élément de \textbf{K} et les suites $\left(u_{n}\right)_{n\in \N}$  et $\left(v_{n}\right)_{n\in \N}$ sont définies par les systèmes (1) et (2) ci-dessus.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n} \leqslant  v_{n}$.
		\item \'Etudier la monotonie des deux suites $\left(u_{n}\right)_{n\in \N}$  et $\left(v_{n}\right)_{n\in \N}$.\\
Montrer qu'elles convergent vers un même réel que l'on notera $s$.
		\item Justifier que, pour tout entier naturel $n,~ v_{n}$ est un majorant de \textbf{K}, puis montrer que $s$ majore \textbf{K}.
		\item Justifier qu'il existe une suite d'éléments de \textbf{K} convergeant vers $s$.
		\item Soit $s'$ un majorant de \textbf{K}. Montrer que $s'  \geqslant  s$.
		\item En déduire que, si $k$ appartient à \textbf{K} et si $M$ majore \textbf{K}, alors la limite des suites
convergentes $\left(u_{n}\right)_{n\in \N}$  et $\left(v_{n}\right)_{n\in \N}$ ne dépend pas en fait des choix initiaux de $k$ et
de $M$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}