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% Tapuscrit Denis Vergès
% Sujet aimablement fourni par Vincent Tolleron
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STG CGRH}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane\hspace{0.5em}correction}}
\rfoot{\small 13 septembre 2013}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat CGRH Antilles--Guyane ~\decofourright\\13 septembre 2013\hspace{1em}Correction}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 7 points}

\medskip
{\footnotesize
Un concessionnaire automobile s'est spécialisé dans la vente de deux types de véhicules uniquement : les coupés sports et les petites citadines.
 
Lorsqu'il vend une voiture, le concessionnaire propose systématiquement au client l'option GPS intégré.

\medskip
 
Après une étude sur plusieurs années de sa clientèle, le concessionnaire constate que :
\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item 43\,\% des clients achètent une citadine. 
\item 23\,\% des clients ayant choisi une citadine prennent l'option GPS intégré. 
\item 67\,\% des clients ayant choisi un coupé sport prennent l'option GPS intégré.
\end{itemize}
}
\setlength\parindent{0mm}
 
On choisit une fiche client au hasard dans les archives du concessionnaire, chaque fiche a la même probabilité d'être choisie. On définit les évènements suivants :

\setlength\parindent{8mm} 
\begin{itemize}
\item $C$ : \og Le client a acheté une citadine \fg. 
\item $G$ : \og Le client a équipé son véhicule de l'option GPS intégré \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Pour tout évènement $A$ , on note $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A$. 

\medskip

\textbf{Toutes les probabilités seront arrondies à \boldmath $10^{-4}$ \unboldmath près.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide des informations de l'énoncé, déterminons: 
	\begin{enumerate}
		\item la probabilité $P(C)$ de l'évènement $C$ ; $P(C)=\np{0.43}$ car 43\,\% des clients achètent une citadine. 
		\item la probabilité de l'évènement $G$ sachant $C$, notée $P_{C}(G)$. $P_{C}(G)=\np{0,23}$ car 23\,\% des clients ayant choisi une citadine prennent l'option GPS intégré.
	\end{enumerate} 
\item Complétons l'arbre ci-dessous décrivant la situation. 

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=2cm,nodesep=1mm,labelsep=0.1pt} 
\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{~$C$~}\taput{$\np{0,43}$}}
	  { 
		  \TR{~$G$~}\taput{$\np{0,23}$}
		  \TR{~$\overline{G}$~}\tbput{$\np{0,77}$}	   
	  }
	\pstree{\TR{~$\overline{C}$~}\tbput{$\np{0,57}$}}
	  {
		  \TR{~$G$~}\taput{$\np{0,67}$}
		  \TR{~$\overline{G}$~}\tbput{$\np{0,33}$}
	  }

}
\end{center}

\bigskip

\item L'évènement $C \cap G$ est l'évènement : \og le client a acheté une citadine et a équipé son véhicule de l'option GPS intégré\fg.

Calculons sa probabilité. $P(C\cap G)=P(C)\times P_{C}(G)=\np{0,43}\times \np{0,23}= \np{0,0989}$.
\item Montrons que la probabilité de l'évènement $G$ est \np{0,4808}. 

$P(G)=P(C)\times P_{C}(G)+P(\overline{C})\times P_{\overline{C}}(G)=\np{0,0989}+\np{0,57}\times\np{0,67}=\np{0,0989}+\np{0,3819}=\np{0,4808}$. 

Nous trouvons bien le résultat attendu.

\item Calculons la probabilité conditionnelle $P_{G}(C)$ que le client ait acheté un coupé sachant qu'il a opté pour l'option GPS intégré. 

$P_{G}(C)=\dfrac{P(C \cap G)}{P(G)}=\dfrac{\np{0,0989}}{\np{0,4808}}\approx \np{0,2057}$.
\item Les évènements $C$ et $G$ sont indépendants si $P(C\cap G) = P(C)\times P(G)$.

$P(C\cap G)=\np{0,0989}\qquad P(C) \times P(G)= \np{0,23}\times  \np{0,4808}\approx \np{0,1106}$.

Les résultats étant distincts, les évènements $C$ et $G$ ne sont pas indépendants.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\medskip
 {\footnotesize
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est correcte.\\ 
Une réponse juste rapporte un point. L'absence de réponse ou une réponse fausse 
ne rapporte ni n'enlève de point.}

\medskip
 
Relevez sur votre copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

\medskip
 
On note $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~5] dont la courbe représentative $(C)$ est donnée en annexe. Le point A(4~;~0) appartient à la courbe $(C)$ et la droite $(d)$ est la tangente à la courbe $(C)$ au point A. 
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Le minimum de la fonction $f$ est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt] {0}&\textbf{b.~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt] {2,5}&\ovalbox{\textbf{c.~} $- 4,5$}
\end{tabularx}
\medskip
 
\item $f'(4) =  $

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{0}&\ovalbox{\textbf{b.~} 6}& \textbf{c.~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ $\frac{1}{6}$}
\end{tabularx}

{\footnotesize {Nous lisons le coefficient directeur de la droite $(d)$}}
\medskip

\item Pour tout réel $x$ de l'intervalle [1~;~2], 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\ovalbox{\textbf{a.~} $f'(x) \leqslant 0$}&\textbf{b.~}  
\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$f'(x) = 0$}& \textbf{c.~}  \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$f'(x) \geqslant 0$}
\end{tabularx}

{\footnotesize{Sur cet intervalle, la fonction est décroisssante, par conséquent la dérivée est négative}}
\medskip 

\item L'équation $f(x) = 6$
 
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt] {n'a pas de solution}&\textbf{b.~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt] {a trois solutions}&\ovalbox{\textbf{c.~} a deux solutions}
\end{tabularx}
{\footnotesize{La droite  d'équation $y=6$ coupe la parabole en deux points.}}
\medskip 

\item La fonction $f$ a pour expression: 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\ovalbox{\textbf{a.~}  $f(x) = 2x^2 - 10x + 8 $}&\textbf{b.~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$f(x)=2x^2 - 10x$}&\textbf{c.~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$f(x) = 2x + 8$}
\end{tabularx}
{\footnotesize {la réponse  ne peut  être  ni \textbf{b.~} car la courbe ne passe pas par l'origine ni \textbf{c.~} car ce n'est pas la courbe  d'une fonction affine.}} 

\medskip  
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 8 points}

\medskip
 
\textbf{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.}
{\footnotesize
\medskip
 
On s'intéresse à l'évolution de la production électrique par les éoliennes en France. Le tableau ci-dessous présente les données entre 2006 et 2011.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.95cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année &2006 &2007 &2008 &2009 &2010 &2011\\ \hline 
Rang de l'année $x_{i}$& 0 &1 &2 &3 &4 &5\\ \hline 
Production en Térawatt-heure (TWh) $y_{i}$&2,3 &4,0 &5,6 &7,9 &9,7 &11,9\\ \hline
\multicolumn{7}{r}{\footnotesize\emph{Source: Réseau de transport d'électricité (RTE), Bilan électrique 2011 }} 
\end{tabularx}
\end{center} 

\textbf{Partie A}

\medskip
 
\textbf{Dans cette partie, les résultats seront donnés en pourcentage et arrondis à \boldmath$0,1\,\%$\unboldmath près.}
}
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculons le taux d'évolution global de la production électrique éolienne en France entre 2009 et 2011. 

Le taux d'évolution $t$ est défini par $t=\dfrac{\text{{\footnotesize valeur finale}}-\text{\footnotesize valeur initiale}}{\text{{\footnotesize valeur initiale}}}$

$T=\dfrac{\np{11,9}-\np{7,9}}{\np{7,9}}\approx \np{0,506329}$

Le taux d'évolution global entre 2009 et 2011 est d'environ $\np{50,6}\,\%$.

\item Calculons le taux d'évolution annuel moyen de la production électrique éolienne en France entre 2009 et 2011. 

Soient $T$ le taux d'évolution global et $t_m$ le taux d'évolution moyen. Le coefficient multiplicateur global est $1 + T$ d'une part  et $(1+t_m)^2$ d'autre part car la production électrique éolienne  a, entre 2009 et 2011,  subi 2 évolutions d'où 
$t_m = (1 + T)^{{\scriptscriptstyle\frac{1}{2}}} - 1,\qquad t_m= (\np{1,506})^{{\scriptscriptstyle\frac{1}{2}}}-1\approx \np{0,227}$.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item   Le nuage des points de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ est représenté dans un repère orthogonal du plan page \pageref{droite}. 
%On prendra comme unités graphiques, 1 cm pour une année pour les abscisses et 0,5~cm pour un Térawatt-heure pour les ordonnées (on graduera l'axe des ordonnées jusqu'à $30$). 
\item Déterminons les coordonnées du point moyen G. Les coordonnées de G sont ($\overline{x}~;~\overline{y}$)
\[
\overline{x}_{\text{G}}=\frac{0+1+2+3+4+5}{6}=\np{2,5} \qquad \overline{y}_{\text{G}}=\frac{\np{2.3}+\np{4,0}+\np{5,6}+\np{7,9}+\np{9,7}+\np{11,9}}{6}= \np{6,9}\]

G $\left(\np{2,5}~;~\np{6,9} \right)$ est placé  sur le graphique.
\item À l'aide de la calculatrice,  une équation réduite de la droite $(d)$ d'ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés est :

$y=\np{1,926}x+\np{2,106}$. 

 Les coefficients étant arrondis à $0,001$ près. 
\medskip

\hspace{-0,5cm}Pour la suite de cet exercice, on utilisera comme équation réduite de la droite (d) : $y = 1,92x + 2,1$.

\medskip

\item  La droite $(d)$ est tracée page \pageref{droite} dans le repère orthogonal dans lequel est représenté le nuage de points. 
\item Montrons que le point G appartient à la droite $(d)$. Pour ce faire, montrons que l'ordonnée du point de la droite d'abscisse \np{2,5} est égale à l'ordonnée de G.

$y=\np{1.92}\times \np{2,5}+ \np{2,1}=\np{6,9}$ . Par conséquent, G appartient à la droite $(d)$.
\item Selon les projections du Grenelle de l'environnement, le parc éolien français devrait produire $55$~TWh en 2020. On suppose que l'évolution de la production électrique par les éoliennes en France se poursuit selon le modèle donné par la droite d'ajustement $(d)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminons graphiquement une estimation de la production éolienne française en 2020. En 2020, le rang de l'année  est $14$. Lisons l'ordonnée du point d'abscisse $14$.
		  Nous lisons, avec la précision du graphique, $29$.
%On laissera apparents tous les tracés utiles à la lecture graphique. 
		\item Déterminons l'ordonnée du point d'abscisse $14$ appartenant à la droite. $y=\np{1,92}\times 14 + \np{2.1}=\np{28,98}$.
		\item Selon cette estimation, les objectifs fixés lors du Grenelle de l'environnement ne seront pas  atteints car 29 est strictement inférieur à 55.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm,arrowscale=2.5}
\begin{pspicture}(-1,-5)(15.5,35)
\psaxes{->}(0,0)(-0.5,-0.5)(15.5,31)
\multido{\n=0+0.5}{31}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,30.05)}
\multido{\n=0+1}{31}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(15,\n)}
\psdots[dotstyle=SolidSquare,dotscale=1.2,dotangle=45](0,2.3)(1,4.0)(2,5.6)(3,7.9)(4,9.7)(5,11.9)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=0.7pt,plotpoints=800]{0}{14.5}{x 1.92  mul 2.1 add}
\psdot[dotstyle=square,fillcolor=red,dotscale =1.4,dotangle=45](2.5,6.9)
\def\Func{x 1.92 mul 2.1 add}
\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=green,linestyle=dashed,ArrowInside=-<]{<-}(!0 /x 14 def \Func)(!14 /x 14 def \Func)(14,0)
\rput(0.7,31.5){\footnotesize Production en TWh}
\rput(15.2,0.8){\footnotesize rang de l'année}
\uput[u](2.5,6.9){$G$}\uput[u](11,22){$(d)$}
\end{pspicture}
\end{center}
\label{droite}
\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE \:\: Exercice 2}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=1.5cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-0.75,-5.5)(7,8.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=8,gridcolor=orange](-1,-6)(7,9)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-0.75,-5.5)(6.95,8.5)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{5}{x dup mul 2 mul 10 x mul sub 8 add}
\psplot{3}{6}{6 x mul 24 sub}
\uput[r](5.2,7.5){$(d)$}
\uput[r](0,7.5){$(C)$}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}