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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Baccalauréat  STT C.G--I.G}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{septembre 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT C.G. -- I.G. La Réunion~\decofourright
\\\vspace{0,2cm}septembre 2006}} 
    
\vspace{0,5cm}

\emph{Fournir du papier millimétré au candidat.}

\emph{L'usage des calculatrices et du formulaire officiel est autorisé.}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points }

Dans une entreprise qui fabrique	et vend un seul produit, le relevé des ventes mensuelles et des charges (en centaines d'euros)	donne le tableau	suivant :

\medskip

{\small\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Mois 						& Janvier	&	Février&Mars&	Avril&	Mai&	Juin\\\hline
Nombre de ventes : $x$		&	18		&16&			21&	22&	28&	28\\ \hline
Montant des charges : $y$	&\multirow{2}{0.7cm}{20}&		\multirow{2}{0.7cm}{16}&	\multirow{2}{0.7cm}{18}&\multirow{2}{0.7cm}{	21}&\multirow{2}{0.7cm}{	26}&\multirow{2}{0.7cm}{	24}\\ 
(en centaines d 'euros)		&			&&&&&\\ \hline \hline
Mois						&	Juillet	&		Août&	Sept.&	Octobre&	Novem.&	Décem.\\ \hline
Nombre de ventes : $x$		&	10		&		11&	27&	25&	26&	20\\ \hline
Montant des charges : $y$	&\multirow{2}{0.7cm}{12}	&\multirow{2}{0.7cm}{12}&	\multirow{2}{0.7cm}{22}&\multirow{2}{0.7cm}{	20}&\multirow{2}{0.7cm}{	22}&	\multirow{2}{0.7cm}{15}\\
(en centaines d'euros)		&			&		&		&&&\\ \hline
\end{tabularx}}

\begin{enumerate}
\item  Représenter le nuage de points de coordonnées $(x~;~ y)$ dans un repère orthonormal.

	On prendra les unités suivantes :
\setlength\parindent{5mm}	
\begin{itemize}
\item en abscisse : 1 cm pour 2 ventes ;
\item en ordonnée : 1 cm pour 2 centaines d'euros.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\item  On note G$_{1}$ le point moyen	associé aux points de janvier, février, mars, juillet, août, décembre et G$_{2}$  le point moyen associé aux	six 	autres points.

	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées 	des	des points	G$_{1}$ et G$_{2}$.
		
 Placer G$_{1}$ et G$_{2}$ sur le	graphique précédent		et tracer la droite $\left(\text{G}_{1}\text{G}_{2}\right)$.
		\item  Montrer que l'équation	réduite de 	la	droite $\left(\text{G}_{1}\text{G}_{2}\right)$ est $y = 0,7 x + 4,3$.
	\end{enumerate}
\item  On admet que la droite $\left(\text{G}_{1}\text{G}_{2}\right)$	réalise	un ajustement affine convenable du nuage de points.
	\begin{enumerate}
		\item  Estimer par un calcul le	montant	des	charges en euros pour 24 ventes mensuelles.
		\item  Estimer, à l'aide du	graphique, le	nombre de ventes à réaliser par mois pour que les charges restent inférieures à \np{2600}~euros	(on laissera apparents les traits de construction).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
 \vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points }

Lors d'un sondage, on a interrogé \np{1200}~personnes  parties une seule fois en vacances durant l'année  considérée.

 Les réponses, fournies sur des fiches ont permis d'établir un lien entre la durée du séjour et  l'époque de l'année.
 
Un séjour sera considéré :
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  court si sa durée est inférieure  ou égale à une semaine.
\item[$\bullet~$] long dans les autres cas.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
On constate que :
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 52\,\% des personnes interrogées sont parties en été,
\item[$\bullet~$] en hiver, il y a trois fois plus de séjours courts que de séjours longs,
\item[$\bullet~$] en dehors de l'été et de l'hiver, les deux tiers des séjours sont longs.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\begin{enumerate}
\item  Recopier et compléter le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
		 		&Hiver 	&Été 	& Autre	& Total\\ \hline
Séjours courts	&324	&156	&		&\\ \hline
Séjours longs	&		&		&		&\\ \hline
Total		 	&		&		&		&\np{1200}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\textsl{Toutes les réponses aux questions suivantes seront données sous forme décimale, arrondies si nécessaire au centième.}
\item On choisit au hasard la fiche d'une des personnes interrogées.
\begin{enumerate}
\item  Calculer la probabilité que la personne ait effectué un séjour long.
\item  Calculer la probabilité que la personne ait effectué un séjour long en été.
\item  Calculer la probabilité que la personne soit partie en été ou ait effectué un séjour long.
\end{enumerate}
\item On choisit au hasard la fiche d'une personne partie plus d'une semaine.

Quelle est la probabilité que cette personne ne soit pas partie en été ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

Dans ce problème, on se propose d'étudier la fonction $f$ définie sur $]-2~;~+\infty[$ par : 
\[f(x) = \ln (2x +4) - x.\]
La courbe $\mathcal{C}$ donnée en annexe représente  la fonction $f$ dans un plan rapporté à un repère orthonormal \Oij~ d'unité graphique 2 cm.

\textbf{Partie A : Étude de la fonction}
\begin{enumerate}
\item  Calculer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $-2$.

Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$?

On admettra que la limite de $f$ en $+ \infty$ est$- \infty$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $f'(x) = \dfrac{-x - 1}{x + 2}$.
		\item Étudier le signe de $f'(x)$.
		\item Dresser le tableau de variations de $f$ sur $]- 2~;~+\infty[$, en indiquant la valeur exacte du maximum.
	\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ et tracer$T$.
\item Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 0$ et encadrer chacune de ces solutions par deux entiers consécutifs. 
\end{enumerate} 

\textbf{Partie B : Calcul d'aire}
\begin{enumerate}
\item Hachurer sur le graphique le domaine $D$ délimité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations  $x =1$ et $x = 0$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que la fonction $G$ définie sur $]- 2 ~;~+\infty[$ par
\[G(x) = (x + 2) \ln (2x + 4) - x\]
est une primitive de la fonction $g$ définie sur $]- 2 ~;~+\infty[$ par

$g(x) = \ln (2x + 4)$.
		\item En déduire une primitive de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\item Calculer la valeur exacte de l'aire du domaine $D$ en cm$^2$, puis en donner une valeur approchée au mm$^2$ près.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE à rendre avec la copie}

\vspace{2cm}

\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(-3,-6)(6,4)
\psaxes[linewidth=1.75pt]{->}(0,0)(-3,-6)(6,4)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabelcolor=white,gridwidth=0.4pt]
\psplot[plotpoints=400,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-1.999}{5.5}{x 2 mul 4 add ln x sub}
\uput[u](5.2,-3){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document} 