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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STT CG--IG septembre 2004}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{septembre 2004}}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT CG-IG La Réunion ~\decofourright\\septembre 2004}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

On interroge 100~clients d'un hypermarché pour connaître leurs avis sur deux produits génériques A et B. Les résultats sont les suivants : tous les clients ont répondu. $20$~clients sont satisfaits des deux produits. $35$~clients sont satisfaits du produit A et $27$~clients ne sont satisfaits que du produit B.

\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
Nombre de personnes &satisfaites de A& non satisfaites de B	& Total\\ \hline
Satisfaites de B 		&  			&  				&  \\ \hline
Non satisfaites de B 	&  			&  				&  \\ \hline
Total  					&  			&  				&100 \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item On  interroge un client au hasard. Dans chacun des cas suivants, calculer, en justifiant la réponse, la probabilité que ce client soit :

	\begin{enumerate}
		\item satisfait de B

		\item satisfait de A seulement ;

		\item non satisfait des deux produits ;

		\item satisfait d'un seul produit ;

		\item satisfait d'au moins un produit.

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip

Dans le tableau suivant figurent les données concernant les ventes annuelles, pendant six années consécutives, d'une entreprise spécialisée dans un seul type de produit.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Rang de l'année : $x_{i}$	& 0  	&  1  	&  2  	&  3  	&  4  	&  5\\ \hline 	
Nombre de ventes  en  milliers : $v_{i}$ 	&2,6	&4,3 	& 8,2 	&11,1 	&23,4	& 30,0\\ \hline
$y_{i} = \ln \left(v_{i}\right)$ 		&0,96	&  		&  		&  		& 		&3,40\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter la dernière ligne du tableau (où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien) par les valeurs manquantes de $y_{i}$ arrondies au centième près.

\item Représenter le nuage de points de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans un repère orthonormal du plan (unité graphique $2$~cm).

\item Déterminer les coordonnées du point moyen G du nuage.

\item Sur le graphique précédent, tracer la droite D d'équation $y = \dfrac{1}{2}x + 1$.

Pour la suite, on admet que cette droite ajuste correctement le nuage de points.

\item Montrer que le nombre $v_{i}$ de ventes en fonction du rang $x_{i}$ de l'année est :

\[v_{i} = \text{e}^{1 + \frac{1}{2}x_{i}}.\]

\item Donner une estimation du nombre de ventes, pour l'année de rang 6 (en admettant que la tendance observée entre l'année de rang 0 et l'année de rang 5 se poursuive).

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  10 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par

\[f(x) = \dfrac{1}{x} + \dfrac{\ln (x)}{x}\]

où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

On appelle ($\mathcal{C}$) la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.

En déduire l'existence d'une asymptote à la courbe ($\mathcal{C}$).

		\item En écrivant $f(x)$ sous la forme $f(x) = \dfrac{1}{x}(1 + \ln (x))$, déterminer la limite de $f$ en $0$.

En déduire l'existence d'une deuxième asymptote à la courbe ($\mathcal{C}$).

	\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la dérivée de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$ est définie par : $f'(x) = - \dfrac{\ln (2x)}{x^2}$.

		\item Étudier le signe de $f(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$.

\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre sur $]0~;~+ \infty[$  l'équation $f(x) = 0$.

		\item Recopier et compléter le tableau suivant (chaque valeur manquante sera donnée 	arrondie au centième)
		
\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ \rule[-3mm]{0mm}{8mm}& $\dfrac{1}{8}$ & $\dfrac{1}{4} $& & $\dfrac{1}{2}$ & $\dfrac{3}{4}$ & 2  & 4 & 8\\ \hline
$f(x) $& &\rule[-3mm]{0mm}{8mm} & 0 & & & & & \\ \hline
\end{tabularx}\]

		\item Représenter la courbe ($\mathcal{C}$) en prenant $2$~cm pour unité graphique.

	\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit la fonction $F$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par 
$F(x) = \ln (x) + \dfrac{1}{2}\left[ \ln (x)\right]^2$.

Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $]0~ ;~+ \infty[$.

		\item Hachurer sur le graphique la partie du plan située entre la courbe ($\mathcal{C}$), l'axe des abscisses, et les droites d'équations $x = \dfrac{1}{\text{e}}$ et $x = 1$.

		\item Calculer, en cm$^2$, l'aire de la partie hachurée.

	\end{enumerate}

\end{enumerate}
\end{document}