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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STT C.G.-- G.I.}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2005}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT C.G-I.G. Métropole   juin 2005~\decofourright}} 
\end{center}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill }

\medskip

Dans un pays tropical, une région agricole compte \np{100000}~agriculteurs qui produisent soit du coton, soit du café, soit des fruits et légumes selon la répartition suivante :

$\bullet~$42\:\% des agriculteurs produisent du coton ;

$\bullet~$19\:\% produisent du café ;

$\bullet~$39\:\% produisent des fruits et légumes.

De plus :

$\bullet~$75\:\% des agriculteurs travaillent pour l'exportation, les autres pour la consommation locale ;

$\bullet~$86\:\% des producteurs de coton et tous les producteurs de café travaillent pour l'exportation.

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|c|}\hline
\backslashbox{Destination}{Production}	&Coton	& Café 	& Fruits, légumes 	& Total\\ \hline
Exportation 						& 		& 			& 			& \\ \hline
Consommation locale 		& 		&			& 			& \\ \hline
Total 									& 		&			&			& \\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}
 
\emph{Les probabilités seront données sous forme décimale, arrondies si nécessaire à} $10^{-4}$.

\item On choisit au hasard un agriculteur de cette région et on considère les évènements :

C : \og il produit du coton \fg{} ;

E : \og il travaille pour l'exportation \fg.

	\begin{enumerate}
		\item Traduire par une phrase les évènements  C ~$\cap$~E, C ~$\cup$~E et  A $= \overline{\text{C}~\cup~\text{E}}$.

		\item Calculer les probabilités $P$(C), $P$(E), $P$(C~$\cap$~E), $P$(C~$\cup$~E) et $P$(A).

	\end{enumerate}

\item On choisit au hasard un agriculteur travaillant pour l'exportation.

Quelle est la probabilité qu'il produise du café ?

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill }

Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij.

On considère la figure représentée en annexe 1 et on appelle $\mathcal{D}$  la partie hachurée, bords compris.

On admettra que :

la droite (CD) a pour équation $y = 40 - x$, et que la droite (AD) a pour équation 

$y = -\dfrac{5}{3}x + 50$.

Une entreprise veut faire transporter par bateaux au moins $300$ véhicules et $400$~tonnes de matériel.

Le transporteur maritime auquel elle s'adresse dispose :

$\bullet~$ de $30$~bateaux de type A, susceptibles chacun de transporter 10 véhicules et $10$~tonnes de matériel ;

$\bullet~$ de $35$ bateaux de type B, susceptibles chacun de transporter 6 véhicules et $10$~tonnes de matériel.

On note $x$ le nombre de bateaux de type A et $y$ le nombre de bateaux de type B à affréter pour effectuer ce transport.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Traduire les informations ci-dessus par un système d'inéquations.

		\item Montrer que ce système caractérise la partie $\mathcal{D}$.

	\end{enumerate}

\item Le coût d'affrètement d'un bateau de type A est de \np{10000}~\euro{} et celui d'un bateau de type B de \np{7500} \euro.

Soit $C$ le coût total d'affrètement de $x$ bateaux A et $y$ bateaux B.

	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $C$ en fonction de $x$ et de $y$.

		\item Déterminer une équation de la droite ($d$) correspondant à un coût total de \np{450000}~\euro~ et représenter ($d$) dans la figure tracée sur \textbf{l'annexe 1}.

		\item Déterminer graphiquement le couple d'entiers $(x~;~y)$ qui permet d'assurer le transport pour un coût minimum et calculer ce coût. On justifiera la démarche.

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{ANNEXE 1}
\end{center}

Les points A, B, C, D, ont pour coordonnées :

\begin{center} A(9 ; 35) ; B(30 ; 35) ; C(30 ; 10) ; D(15 ; 25)\end{center}

\vspace{0,5cm}

\psset{unit=0.2cm}\begin{pspicture}(60,60)
\psaxes[Dx=10,Dy=10,linewidth=1.75pt,subticks=2]{->}(0,0)(61,61)
\psline(0,40)(40,0)
\psline(0,50)(30,0)
\psline(0,35)(60,35)
\psline(30,0)(30,60)
\uput[ur](9,35){A} \uput[ur](30,35){B} \uput[ur](30,10){C} \uput[dl](15,25){D}
\uput[dl](0,0){O}
\pscustom[fillstyle=hlines]{
\psline(9,35)(30,35)
\psline(30,10)(15,25)(9,35)}
\end{pspicture}

\vspace{1.2cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill }

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal  d'unité 2 cm sur chaque axe.

La courbe ($\mathcal{C}$) donnée en annexe 2 représente une fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$.

Le point A a pour coordonnées (1 ; 2).

La droite ($T$) est tangente en A à ($\mathcal{C}$) ; elle passe par le point de coordonnées (0~;~6).

Le point B a pour abscisse $\text{e}^2$.

La tangente à ($\mathcal{C}$) en B est parallèle à (O$x$), cette tangente n'est pas tracée sur le dessin.

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie A : Étude de la fonction \boldmath $f$\unboldmath}

\medskip

La fonction $f$ représentée par ($\mathcal{C}$) est définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : 

\[f(x) = \dfrac{2 - 2\ln x}{x}.\]

\begin{enumerate}
\item Calculer l'abscisse du point d'intersection de ($\mathcal{C}$) avec (O$x$).

\item
	\begin{enumerate}
		\item En remarquant que $f(x) = 2 \times \dfrac{1}{x} - 2 \times \dfrac{\ln x}{x}$, calculer la limite de $f$ en $+\infty$.

		\item Que peut-on en déduire pour la courbe ($\mathcal{C}$) ?

	\end{enumerate}

\item En remarquant que $f(x) = \dfrac{1}{x}(2 - 2\ln x)$, calculer la limite de $f$ en $0$.

Que peut-on en déduire pour la courbe ($\mathcal{C}$) ?

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $f'(x) = \dfrac{2 \ln x - 4}{x^2}$.

		\item Résoudre :  $2 \ln x - 4 \geqslant 0$.

En déduire le signe de $f'(x)$ sur $]0~;~+\infty[$ et le tableau de variations de $f$.

		\item Donner l'ordonnée exacte du point B (détailler les calculs).

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie B : Calcul d'aire}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère les fonctions $G$ et $g$ définies respectivement sur 
$]0~;~+ \infty[$ par

\[D(x) = (\ln x)^2\quad \text{et} \quad g(x) = \dfrac{2\ln x}{x}\]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que G est une primitive de $g$ sur $]0~;~+ \infty[$.

		\item Vérifier que  $f(x) = \dfrac{2}{x} - g(x)$ ; en déduire une primitive $F$ de $f$ sur $]0~ ;~ + \infty[$.

	\end{enumerate}

\item On pose :  $\mathcal{A} = \displaystyle\int_{1}^{\text{e}} f(x) \,\text{d}x$.

	\begin{enumerate}
		\item $\mathcal{A}$ est l'aire, en unités d'aire, d'un domaine ($\mathcal{D}$) : hachurer ($\mathcal{D}$) sur le graphique.

		\item Calculer la valeur exacte de $\mathcal{A}$.

		\item En déduire l'aire en cm$^2$ du domaine ($\mathcal{D}$).

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}\textbf{Annexe 2}

\vspace{0,5cm}

\psset{unit=1.5cm}\begin{pspicture}(-0.5,-1.5)(8,7)
\psaxes[linewidth=1.75pt]{->}(0,0)(-0.5,-1.5)(8,7)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,-1)(8,7)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0.49}{8}{2 2 x ln mul sub x div}
\psline(-0.25,7)(1.75,-1)
\uput[dl](0,0){O} \uput[ur](1,2){A} \uput[d](7.389,-0.271){B}
\uput[r](0.6,5.5){$\mathcal{C}$} \uput[r](1.7,-0.8){$T$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}
 