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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat STT CG-IG}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures}

\vspace{0,5cm}

 {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT CG-IG Polynésie~\decofourright \\ juin 2006}}
 \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples constitué de cinq questions : chacune comporte trois réponses, une réponse et une seule étant exacte.\\
Les réponses à cet exercice sont à inscrire dans la feuille jointe en annexe, en cochant pour chaque question la case correspondant à la réponse proposée. Aucune justification n'est demandée.\\
La réponse exacte à une question rapporte $1$ point ; une réponse fausse à une question (ou une réponse multiple) coûte $0,5$~point, l'absence de réponse ne rapporte rien. Si le total de l'exercice est négatif, il est ramené à $0$}.
  
\medskip
  
Une grande boulangerie propose $500$~pains dont la répartition est donnée dans le tableau suivant :
  
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
					&Nature		&Sans sel&Complet&Total\\ \hline
Pain maison			&100		&40		&70		&210\\ \hline
Pain de campagne	&80			&30		&50		&160\\ \hline
Pain au levain 		&60			&40		&30		&130\\ \hline
Total 				&240		&110	&150	&500\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Le pourcentage de pains maison parmi l'ensemble des pains à vendre est :
\begin{center}

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~}  20\,\%&	\textbf{b.~~} 42\,\%&	\textbf{c.~~} 35\,\%\\
\end{tabularx} 
\end{center}
\item Le pourcentage des pains au  levain parmi les pains nature est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} 36\,\%&	\textbf{b.~~} 12\,\%& 	\textbf{c.~~} 25\,\%\\
\end{tabularx} 
\end{center}

\item Le premier client achète au hasard l'un des pains de la boulangerie, la probabilité pour que ce soit un pain de campagne ou un pain complet est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} 0,10&\textbf{b.~~} 0,52& \textbf{c.~~} 0,3 \\
\end{tabularx} 
\end{center}

\item Un client achète au hasard un pain sans sel, la probabilité que ce soit un pain au levain est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} $\dfrac{13}{50}$& \textbf{b.~~} $\dfrac{4}{11}$ &\textbf{c.~~} $\dfrac{11}{50}$\\
\end{tabularx} 	
\end{center}

\item  Le prix d'un pain de campagne en 2000 était $p_{0}$ euros. Le prix du même pain de campagne en 2006 est $p_{6} =  1,5$ \euro. Sachant que le prix de ce pain de campagne a augmenté de 4\,\% par an de 2000 à 2006, $p_{0}$ était :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} $1,17$~\euro &\textbf{b.~~} $1,09$~\euro &\textbf{c.~~} $1,19$~\euro
\end{tabularx} 	
\end{center}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip

Un artisan ferronnier doit fabriquer des tables et fauteuils métalliques en volutes pour un grand magasin.

Chaque table nécessite $10$~kg de fer, $2$~litres de peinture anti-corrosion et demande 3 heures de travail.

 Chaque fauteuil nécessite $5$~kg de fer, $4$~litres de peinture anti-corrosion et demande 4 heures de travail.\\
Pour cet ouvrage, l'artisan reçoit $100$~kg de fer et $36$~litres de peinture anti-corrosion. Les délais imposés font qu'il ne dispose que de $40$~heures de travail.\\
On note $x$ le nombre de tables et $y$ le nombre de fauteuils que l'artisan va réaliser.
\begin{enumerate}
\item  Montrer que les contraintes de cette situation peuvent être traduites par le système d'inéquations

\[(S)~\left\{\begin{array}{l c l}
2x +y 		& \leqslant & 20\\
x+ 2y		& \leqslant &	18\\ 	
3x + 4y	& \leqslant & 40\\
\end{array}\right. ~ \text{où}~ x~  \text{et}~ y~ \text{sont des entiers naturels.}\]
\item Dans un repère orthonormal \Oij, avec $1$~cm pour $1$~unité sur les deux axes, mettre en évidence l'ensemble des points $M(x ~;~ y)$ du plan, solution du système ($S$), en hachurant la partie du plan qui ne convient pas.
\item L'artisan recevra $60$~\euro{} pour chaque table produite et $40$~\euro{} pour chaque fauteuil produit.

Soit S le salaire que l'artisan recevra pour la confection de $x$ tables et $y$ fauteuils.

	\begin{enumerate}
		\item Exprimer S en fonction de $x$ et $y$.
		\item Déterminer une équation de la droite ($d$) correspondant à un salaire de $440$~\euro{} et compléter le graphique précédent en traçant la droite ($d$).
		\item En justifiant la démarche, déterminer graphiquement le couple d'entiers $(x~;~y)$ qui permettra à l'artisan d'obtenir le meilleur salaire.

Préciser le montant de ce salaire maximum.

À combien s'élève alors son salaire horaire ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 9 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij.

La courbe ($\mathcal{C}$), donnée en annexe 2, est la représentation graphique de la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par :

\[ f(x)= - x^2 +10x - 9 -8\ln x.\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $0$. Que peut-on en déduire concernant la courbe ?
\item En écrivant $f(x)$ sous la forme $f(x) = x^2\left(- 1 + \dfrac{10}{x} - \dfrac{9}{x^2} - \dfrac{8 \ln x}{x^2}\right)$ déterminer la limite de $f$en $- \infty$.
\item Démontrer que, pour tout réel $x$ de $]0~;~+\infty[,~ f'(x) = \dfrac{-2(x - 1)(x - 4)}{x}$  où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.
\item Étudier le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs de $x$ dans l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
\item Dresser le tableau de variations de $f$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Recopier et compléter le tableau de valeurs ci-dessous $\left(\text{les résultats seront arrondis à} 10^{-4}\right)$.

\[\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$			&6,18	&6,19	& 6,20	&6,21\\ \hline
$f(x)$	&			&			&			& \\ \hline
\end{tabularx}\]

		\item L'équation $f(x) = 0$ admet deux solutions, $1$ et $\alpha$ dans $]0~;~+\infty[$. À l'aide de la question précédente, donner sans justification an encadrement à $10^{-2}$ près de $\alpha$.
		\item Placer $\alpha$ sur le graphique de l'annexe 2.
	\end{enumerate}
\item Soit $F$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par : $F(x) = - \dfrac{x^3}{3} +5x^2 -x - 8x\ln x$.\\
Démontrer que $F$est une primitive de $f$ sur $]0~;~+\infty[$.
\item Hachurer la partie ($\mathcal{P}$) du plan délimitée par l'axe des abscisses, la courbe ($\mathcal{C}$) et les droites d'équation $x = 3$ et $x = 6$, puis donner la valeur exacte de la mesure, exprimée en unités d'aire, de l'aire de ($\mathcal{P}$).
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B - Application économique}

\medskip

Une entreprise doit produire entre $10$ et $70$~pièces par jour.

On admet que si $x$ est la production journalière en dizaines de piece alors le bénéfice réalisé en milliers d'euros est $f(x)$, où $f$ est la fonction étudiée dans les deux premières parties avec $x \in [1~;~7]$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer à l'aide de la courbe ($\mathcal{C}$) de l'annexe 2, la quantité de pièces fabriquées par jour, à partir de laquelle l'entreprise commence à travailler à perte.

Donner une valeur approchée de cette valeur à 1 près.
\item Par lecture graphique, indiquer la quantité de pièces que l'entreprise doit fabriquer par jour pour réaliser un bénéfice maximal.
\item On admet que lorsque l'entreprise produit entre $30$ et $60$~pièces par jour sur une certaine période, le bénéfice journalier moyen en milliers d'euros est donné par $\dfrac{1}{3}\displaystyle\int_{3}^6 f(x)\:\text{d}x$.

À l'aide de la partie A, déterminer à 1~\euro{} près ce bénéfice journalier moyen.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}\textbf{Annexe 1 à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\textbf{Réponses à l'exercice 1 (mettre une croix dans la case correspondant à la  réponse choisie}

\bigskip

\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&a.	&b.	&c.	\\ \hline
	1. 	&	&	&	\\ \hline
	2.	&	&	&	\\ \hline
	3.	&	&	&	\\ \hline
	4.	&	&	&	\\ \hline
	5.	&	&	&	\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{2cm}

\textbf{Annexe 2 à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\psset{unit=1.33333cm}
\begin{pspicture}(-1,-3)(8,5)

\psline{<->}(3.2,3.9096)(4.8,3.9096)
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0.2302}{6.887}{10 x mul 9 sub x dup mul sub x ln 8 mul sub}
\uput[u](4,3.9096){B} \uput[r](0.4,4){($\mathcal{C}$)} \uput[u](1,0){A}
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\multido{\r=-3+0.3333}{25}{\psline[linewidth=0.6pt,linecolor=orange](-1,\r)(8,\r)}
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1,-3)(8,5)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document} 
