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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STT C.G.--I.G.}
\lfoot{\small Antilles--Guyane}
\rfoot{\small{septembre 2004}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat STT C.G.--I.G. Antilles--Guyane~\decofourright\\  septembre 2004}\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill}

\medskip

Un \og petit épargnant \fg{} place \np{1500}~\euro{} le 1\up{er} août 2002. À cette époque, le taux  de placement à intérêts composés est de 3\:\% l'an.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Par quel nombre doit-on multiplier \np{1500} afin d'obtenir la somme que cet épargnant aurait pu récupérer un an après ? 
		\item  Les sommes récupérables chaque année, les 1\up{er} août, forment une suite de nombres. Est-elle géométrique ou arithmétique ? Quelle est sa raison ?
		\item Cet épargnant espérait récupérer au août 2012 la somme ainsi placée avec ses intérêts.
		
Quelle somme A pouvait-il espérer récupérer à cette date ? Quel aurait été alors le montant des intérêts en euro.
	\end{enumerate}

\item  Mais le 1\up{er} août 2003, le gouvernement a décidé de baisser ce taux d'intérêts à 2,25\:\%.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la somme que cet épargnant pourra récupérer le 1\up{er} août 2004. 
		\item  Supposons que ce taux d'intérêts composés de 2,25\:\% reste inchangé jusqu'au 1\up{er}  août 2012, quelle somme B pourra-t-il récupérer ainsi à cette date?
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Quelle sera au 1\up{er}  août 2012 la différence A~$-$~B en euro.
		\item  Que représente en pourcentage cette différence par rapport au montant de l'intérêt espéré calculé à la question \textbf{1. c.}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill}

\medskip

Un promoteur étudie la construction d'une résidence composée de studios et de petits appartements. Il prévoit pour un studio une surface habitable de $30$~m$^2$ et une fenêtre et espère le vendre \np{60000}~euros. Pour un petit appartement, il prévoit une surface habitable de $50$~m$^2$ et $3$ fenêtres et espère le vendre \np{120000}~euros.

Il veut que la residence ait au moins $20$ logements.

Il dispose de \np{1160}~m$^2$ de surface habitable et $60$ fenêtres. Par ailleurs, il se peut pas vendre plus de $15$~studios.
Le but de l'exercice est de déterminer le nombre $x$ de studios et le nombre $y$ de petits appartements que le promoteur doit construire pour réaliser an chiffre d'affaires maximal.

\begin{enumerate}
\item  Déterminer on système d'inéquations portant sur $x$ et $y$ traduisant les contraintes du problème.
\item  On se place dans un repère orthonormal \Oij{} (unité : $0,5$~cm).

Déterminer graphiquement l'ensemble des points $M(x~;~y)$ tels que :

\[\left\{ \begin{array}{l c r} 
0 \leqslant  x& \leqslant&  15\\
y			& \geqslant &0\\
x +y 		&\geqslant 	&20 \\
3x+ 5y 		&\leqslant	& 116\\
x + 3y 		&\leqslant 	& 60\\
\end{array} \right.\]

\emph{On hachurera la partie du plan ne convenant pas.}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Exprimer en fonction de $x$ et de $y$ le chiffre d'affaires $C$, exprimé en euro, correspondant à la vente de $x$ studios et de $y$ petits appartements.
		\item  Déterminer l'équation de la droite $\Delta_{C}$ correspondant à un chiffre d'affaires $C$. On mettra cette équation sous la forme $y = ax + b$.
		\item  Tracer la droite $\Delta_{C}$ avec $C = \np{2160000}$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer à l'aide du graphique, en le justifiant, le nombre $x$ de stufios et le nombre $y$ de petits appartements à construire pour permettre au promoteur de réaliser un chiffre d'affaires maximal. Calculer ce chiffre d'affaires maximal.
\end{enumerate} 

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill}

\medskip

 Une entreprise veut lancer une nouvelle boisson haut de gamme. Elle va ainsi faire un essai dans les hypermarchés dune ville pendant un mois.
 
Pour ce faire, elle recrute en contrat à durée déterminée, à temps partiel, une \og ani\-matrice-démonstratrice \fg{} qu'elle paiera directement sans participation des hypermarchés.

Les capacités de production de l'entreprise, pour cet essai sur un mois, sont limitées à \np{1500}~boissons. Toutes les boissons produites sont vendues aux hypermarchés.
\medskip

\textbf{Partie A - Lecture graphique}

\medskip

Sur le graphique page suivante, pour tout entier naturel $x$
sur l'intervalle [0~;~\np{1500}], $C(x)$ est le coût dc production en euro pour $x$ boissons produites, et $R(x)$ est la recette en euro pour $x$ boissons vendues aux  hypermarchés.

Les résultats lus graphiquement seront justifiés par des tracés sur
l'annexe.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Donner la valeur de $C(0)$ : que représente ce nombre ?
		\item  Pour quel nombre $x$ de boissons produites, le coût de production est-il maximum ? Quel est ce coût ?
		\item  Dresser le tableau de variations de la fonction $C$ pour $x$ variant de $0$ à \np{1500}.
		\item  Pour quel(s) nombre(s) de boissons produites le coût de production est-il égal à \np{1250} ?
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Pour quel nombre de boissons produites et vendues le bénéfice pour cette entreprise est-il nul ?
		\item  Pour quelles valeurs de $x$ l'entreprise fera-t'elle un bénéfice ? Quel pourrait être, en euro, son bénéfice maximum ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Sachant que la recette est donnée par la fonction $R$ définie pour tout $x$ de l'ensemble [0~;~\np{1500}] 	par : 	$R(x)	= 1,5x$, quel est le prix payé par les hypermarchés pour une boisson ?
\item  En fait, la fonction $C$ représentée ici, est telle que pour tout $x$ de l'intervalle [0 ; \np{1500}] :
\[C(x) = \dfrac{- x^2}{\np{1000}} 	+ 2x + 500.\]

	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que le bénéfice est donné par la fonction $B$ définie pour tout $x$ de l'intervalle [0~;~\np{1500}] par

\[B(x) = \dfrac{x^2}{\np{1000}} 	- 0,5x- 500.\]

		\item  On note $B'$ la dérivée de $B$, calculer $B'(x)$.
		\item  Déterminer le signe de $B'(x)$ et dresser le tableau de variations de la
fonction $B$ sur l'intervalle [0 ; \np{1500}].
		\item  Pour quel nombre de boissons produites et vendues l'entreprise réalise-t-elle une perte record ? Quelle est cette perte ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{2cm}
\begin{center}
\textbf{Graphique}

\vspace{0,5cm}

\psset{unit=0.006cm}
\begin{pspicture}(-200,-200)(1800,2250)

\uput[d](1550,-50){{\small Nombre de boissons}}
\uput[r](0,2200){{\small  en euro}}
\uput[d](1500,0){1 500} \uput[d](100,0){100} 
\uput[l](0,100){100} \uput[d](1000,0){1000} 
\multido{\n=-200+25}{81}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-200)(\n,2250)}
\multido{\n=-200+100}{21}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](\n,-200)(\n,2250)}
\multido{\n=-200+25}{99}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](-200,\n)(1800,\n)}
\multido{\n=-200+100}{26}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](-200,\n)(1800,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,labels=none,Dx=100,Dy=100]{->}(0,0)(-200,-200)(1800,2250)
\pstextpath[r](10,20){\psplot{0}{1500}{1.5 x mul}}{$y = R(x)$~~~~}
\pstextpath[c](10,20){\psplot{0}{1500}{2 x mul 500 add x 2 exp 1000 div sub}}{$y = C(x)$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document} 