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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat  STT C.G.--I.G.}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2004}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT C.G. -- I.G. La Réunion ~\decofourright\\juin 2004}} 
    
\vspace{0,25cm}

Deux feuilles de papier millimétré sont nécessaires pour traiter ce sujet.

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points }

\medskip

Dans une urne on place 4 jetons portant chacun une des lettres du mot 
\textbf{TARD}. On tire au hasard un jeton de l'urne et on le pose sur une table. On recommence 2 fois cette opération en plaçant le jeton tiré à droite de celui tiré précédemment : on obtient ainsi un mot de 3 lettres (qui n'a pas nécessairement une signification).

\begin{enumerate}
\item Montrer que l'on peut ainsi former 24 mots différents.
\item Quelle est la probabilité d'obtenir le mot \og ART \fg{} ?
\item Soient A et B les évènements suivants :

A : \og Le mot obtenu contient une voyelle \fg{},

B : \og Le mot obtenu commence par une consonne \fg{}.

Calculer les probabilités $p$(A) et $p$(B) des évènements A et B.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Définir par une phrase l'évènement $\overline{\text{A}}$. Calculer la probabilité $p(\overline{\text{A}})$ de l'évènement $\overline{\text{A}}$.
		\item Définir par une phrase l'évènement A ~$\cap$~ B Calculer la probabilité $p(\text{A} n \text{B})$  de cet évènement.
		\item Définir par une phrase l'évènement A ~$\cup$~ B. Calculer la probabilité $p(\text{A}~ \cup~ \text{B})$  de cet évènement.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice  2} \hfill  5 points}

\medskip

Le tableau suivant donne l'espérance de vie à la naissance des femmes et des hommes pour les années 1991 à 2000 en France.

\begin{center} 
\begin{tabular}{|*{3}{c|}}\hline
années $i$&	espérance de vie &	espérance de vie\\
 &des femmes $x_i$& 	des hommes $y_i$\\ \hline
1991	&81,2		& 	72,9\\ \hline
1992 	&  81,5		&	73,2\\ \hline
1993 	&	81,5	&	73,3\\ \hline 
1994 	&	81,9	&	73,7\\ \hline
1995 	&	81,9	&	73,9\\ \hline
1996 	&	82,1	& 	74,1\\ \hline
1997 	&	82,3	&   74,6\\ \hline
1998 	&	82,4	&	74,8\\ \hline
1999 	&	82,5	&	75,0\\ \hline
2000 	&	82,7	&	75,2\\ \hline
\end{tabular} 
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Représenter, dans un repère orthogonal, le nuage des points 
$M_i\left(x_i~;~y_i\right)$ avec $x_i$ : espérance de vie des femmes, et $y_i$ : espérance de vie des hommes.

(Unités graphiques : sur l'axe des abscisses 5~cm pour une année, en commençant la graduation à 81 ; sur l'axe des ordonnées 5~cm pour une année, en commençant la graduation à 72).

\item Calculer les coordonnées du point moyen G$_1$ du nuage formé des points M$_1$, M$_2$, M$_3$, M$_4$ et M$_5$
et celles du point moyen G$_2$ du nuage formé des points M$_6$, M$_7$, M$_8$, M$_9$ et M$_{10}$.

\item On réalise un ajustement des points du nuage à l'aide de la droite (G$_1$G$_2$). Montrer que cette droite admet pour équation : $y = 1,675 x - 63,28$.

\item Par lecture graphique, indiquer l'espérance de vie 
à la naissance des femmes quand celle des hommes sera de 76 ans. On fera apparaître les constructions utilisées.

\item Retrouver par le calcul le résultat de la question \textbf{4.} (on donnera le résultat au dixième près).
 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = \dfrac{8 \ln x}{x^2}.\]

On appelle ($\mathcal{C}$) sa courbe représentative.

\begin{enumerate}
\item Calculer les valeurs exactes de $f(1),~f(\text{e})$ et 
$f\left(\sqrt{\text{e}}\right)$.
\item Calculer la limite de $f$ quand $x$ tend vers $0$ et interpréter graphiquement le résultat.
\item Calculer la limite de $f$ quand $x$ tend vers $+ \infty$ et interpréter graphiquement le résultat.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout $x$ de $]0~;~+\infty[~:~f'(x) 
=8\dfrac{[1 - 2\ln (x)]}{x^3}$.
		\item \'Etudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant en donnant des valeurs arrondies de $f(x)$ à $10^{-2}$ près :

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		& 0,7 	& 1 & 1,5 	& 2 	& 2,5 	& 3	 	& 4 	& 5 	& 7 	& 10\\ \hline
$f(x)$ 	& 		& 	& 		& 		& 		& 		& 		& 		& 		& \\ \hline
\end{tabularx}\]

\item Déterminer une équation de la tangente (T) à ($\mathcal{C}$) au point A d'abscisse 1.

Déterminer une équation de la tangente (U) à ($\mathcal{C}$) au point B 
d'abscisse $\sqrt{\text{e}}$.
\item Tracer (T), (U), ($\mathcal{C}$) et ses asymptotes dans un repère 
orthonormal \Oij du plan, unité graphique : 2~cm.
\item Soit la fonction $G$ définie sur $]0~;~ + \infty[$ par 

\[G(x) = \dfrac{\ln (x) + 1}{x}.\]

Calculer $G'(x)$ et en déduire une primitive $F$ de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$.
\item Calculer la valeur exacte, puis approchée à $10^{-2}$ près, de l'aire en cm$^2$ de la partie du plan limitée par l'axe des abscisses, la courbe ($\mathcal{C}$) et les droites d'équation $x = 1$ et $x = \text{e}$.
\end{enumerate}
\end{document}