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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\thispagestyle{empty}
\lhead{\small Baccalauréat  STT  C.G.-I.G. }
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{10 juin 2005}}
\pagestyle{fancy}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT C.G.-I.G. Polynésie~\decofourright\\10 juin 2005}} 
    
\vspace{0,15cm}

Coefficient 4  \hfill Durée : 3 heures

\vspace{0,15cm}

La calculatrice est autorisée.

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Tous les ans, lors de la journée du Patrimoine, un musée d'art contemporain accueille gratuitement les visiteurs. On note dans le tableau suivant l'évolution du nombre de visiteurs depuis 6 ans.

\begin{center}$1\up{er}$ Tableau

\vspace{0,2cm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Années					&1999	&2000	&2001	&2002	&2003 	&2004\\ \hline
$x_{i}$ : rang de l'année		&1		&	2		&	3		&	4		&	5 		&	6\\ \hline
$v_{i}$ : nombre de visiteurs	&164	&270	&330	&493	&545	& 812\\ \hline
\end{tabularx}\end{center}

Au vu de la forme du nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i}~;~ y_{i}\right)$, l'ajustement linéaire ne semble pas judicieux.

 On décide de poser $y_{i} =  \ln (v_{i})$ pour chaque valeur de $i$. On obtient le tableau suivant :

\begin{center}
$2\up{e}$ tableau

\vspace{0,25cm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Années					&1999	&2000		&2001		&2002	&2003 	&2004\\ \hline
$x_{i}$ : rang de l'année		&1		&	2		&	3		&	4	&	5 	&	6\\ \hline
$y_{i}~:~ y_{i} = \ln (v_{i})$	&	5,1	&	5,6		&	5,8		&	6,2	&	6,3	& 	6,7\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Dans un repère orthogonal, représenter le nuage des points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ issus du $2\up{e}$ tableau, où :

$\bullet~$ 2~cm représentent une année sur l'axe des abscisses ;

$\bullet~$ 4~cm représentent une unité sur l'axe des ordonnées (commencer à graduer à partir de $5$).

\item Soit $G$ le point moyen du nuage. On considère la droite $\Delta$ d'équation $y = 0,3 x + 4,9$ dans le repère.

	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées de $G$.

		\item Tracer la droite $\Delta$.

		\item Montrer que la droite $\Delta$ passe par le point $G$ ainsi que par certains points du nuage qu'on déterminera.

	\end{enumerate}

\item Le directeur désirerait avoir une estimation du nombre de visiteurs pour l'année 2005.

On considère que la droite $\Delta$ réalise un ajustement affine du nuage de points issus du second tableau.

	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de l'équation de la droite $\Delta$, calculer la valeur de $y_{i}$, pour l'année 2005.

Puis, vérifier graphiquement la valeur trouvée (faire apparaître les traits de construction).

		\item En déduire le nombre de visiteurs $v_{i}$ estimé pour l'année 2005 arrondi au visiteur près.

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

On dispose d'une urne contenant $3$ boules indiscernables au toucher, de couleur rouge, bleue et  jaune et de $3$ boîtes de couleur rouge, bleue et jaune.

La boîte rouge contient $1$ ticket avec la mention \og gain de $100$~euros \fg{} et 3 tickets avec la mention \og perdu \fg.

La boîte bleue contient $2$ tickets avec le mention \og gain de $20$~euros \fg{}, 1 ticket avec la mention \og gain de $5$~euros \fg{} et $1$~ticket avec la mention \og perdu \fg.

La boîte jaune contient $1$~ticket avec la mention \og gain de $15$~euros \fg{}, $1$~ticket avec la mention \og gain de $10$~euros \fg, $2$~tickets avec la mention \og gain de $1$~euro \fg.

Tous les tickets sont indiscernables au toucher.
 
Un candidat choisit au hasard une boule dans l'urne puis il prend un ticket au hasard dans la boîte ayant la même couleur que la boule tirée. Il gagne la somme d'argent indiquée sur le ticket.

\begin{enumerate}
\item Représenter la situation à l'aide d'un arbre.

\item On considère les évènements suivants :

A : \og le candidat a gagné 100~euros \fg.

B : \og le candidat a pris un ticket dans la boîte jaune \fg.
 
C : \og le candidat a gagné une somme supérieure à $9$~euros \fg.
  
Les résultats numériques des questions qui suivent seront donnés sous forme de fraction.
  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les probabilités $p$(A), $p$(B) et $p$(C).

		\item Calculer la probabilité $p(\text{C} \cap  \text{B})$ puis la probabilité de $p(\text{C} \cup  \text{B})$.

		\item Les évènements A et B sont-ils incompatibles ? Justifier.

	\end{enumerate}

\end{enumerate}
  
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

L'objectif de ce problème est de mettre en {\oe}uvre les principales techniques d'analyse relatives aux études de fonctions étudiées dans la classe.

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
  
\[ f(x) = \left(4 - x^2\right) \text{e}^{ - 0,5x}\]

dont la représentation graphique $\mathcal{C}$ est donnée en annexe.

\vspace{0,25cm}   
  
\textbf{Partie A Étude graphique}

\medskip

En utilisant l'annexe, pour chacune des questions figurant dans le tableau ci-dessous, reporter sur la copie la lettre correspondant à la réponse exacte (aucune justification n'est demandée).
  
\vspace{0,25cm}
  
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
n$\up{o}$		&  Questions		&Réponse A&	Réponse B&Réponse C\\ \hline
1				&$f$ est positive sur :&	$]-2,1~;~-2] \cup [2~;~10[$&$[-2~;~2]$&[0 ; 5]\\ \hline
2				&$f'(0) =$			&	$-2$	&	2 	&	$-0,5$\\ \hline
3				&$f(0)=$			&	0		&	4 	&	$-2$ et $2$\\ \hline
				&	Solution(s) de l'équation& 	& 		& \\
4  				&$f(x) = 0$			&4			&$-2$ et 2& 	aucune\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}   
  
\textbf{Partie B Étude de la fonction}

\medskip
  
\begin{enumerate}
\item Étude des limites
  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$.
  
		\item En utilisant le résultat : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^{0,5x}}{x^2} = + \infty$, déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$, puis  interpréter graphiquement le résultat.
  
	\end{enumerate}
  
\item Dérivée et tangente
  
On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $\R$. 
  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout $x$ appartenant à $\R$ :$f'(x) = \text{e}^{-0,5x} \left(0,5x^2 - 2x - 2\right)$. 
  
		\item Déterminer les racines $x_{1}$ et $x_{2}$ du trinôme $0,5x^2 -  2x - 2$. 
  
		\item Que peut-on dire des tangentes à la courbe aux points d'abscisse $x_{1}$ et $x_{2}$ ? 
  
		\item Tracer ces deux tangentes sur le document annexe.

	\end{enumerate}
  
\item Calcul d'aire
  
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout réel $x$,on pose : $F(x) = \left(2x^2 + 8x + 8\right)\text{e}^{-0,5x}$.
  
Montrer que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\R$.
  
		\item Déterminer graphiquement le signe de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-2~ ;~ 2]$.
  
		\item Mettre en évidence sur le graphique donné en annexe la partie $\mathcal{A}$ du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses, la droite d'équation $x =  -2$ et l'axe des ordonnées.
  
		\item Calculer la mesure, en unité d'aires, de l'aire de $\mathcal{A}$.
  
	\end{enumerate}
 
\end{enumerate} 
  
\newpage
  
\begin{center}\textbf{ANNEXE PROBLÈME}
  
\textbf{À rendre obligatoirement avec la copie}
  
\vspace{0,5cm}
  
\begin{tabular}{|*{3}{c|}}\hline
 n$\up{o}$& 	QUESTION&	RÉPONSE DU CANDIDAT (A, B ou C)\\ \hline
1 & $f$ est positive sur :& \\ \hline
2 & $f'(0) = $&  \\ \hline
3 & $f(0) = $&  \\ \hline
4 & 	Solution(s) de l'équation $f(x) = 0$ & \\ \hline
\end{tabular}
 
\vspace{2cm}

\psset{unit=0.857cm} 
\begin{pspicture}(-3,-3.5)(11,5.5)
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\end{center}
\end{document} 