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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat STT CG-IG}
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small{3 avril 2006}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} { \Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT CG-IG  Pondichéry~\decofourright\\ 3 avril 2006}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}
\begin{center} La calculatrice (conforme à la circulaire \No 99-186 du 16-11-99) est autorisée.

Le formulaire officiel est autorisé.

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Le tableau suivant donne l'évolution du SMIC mensuel brut pour $169$~heures de travail. Les montants sont donnés en euros pour les années 2001, 2002, 2003 et 2004, en francs pour les autres années.

\medskip

{\footnotesize \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.3cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash }X|}}\hline
Année					&1997	&1998	&1999	&2000& 2001	&2002	& 2003	& 2004\\ \hline
Rang de l'année : $x$	&0		&1		&2		&3		&4	&5		& 6		&7\\ \hline
Montant du SMIC en francs&\np{6663,67} &\np{6797,18}&\np{6881,68}&\np{7101,38}&$\times$&$\times$&$\times$&$\times$\\ \hline
Montant du SMIC	en	euros : $y$		&	&	&	&	&\np{1127}&\np{1154}&\np{1215}&\np{1286}\\ \hline
\multicolumn{9}{r}{(Données INSEE) }
\end{tabularx}}
 	 
Rappel :  $1$~euro = \np{6,55957} francs.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  À l'aide de la calculatrice, déterminer les montants du SMIC mensuel en euros arrondis à l'unité pour les années 1997, 1998, 1999 et 2000 et compléter le tableau fourni en \textbf{Annexe 1}.
\item Sur la feuille de papier millimétré fournie, représenter dans un repère orthogonal \Oij{} du plan, le nuage des points de coordonnées $(x~;~y)$. On prendra comme unités graphiques :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  $2$~cm pour une année en abscisse en commençant au rang 0 ;
\item[$\bullet~$] $1$~cm pour $20$~euros en ordonnées en commençant la graduation à $900$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{5mm}

\item Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage et le placer sur le graphique précédent.
\item On considère la droite $\mathcal{D}$ passant par G et de coefficient directeur 37,5 et réalisant un ajustement affine du nuage précédent.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'équation réduite de la droite  $\mathcal{D}$.
		\item Tracer cette droite sur le graphique.
		\item Déterminer graphiquement une estimation du SMIC mensuel pour l'année 2006. On fera apparaître sur le graphique les tracés nécessaires à la lecture. 
		\item Retrouver, par le calcul, le résultat précédent.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

Pour chacune des questions ci-dessous, une seule des quatre réponses proposées est exacte.

La réponse choisie sera notée sur l'Annexe 2. On ne demande aucune justification.

\emph{Chaque bonne réponse rapporte $1$ point Chaque réponse fausse retire $0,5$ point Une question sans réponse ne rapporte et n'enlève aucun point. Si le total des points est négatif la note attribuée à l'exercice est ramenée à $0$}.

\begin{enumerate}
\item  Soit $a$ et $b$ deux réels ; $\text{e}^{a+b}$ est égal à :

\[\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
A							&	B		&	C	&	D\\ \hline
$\text{e}^{a} + \text{e}^{b}$&	$\text{e}^{a} \times\text{e}^{b}$	&	$a\text{e}^{b}$	&$\left(\text{e}^{a}\right)^b$\\ \hline
\end{tabularx}\]

\item Soit $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ la suite géométrique de premier terme $u_{0} = - 2$ et de raison $\dfrac{1}{2}$ ; $u_{n}$ est égal à :

\[\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
A							&	B		&	C	&	D\\ \hline
\rule[-3mm]{0mm}{10mm}$- \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n - 1}$&$\left(-2 \times \dfrac{1}{2}\right)^n$&	$- 2 + \dfrac{n}{2}$& $\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n - 1}$ \\ \hline
\end{tabularx}\]

\item Soit $h$ la fonction définie et dérivable sur $\R$ par $h(x) = (2x + 1)\text{e}^{-2x}$ ; sa fonction dérivée est définie par $h'$ où $h'(x)$ est égal à :

\[\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
A							&	B		&	C	&	D\\ \hline
$(4 - 4x)\text{e}^{-2x}$&$- 4x\text{e}^{-2x}$ & $- 4\text{e}^{-2x}$&$2\left(\text{e}^{-x}\right)^2$\\ \hline
\end{tabularx}\]
\item Soit $E$ et $F$ deux évènements d'une même expérience aléatoire. On donne les probabilités suivantes : $p(E) = 0,2~ ;~ p(F) =  0,4$ et $p(E \cap F) = 0,15$. On en déduit que $p(E \cup F)$ est égal à :

\[\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
A							&	B		&	C	&	D\\ \hline
0,75	&	0,6	&	0,45	&0,15 	\\ \hline
\end{tabularx}\]

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème } \hfill 11 points}

\medskip

L'objet du problème est l'étude de la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par
\[f(x) = x  - \dfrac{1}{x} + 2\dfrac{\ln x}{x}.\]

 et le calcul d'une intégrale.
 
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} du plan, d'unité graphique $2$~cm.
 
\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip

 Soit la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par :
 
\[g(x) = x^2 + 3 - 2\ln x.\]
 
\begin{enumerate}
\item  Soit $g'$ la fonction dérivée de $g$.
	
Montrer que, pour tout $x$ de l'intervalle $] 0~;~+\infty[,~g'(x) = \dfrac{2(x - 1)(x + 1)}{x}.$

\item  Étudier le signe de $g '(x)$ et dresser le tableau de variations de $g$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ (les limites aux bornes de cet intervalle ne sont pas demandées).
\item  En déduire  le signe de $g$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
\end{enumerate}

\medskip 
 
\textbf{Partie B :} étude de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $] 0~;~ +\infty[$ par :

\[f(x)= x - \dfrac{1}{x} + 2 \dfrac{\ln x}{x}.\]
 
\begin{enumerate}
\item  On admet que la limite en $0$ de $f$ est $-\infty$. Que peut-on en déduire graphiquement ?
\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
\item Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ définie sur $] 0~;~+\infty[$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, $f'(x) =  \dfrac{g(x)}{x^2}$	où $g$ est la fonction étudiée dans la \textbf{partie A}.
		\item En déduire le signe de $f'(x)$ puis les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $] 0~;~+\infty[$.
	\end{enumerate}
\item Dresser le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle $] 0~;~ +\infty[$.
\item Démontrer que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y =  x$ est asymptote à $\mathcal{C}$ au voisinage de $+ \infty$.
\item Compléter le tableau de valeurs en \textbf{Annexe 3}. On arrondira les valeurs à  $0,1$ près.
\item Tracer $\mathcal{C}$ et  $\mathcal{D}$ dans le repère \Oij.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que la fonction $F$, définie sur l'intervalle $] 0~;~ +\infty[$ [par 
\[F(x) = \dfrac{1}{2}x^2 - \ln x + (\ln x)^2,\]
 est une primitive de $f$.
		\item En déduire la valeur exacte de l'intégrale $I = \displaystyle\int_{1}^4 f(x)\,\text{d}x$.
		\item Donner une interprétation graphique de cette intégrale.
	\end{enumerate}
 \newpage
 
\begin{center} \textbf{ANNEXES}
 
\bigskip
 
\textbf{Annexe 1 : tableau à compléter de l'exercice 1}
 
\bigskip
 
{\footnotesize \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.3cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash }X|}}\hline
Année					&1997	&1998	&1999	&2000& 2001	&2002	& 2003	& 2004\\ \hline
Rang de l'année : $x$	&0		&1		&2		&3		&4	&5		& 6		&7\\ \hline
Montant du SMIC en francs&\np{6663,67} &\np{6797,18}&\np{6881,68}&\np{7101,38}&$\times$&$\times$&$\times$&$\times$\\ \hline
Montant du SMIC	en	euros : $y$		&	&	&	&	&\np{1127}&\np{1154}&\np{1215}&\np{1286}\\ \hline
\end{tabularx}}

 
\bigskip \bigskip
 
\textbf{Annexe 2 :  tableau à compléter de l'exercice 2}
 
\bigskip
  
\begin{tabular}{|c|c|}\hline
Questions & Réponses\\ \hline
1. & \\ \hline
2. & \\ \hline
3. & \\ \hline
4. & \\ \hline
\end{tabular}
  
\bigskip \bigskip
    
\textbf{Annexe 3 :  tableau de valeurs à compléter du problème}

\bigskip 
  
\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline   
 $x$		&0,75	&	1	&	2	&	3	&	4	&	5	&	6	&	7\\ \hline
$f(x)$ 	& 			& 		& 		& 		&		&		& 		&\\ \hline
\end{tabularx}\]
\end{center}
\end{document} 