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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat  STT C.G-I.G}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT C.G.-I.G. La Réunion ~\decofourright\\juin 2006}} 
    
\vspace{0,25cm}

\emph{L'usage des calculatrices et du formulaire officiel est autorisé.}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points }

\medskip

Au cours d'une enquête, on a demandé à un échantillon de $500$~personnes quelle était leur destination préférée pour les vacances d'été. Les personnes interrogées devaient choisir 
une réponse parmi \og mer \fg{}, \og montagne \fg{} ou \og campagne \fg.

Sur les $500$ personnes interrogées, il y avait 55\:\% de femmes.

180 personnes ont déclaré préférer la montagne et 70 ont déclaré préférer la campagne.

40\:\% des hommes préfèrent la montagne tandis que 60\:\% des femmes préfèrent la mer.
\begin{enumerate}
\item  Recopier et compléter le tableau ci-dessous (aucune justification n'est demandée).

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
		&Mer		&Montagne			&Campagne		& 	Total\\ \hline
Hommes	&			&					&				& \\ \hline
Femmes	&			&					&				& \\ \hline
Total	&			&					&				&500 \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Les résultats aux questions suivantes seront donnés sous forme de fraction irréductible.
\item On interroge une personne au hasard dans l'échantillon.
	\begin{enumerate}
		\item Soit A l'évènement : \og la personne choisie préfère la montagne \fg{}. Déterminer $P$(A).
		\item Soit B l'évènement : \og la personne choisie est un homme \fg. Déterminer $P$(B).
		\item Soit C l'évènement A~$\cap$~ B.

Exprimer par une phrase l'évènement C puis déterminer $P$(C),
		\item Calculer $P$(A ~$\cup$~ B).
	\end{enumerate}
\item On interroge, au hasard, une femme de cet échantillon.

Quelle est la probabilité que cette femme préfère la campagne pour les vacances d'été ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

Dans une nation d'Europe de l'Est on a noté en millions le nombre de touristes étrangers visitant le pays chaque été pour la période 1995 --2004.
 Les résultats sont rassemblés dans le tableau ci-dessous.
 
\[\footnotesize \begin{tabularx}{\textwidth}{|c|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\text{Années}&1995&1996&1997&1998&1999&2000&2001&	2002&2003&2004\\ \hline 
\text{Rang}~$x_{i}$ \text{de l'année}&	1&	2&	3&	4&	5&	6&	7&	8&	9&	10\\ \hline
\text{Nombre}~$y_{i}$ \text{de touristes}&\multirow{2}{5mm}{\centering 1,3}&\multirow{2}{5mm}{\centering 2,6}&\multirow{2}{5mm}{\centering 3,8}&\multirow{2}{5mm}{\centering 4,1}&\multirow{2}{5mm}{\centering 4,1}&\multirow{2}{5mm}{\centering 5,3}&\multirow{2}{5mm}{\centering 6,5}&\multirow{2}{5mm}{\centering 7}&\multirow{2}{5mm}{\centering 7,5}&\multirow{2}{5mm}{\centering 8,7}\\ 
\text{en millions}&	&	&	&	&	&	&	&	&	& \\ \hline
\end{tabularx}\]										

\begin{enumerate}
\item Représenter par un nuage de points $M(x~;~y)$ la série statistique dans un repère orthogonal \Oij{} tel que $1$~cm représente une année sur l'axe des abscisses et $1$~cm représente un million de touristes sur l'axe des ordonnées.
\item On partage l'ensemble des points du nuage en deux sous-ensembles correspondant aux années 1995 à 1999 et 2000 à 2004.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées des points moyens G$_{1}$ et G$_{2}$ de chacun des sous-ensembles précédents et tracer la droite (G$_{1}$G$_{2}$).
		\item Montrer par un calcul que le coefficient directeur de la droite d'ajustement (G$_{1}$G$_{2}$) vaut $0,74$.
		\item En déduire que l'équation réduite de la droite (G$_{1}$G$_{2}$) est $y = 0,74 x + 1,08$.
	\end{enumerate}
\item On souhaite prévoir à l'aide de cette droite d'ajustement le nombre de touristes étrangers qui visiteront ce pays au cours de l'été 2006.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle prévision peut-on donner à l'aide du graphique (on laissera apparents les traits de	construction) ?
		\item Calculer cette prévision (on donnera le résultat arrondi au million).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par
 
\[f(x) = \text{e}^{2x}  - 4\text{e}^x  + 5.\]

On note $\mathcal{C}$ la représentation graphique de $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique $2$~cm.

\medskip

\textbf{Partie A : Étude de la fonction}\boldmath  $f$ \unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Montrer que $f(x) = \text{e}^x\left(\text{e}^x - 4\right) + 5$.
\item Calculer $f(\ln 2)$.
\item Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $-\infty$ et interpréter graphiquement le résultat obtenu.
\item Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la dérivée $f'$ de $f$ sur $\R$ et montrer que pour tout réel $x$ :
\[f'(x) = 2\text{e}^x\left(\text{e}^x - 2\right).\]
		\item Résoudre l'inéquation $\text{e}^x - 2 \geqslant  0$.
		\item En déduire le signe de $f'(x)$ sur $\R$.
		\item Dresser le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant en donnant les valeurs arrondies au dixième :

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$			&$-3$&	$-2$	&$-1$	&	0	&$\ln 2$&	1	&1,25 	&	1,5\\ \hline
$f(x)$	&			&				&			&		&				&		&			&\\ \hline
\end{tabularx}\]

\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère \Oij{} (on tracera l'asymptote et la tangente horizontale).
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B : Calcul d'une aire}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $F$ définie sur $\R$ par

\[F(x) = \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x} - 4\text{e}^x +5x\]

est une primitive de $f$ sur $\R$.
\item Hachurer sur le graphique la partie $\mathcal{E}$ du plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = \ln 2$.
\item Soit $\mathcal{A}$ l'aire en cm$^2$ de la partie $\mathcal{E}$. Calculer $\mathcal{A}$ et donner sa valeur approchée arrondie au centième.
\end{enumerate}
\end{document} 