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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STT CG--IG}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2004}}
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\vspace*{-2cm}
\begin{center} { \Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat  STT CG--IG  Polynésie~\decofourright \\juin 2004}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}

\medskip

Les parents de Paul et Carine ont hérité d'une somme de \np{5000} euros qu'ils offrent en deux parts égales à leurs enfants: chacun reçoit \np{2500}~euros.
 
Paul place la totalité de sa part sur un livret A au taux de 3,5\:\% par an à intérêts composés.
 
Carine place \np{1400}~euros sur un livret B à 6\:\% par an à intérêts composés et le reste chez elle, dans sa tirelire.
 
On suppose que les deux enfants ne font plus désormais ni retrait ni versement. Les résultats seront donnés à l'euro près.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  On note $S_{n}$ le capital de Paul au bout de $n$ années.

Calculer $S_{1},~S_{2},~S_{3}$.
 
$\left(S_{n}\right)$ est une suite géométrique, exprimer 8n en fonction de $n$. 
\item  On note $T_{n}$ le capital total (livret et tirelire) de Carine au bout de $n$ années.

Calculer $T_{1},~T_{2},~T_{3}$.

Exprimer $T_{n}$ en fonction de $n$. 
\item  Recopier et compléter le tableau suivant : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n$		&1	&2	&3	&4	&5	&6	&7	&8  \\ \hline
$S_{n}$	&	&	&	&	&	&	&	&  \\ \hline
$T_{n}$ &	&	&	&	&	&	&	&  \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item  En déduire, en fonction du nombre d'années, qui de Paul ou Carine fait le meilleur placement.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 4 points}

\medskip

Un sondage est effectué auprès d'un échantillon de \np{1200}~ personnes consommant de l'eau plate ou de l'eau gazeuse. Parmi les personnes interrogées, on distingue trois catégories socioprofessionnelles : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  la catégorie A : les cadres et les professions libérales ; 
\item  la catégorie B : les artisans, commerçants et agriculteurs ; 
\item  la catégorie C : les ouvriers, employés et autres.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
22\:\% des personnes interrogées appartiennent à la catégorie B.

45\:\% des personnes interrogées consomment de l'eau gazeuse.
 
Parmi les personnes consommant de l'eau gazeuse, $310$ appartiennent à la catégorie C et $120$ à la catégorie B.
 
Parmi les consommateurs d'eau plate, $180$ appartiennent à la catégorie C.
 
\begin{enumerate}
\item  Reproduire et compléter le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \cline{2-5}
\multicolumn{1}{c|}{}&Catégorie A &Catégorie B &Catégorie C &Total 
 \\ \hline
Eau gazeuse &&&&  \\ \hline 
Eau plate &&&&  \\ \hline 
Total &&&&  \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\emph{Les résultats des questions suivantes seront donnés sous forme décimale, arrondie à $0,01$}. 
\item  On interroge une personne au hasard dans l'échantillon des \np{1200}~consommateurs d'eau. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité $p_{1}$ qu'elle appartienne à la catégorie A. 
		\item Calculer la probabilité $p_{2}$ qu'il s'agisse d'une personne de la catégorie B consommant de l'eau plate.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill 12 points}

\medskip

L'objectif du problème est l'étude d'une fonction et son utilisation pour la résolution d'un problème lié à l'économie.

\medskip
 
\textbf{Partie A - Étude d'une fonction} 

\medskip

Soit la fonction numérique $f$ définie sur $]O~;~+ \infty[$ par: 
	 
\[f(x) = \dfrac{8\ln x}{x}.\] 

On note $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal \Oij, unité graphique : 1~cm.
 
\begin{enumerate}
\item Sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, donner les valeurs de $x$ pour lesquelles $\ln x < 1$
. 
\item Calculer les limites de $f$ en $+ \infty$ et en $0$. En déduire les asymptotes à la courbe $\mathcal{C}_{f}$.
\item Vérifier que $f'(x) = 8\left(\dfrac{1 - \ln x}{x^2} \right)$	 (détailler les etapes du calcul). 
\item En utilisant les réponses aux questions 1., 2. et 3., dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]O~;~+ \infty[$. 
Déterminer le maximum de la fonction $f$ sur $]O~;~+ \infty[$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer le coefficient directeur de la tangente $(T)$ à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse $1$. 
		\item Recopier et compléter le tableau suivant à l'aide de valeurs décimales arrondies à $0,1$~près.
		
\medskip

\renewcommand\arraystretch{1.7}		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&0,5&1	&2	&3	&4	&5	&6	&7	&8	&9	&10 \\ \hline
$f(x)$	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&  \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
		 
		\item Tracer la tangente $(T)$ et la courbe $\mathcal{C}_{f}$ sur l'intervalle $]0~;~ 10]$. 
\item Déterminer la dérivée $g'$ de la fonction $g$ définie sur $]O~;~+ \infty[$ par $g(x) = (\ln x)^2$. En déduire une primitive de $f$ sur $]O~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate} 
\item  Calculer la valeur, exprimée en cm$^2$, de l'aire de la partie limitée par la courbe $\mathcal{C}_{f}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = \text{e}$. 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B - Application économique}

\medskip
 
La variable $x$ représente le nombre de tonnes de produit qu'une entreprise peut fabriquer en un mois.
 
On suppose que toute la production mensuelle est vendue.
 
Le bénéfice réalisé pendant ce mois de production, exprimé en milliers d'euros, est $f(x)$ où $f$ est la fonction étudiée en partie A, c'est-à-dire $f(x) = \dfrac{8\ln x}{x}$.  
\begin{enumerate}
\item  Quel est le bénéfice maximal que l'entreprise peut réaliser en un mois ?
 
Donner la quantité $x$ de produit fabriqué, arrondie au kg, correspondant à ce bénéfice maximal.
\item
	\begin{enumerate}
		\item On note $R(x)$ la recette, exprimée en milliers d'euros, résultant de la vente de $x$ tonnes du produit au tarif de \np{4000}~\euro{} la tonne. Justifier que \mbox{$R(x) = 4x$}.
		\item Dans le cas du bénéfice mensuel maximal, calculer le pourcentage que représente ce bénéfice par rapport à la recette du mois.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Quelle relation existe-t-il entre la recette mensuelle$R(x)$, le bénéfice mensuel $f(x)$ et le coût mensuel noté $C(x)$ exprimé en milliers d'euros ?
		\item Donner le coût mensuel correspondant au bénéfice maximal (donner la valeur exacte).
	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
\end{document}