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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STT CG-IG}
\lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2004}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat STT CG-IG Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\
novembre 2004} \end{center}

\vspace{0,35cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 4 points}

\medskip

Le personnel d'une entreprise est constitué de $180$~femmes et de $200$~hommes.

Afin d'appliquer la loi anti-tabac, on réalise une étude dans 
l'entreprise, sur le comportement des employés face au tabac.

Les résultats de l'étude indiquent que :

$\bullet~$ Parmi les hommes la moitié fume régulièrement et $20\:\%$ sont des  fumeurs occasionnels.

$\bullet~$ Une femme sur trois fume régulièrement.

$\bullet~$ Autant d'hommes que de femmes fument occasionnellement.

\begin{enumerate} 
\item	 Recopier et compléter le tableau suivant, en 
justifiant les calculs :

\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l | *{3}{>{\centering \arraybackslash}X |}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}	& Hommes 	& Femmes	& Total\\ \hline
Fumeurs réguliers 	& 			& 			& \\ \hline
Fumeurs occasionnels	&	40	&  		&\\ \hline
Non fumeurs 				& 			& 			&  140 \\ \hline
Total 								&  		&  		& 380\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\textsl{Dans les questions suivantes, tous les résultats seront donnés sous la forme d'une fraction irréductible.}

\medskip

\item On choisit au hasard une personne de l'entreprise. Chaque personne a la même probabilité  d'être choisie.

	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la probabilité des évènements suivants :

$A$ : \og la personne choisie est non fumeur \fg{}.

$B$ : \og la personne choisie est une femme \fg{}.

		\item Définir, à l'aide d'une phrase, l'évènement $A \cap B$, puis calculer sa probabilité.

		\item Définir. à l'aide d'une phrase, l'évènement $A \cup B$, puis calculer sa  probabilité.

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill	6 points}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

Sur la feuille annexe 1, (à rendre avec la copie) dans un repère 
orthonormal \Oij, on a construit les droites D et D$'$ d'équations 
respectives :

\[\left\{\begin{array}{l l c l}
D :\quad  &2x + y &=& 24\\
D' :\quad& 2x + 3y &=& 36.
\end{array}\right.\]

\begin{enumerate} 
\item	Calculer les coordonnées du point I, intersection 
des droites $D$ et $D'$.

\item Hachurer sur la feuille annexe 1, l'ensemble des points $M$ du plan dont les coordonnées $(x~;~y)$ vérifient :
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x 				& \geqslant 	& 0\\
0 \leqslant 	&y				&\leqslant 9\\
2x + y 			&\leqslant 		&24\\
2x +3y 			&\leqslant 		&36\\
\end{array}\right.\]

\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie B}

\medskip

Un artisan fabrique des portes de placard. Les unes sont en hêtre, les 
autres sont en chêne.

En raison de contraintes liées à l'approvisionnement, cet artisan ne 
peut produire plus de $9$~portes en chêne par semaine.

La fabrication d'une porte en hêtre dure $4$~heures et nécessite $2$~m$^2$ de bois. Celle d'une porte en chêne dure 2 heures et nécessite $3$~m$^2$ de bois.

L'artisan ne travaille pas plus de $48$~heures par semaine et il ne peut pas entreposer plus de $36$~m$^2$ de bois dans son atelier.

Soit $x$ le nombre de portes en hêtre fabriquées et $y$ le nombre de 
portes en chêne fabriquées par semaine ($x$ et $y$ sont des nombres entiers).

\begin{enumerate} 
\item	Déterminer, en justifiant les réponses, le système d'inéquations traduisant les contraintes de la production hebdomadaire de  l'artisan.

\item Utiliser le graphique réalisé dans la \textbf{partie A} pour répondre aux  questions suivantes :

	\begin{enumerate} 
		\item Si l'artisan produit 3 portes en hêtre, combien de portes   en chêne peut-il fabriquer ?

		\item Si l'artisan produit $5$ portes en chêne, combien de portes en hêtre peut-il fabriquer ?

	\end{enumerate}

\item L'artisan fait un bénéfice de $30$~\euro{} sur une porte en hêtre et un bénéfice de $20$~\euro{} sur une porte en chêne.

	\begin{enumerate} 
		\item	Exprimer en fonction de $x$ et de $y$ le bénéfice total réalisé, lorsque $x$ portes en hêtre et $y$ portes en chêne sont vendues.

On admet que la droite $\Delta$ d'équation $3x + 2y = 18$ contient les points dont les coordonnées correspondent à un bénéfice de $180$~\euro.

Construire la droite $\Delta$ sur le graphique de la feuille annexe 1.

		\item Déterminer graphiquement te nombre de portes de chaque sorte à fabriquer par semaine, pour que le bénéfice soit maximal. Expliquer la méthode suivie.

		\item Quel est, alors, ce bénéfice en euros ?

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème }\hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie 1. Étude graphique}

\medskip

Sur la feuille annexe 2, on a construit une portion de la représentation graphique $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$ dans un repère orthogonal \Oij, d'unités graphiques : $2$~cm sur l'axe des abscisses et $0,5$~cm sur l'axe des ordonnées.

On suppose que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

Soit A le point de coordonnées $(1~;~-4)$. La droite (OA) est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.

\begin{enumerate} 
\item	En utilisant le graphique, donner un encadrement 
de $f(-3)$ par deux entiers consécutifs.

\item Par lecture graphique il semblerait que la courbe $\mathcal{C}$ ait une droite asymptote au voisinage de moins l'infini.

Quelle serait alors son équation ?

\item Déterminer graphiquement le nombre dérivé $f'(0)$.

\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie 2. Étude de la fonction} $\mathbf{f.}$

\medskip

La fonction $f$ est la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x) =  \text{e}^{2x} - 6\text{e}^x + 5.\]

\begin{enumerate} 
\item Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend 
vers $- \infty$. Interpréter graphiquement le résultat obtenu.

\item Montrer que pour tout réel $x,~ f(x) = \text{e}^{2x}\left(1 - 
\dfrac{6}{\text{e}^x} + \dfrac{5}{\text{e}^{2x}}\right)$.

En déduire la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $- \infty$.

\item Les réponses aux questions précédentes permettent-elles de confirmer l'observation faite à la question \textbf{2.} de la \textbf{partie 1} ? Justifier votre réponse.

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que pour tout réel $x,~ f(x) = 
2\text{e}^x\left(\text{e}^x - 3\right)$.

		\item Étudier le signe de $f'(x)$.

		\item En déduire les variations de la fonction $f$ sur $\R$, puis dresser le tableau de variations de $f$.

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie 3 Calcul d'aire}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Démontrer quo la fonction $F$ définie sur $\R$ 
par 

\[F(x) = \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x} - 6\text{e}^x + 5x\]

est une primitive de $f$ sur $\R$.

\item Hachurer, sur le graphique de la feuille annexe 2, la partie 
$\mathcal{E}$ du plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe
des abscisses et les droites d'équation $x = - 2$ et $x = 0$.

\item Calculer en cm$^2$ la valeur exacte de l'aire de $\mathcal{E}$ puis sa valeur approchée arrondie au centième.

\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Feuille annexe 1\\
à rendre avec la copie}

\vspace{0,5cm}
\psset{unit=0.65cm}
\begin{pspicture}(19,18)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(19,18)
\psplot{3}{12.3}{24 x 2 mul sub}
\psplot{0}{19}{12 x 0.666667 mul sub}
\uput[dl](0,0){O} 
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(1,0) \psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(0,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[r](12.3,-0.5){$D$}
\uput[d](18,0){$D'$}
\uput[ur](9,6){I}
\multido{\n=0+1}{20}{\psline(\n,-0.1)(\n,0.1)}
\multido{\n=0+1}{19}{\psline(-0.1,\n)(0.1,\n)}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage
\begin{center}
\textbf{Feuille annexe 2\\
à rendre avec la copie}

\vspace{2cm}

Courbe $\mathcal{C}$ représentation graphique de la fonction $f$

\vspace{0,5cm}
\psset{xunit=1.333cm,yunit=0.5cm}

\begin{pspicture}(-5,-7)(4,20)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(-5,0)(4,0)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,-7)(0,20)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(1,0) \psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(0,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psline{->}(0,0)(1,0) \psline{->}(0,0)(0,1)
\uput[dl](0,0){O} \uput[u](-4,5){$\mathcal{C}$} 
\uput[ur](1,-4){A}
\psline(-5,20)(2,-8)
\multido{\n=-5+1}{10}{\psline(\n,-0.1)(\n,0.1)}
\multido{\n=-7+1}{28}{\psline(-0.05,\n)(0.05,\n)}
\psplot[plotpoints=4000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-5}{2.067}{2.71828 x 2 mul exp 2.71828 x exp 6 mul sub 5 add}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}