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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STT CG -- IG septembre 2004}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2004}}
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\begin{center} { \Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT CG - IG  Métropole ~\decofourright\\septembre 2004}}
\end{center}
    
\vspace{0,35cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

On interroge 100 clients d'un hypermarché pour connaître leurs avis sur 
deux produits génériques A et B. Les résultats sont les suivants : tous les clients ont répondu, $20$~clients sont satisfaits des deux produits, $35$~clients sont satisfaits du  produit A et $27$~clients ne sont  satisfaits que du produit B.

\begin{enumerate} 
\item  Reproduire et compléter le tableau suivant :

\hspace{-0,5cm} 
\begin{tabularx}{1.05\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
Nombre de personnes	& Satisfaites de A	& Non satisfaites de A	& Total\\ \hline
Satisfaites de B	& 			& 	& \\ \hline
Non satisfaites de B& 	& 	& \\ \hline
Total								& 									& 								&100\\ \hline
\end{tabularx} 

\item On interroge un client au hasard. Dans chacun des cas suivants, 
calculer, en justifiant la réponse,la probabilité que ce client soit :

	\begin{enumerate} 
		\item satisfait de B ;

		\item satisfait de A seulement ;

		\item non satisfait des deux produits ;

		\item satisfait d'un seul produit ;

		\item satisfait d'au moins un produit.

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 6 points}

\medskip

Dans le tableau suivant figurent les données concernant les ventes annuelles, pendant six années consécutives, d'une entreprise spécialisée dans un seul type de produit.

\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Rang de l'année : $x_i$	& 0		& 1		& 2	& 3		& 4		& 5\\ \hline
Nombre de ventes en	&2,6 	&4,3		&8,2&11,1	&23,4 	&30,0  \\
milliers : $v_i$	&  		&			&  	& 		& 		& \\ \hline
$y_i = \ln (v_i)$	& 0,96	& 			& 	& 		& 		&3,40\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

\begin{enumerate} 
\item Recopier et compléter la dernière ligne du tableau 
(où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien) par les valeurs manquantes  de $y_i$, arrondies au centième près.

\item Représenter le nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~ y_i\right)$ dans un  repère orthonormal du plan (unité graphique $2$~cm).

\item Déterminer les coordonnées du point moyen G du nuage.

\item Sur le graphique précédent, tracer la droite D d'équation : $y =  \dfrac{1}{2}x + 1$.

Pour la suite, on admet que cette droite ajuste correctement le nuage de points.

\item Montrer que le nombre $v_i$ de ventes en fonction du rang $x_i$ de l'année  est :

\[v_i = \text{e}^{1 + \frac{1}{2}x_i}.\]

\item Donner une estimation du nombre de ventes, pour l'année de rang $6$ 
(en admettant que la tendance observée entre l'année de rang $0$ et l'année de  rang $5$ se poursuive).

\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = \dfrac{1}{x} + \dfrac{\ln (x)}{x}.\]
où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

On appelle ($\mathcal{C}$) la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij.

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la limite de $f$ 
en $+ \infty$.

En déduire l'existence d'une asymptote à la courbe ($\mathcal{C}$).

		\item En écrivant $f(x)$ sous la forme $f(x) = \dfrac{1}{x}[1 + \ln (x)]$, déterminer la  limite de $f$ en $0$.

En déduire l'existence d'une deuxième asymptote à la courbe ($\mathcal{C}$).

	\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que la dérivée de $f$ sur $]0~;~ + \infty[$ est définie par :  $f'(x) = - \dfrac{\ln (x)}{x^2}$.

		\item Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$.

	\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Résoudre sur $]0~;~ + \infty[$ l'équation $f(x) = 0$.

		\item Recopier et compléter le tableau suivant (chaque valeur manquante sera donnée arrondie au centième)

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ & $\dfrac{1}{8}$ & $\dfrac{1}{4}$ &\rule[-3mm]{0mm}{8mm}&$\dfrac{1}{2}$ & $\dfrac{3}{4}$ & 2 & 4 	&  8 \\ \hline
$f(x)$ 	& 			& 				& 0 		& 		& 		& 		& 		& \\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center}

		\item Représenter la courbe ($\mathcal{C}$) en prenant 2 cm pour unité graphique

	\end{enumerate}

\item  
	\begin{enumerate} 
		\item Soit la fonction $F$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par

\[F(x) = \ln (x) +  \dfrac{1}{2}[\ln (x)]^2.\]

Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$.

		\item Hachurer sur le graphique la partie du plan située entre la courbe ($\mathcal{C}$), l'axe des abscisses, et les droites d'équations $x = \dfrac{1}{\text{e}}$ et $x = 1$.

		\item Calculer, en cm$^2$, l'aire de la partie hachurée.

	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}