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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STT CG -- IG  septembre 2004}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 2004}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
\textbf{Durée : 3 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT CG - IG Polynésie~\decofourright \\ septembre 2004}}
\end{center}

\vspace{0,35cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\medskip

Madame Maréchal tient une librairie pour la jeunesse. Une grande partie de sa clientèle lit des romans ou des bandes dessinées (BD). Pour approvisionner son rayon  cette libraire a besoin d'au moins $5$ romans et $20$~BD, mais ne peut dépasser les $180$~ouvrages  au total.

La place nécessaire, en moyenne, est de $3$~cm pour un roman et de $2$~cm pour une BD.

Madame Maréchal ne dispose que de $4,80$~m de longueur d'étagères pour ces ouvrages.

On note $x$ le nombre de romans et $y$ le nombre de BD en rayonnage.

\begin{enumerate} 
\item	Montrer que les contraintes de l'énoncé peuvent se traduire par  le système d'inéquations suivantes :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x 				& \geqslant 	&  50\\
y 				&  \geqslant 	& 20\\
x + y		& \leqslant 	&180\\
3x + 2y 	& \leqslant 	& 480\\
\end{array}\right.\]

où $x$ et $y$ sont des entiers naturels.

\item À tout couple $(x~;~y)$, on associe le point $M$ de coordonnées $(x~;~y)$  dans le repère orthonormal \Oij. Unités graphiques : $1$~cm pour $10$~unités.

Déterminer graphiquement l'ensemble des points $M(x~;~ y)$ dont les 
coordonnées vérifient les contraintes (on hachurera la zone ne convenant pas).

Cet ensemble est l'intérieur d'un quadrilatère. On déterminera 
précisément par le calcul les coordonnées des sommets de ce quadrilatère.
\item  Madame Maréchal réalise un bénéfice de $0,50$~\euro{} par roman et 
de $0,40$~\euro{~}  par BD. Elle désire connaître le nombre de romans et de BD pour obtenir  un bénéfice maximal dans l'hypothèse où elle vend la totalité de ses  ouvrages.
	\begin{enumerate} 
		\item Exprimer son bénéfice $B$ en fonction de $x$ et 
de $y$.
		\item Tracer les droites (D$_1$) et (D$_2$) correspondant respectivement à un bénéfice $B_1$, de $100$~\euro{} et à un bénéfice $B_2$ de $80$~\euro. Justifier que ces droites sont parallèles.
		\item À l'aide du graphique, déterminer alors le nombre de romans et le nombre de BD que Madame Maréchal doit avoir en rayon pour obtenir un bénéfice  maximal. Calculer ce bénéfice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

Chez un marchand de journaux $180$ revues ont été accidentellement 
mélangées.

$30\:\%$ de ces revues sont des mensuels, les autres sont des 
hebdomadaires.

$125$ sont des programmes de télévision et $34\:\%$ d'entre eux sont des 
hebdomadaires.

Il y a $11$ mensuels consacrés au sport et $9$ des hebdomadaires sont 
des revues d'informatique.

\begin{enumerate} 
\item	Recopier et compléter le tableau suivant :

\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|c|}\cline{2-5}
\multicolumn{1}{c |}{} 	& Informatique& Programmes TV 	& Sport & Total\\ \hline
Mensuels 						& 							& 									& 				& \\\hline
Hebdomadaires 			& 							& 									& 				& \\\hline
Total 								& 							& 									& 				&180\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

\textsl{Les résultats des probabilités seront  donnés sous forme de 
fractions  irréductibles.}

\medskip

\item On ramasse une revue au hasard. Calculer la probabilité de 
chacun des évènements suivants :
	\begin{enumerate} 
		\item A : \og La revue est mensuelle \fg{} ;
		\item B : \og La revue n'est pas une revue d'informatique \fg{} ;
		\item C : \og La revue est consacrée ce sport. \fg{}
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la probabilité de l'évènement L : \og La revue est un mensuel consacré au sport \fg{}.
		\item En déduire la probabilité de l'évènement A ~$\cup$~ C.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  10 points}

\medskip

\textbf{Partie A : Étude de la fonction $f$ et tracé de la 
courbe \boldmath $\mathcal{C}$ \unboldmath}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = \dfrac{\ln x}{x} + \dfrac{1}{x} + 2x - 2.\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij.
Unité graphique : $2$~cm.

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
		\item Montrer que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = 2x - 2$ est asymptote à la  courbe $\mathcal{C}$.
		\item Montrer que $f(x)$ peut s'écrire sous la forme : 

\[f(x) = \dfrac{1}{x}\left(\ln x + 1  + 2x^2 - 2x\right).\]

En déduire la limite de $f$ en  $0$. Interpréter graphiquement ce 
résultat.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Soit $f'$ la dérivée de la fonction $f$. Montrer  que $f'(x) = \dfrac{2x^2 - \ln x}{x^2}$.
		\item En admettant que $2x^2 - \ln x$ est strictement positif sur $]0~;~+ \infty[$ étudier le signe de $f'(x)$.

Dresser le tableau de variations  de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
		\item Reproduire le tableau suivant et le compléter en donnant les 
valeurs décimales de $f(x)$ arrondies à $10^{-2}$ près.

\medskip

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ 	&0,3 	&0,4 	&0,5	&0,6 	&0,7 	&0,8\\ \hline 
$f(x)$	& 		& 		& 		& 		& 		& \\ \hline
\end{tabularx}\]

\medskip

	\end{enumerate}
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ ainsi que ses asymptotes.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie B :  Calcul intégral}

\medskip

On considère la fonction $h$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ 
par :

\[h(x) = \dfrac{(\ln x)^2}{2} + \ln x.\]	

\begin{enumerate} 
\item Calculer $h'(x)$ où $h'$ désigne la fonction 
dérivée de la fonction $h$.
\item En déduire qu'une primitive $F$ de $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ 
\infty[$  est donnée par

\[F(x) = h(x) + x^2  -2x.\]

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la valeur exacte de 
$\displaystyle\int_1^{\text{e}} f(x)\:\text{d}x$.
		\item À partir des variations de la fonction $f$ déterminer le signe de $f(x)$  sur l'intervalle [1~;~e].
		\item Interpréter graphiquement $\displaystyle\int_1^{\text{e}} f(x)\:\text{d}x$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}