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%Tapuscrit : Denis Vergès
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{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
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{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small C.G.R.H.}  
\lfoot{\small{Métropole\hspace{1em}correction}}
\rfoot{\small{12 septembre 2013}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STG C.G.R.H  Métropole~ \decofourright\\12 septembre 2013 \hspace{1em}correction}}
\end{center}
    
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}   
{\footnotesize
\medskip
 
Une société de ventes par correspondance effectue une campagne de publicité auprès de tous ses clients.

40\,\% d'entre eux reçoivent la publicité par e-mail, les autres par lettre postale. 

Parmi ceux ayant reçu la publicité par e-mail, 12\,\% ont effectué une commande.
 
Parmi ceux ayant reçu la publicité par lettre postale, 32\,\% ont effectué une commande.
 
On choisit au hasard un client de la société. Chaque client a la même probabilité d'être choisi.

On considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $E$ : \og le client a reçu la publicité par e-mail \fg{} ; 
\item[$\bullet~~$] $L$ : \og le client a reçu la publicité par lettre postale \fg{} ; 
\item[$\bullet~~$] $C$ : \og le client a effectué une commande \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
}
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Complétons l'arbre de probabilité, ci-dessous, en indiquant les évènements et les probabilités manquants.% et signalés par \og \ldots \fg. 

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesep=5pt,labelsep=0.1pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$E$}\taput{\np{0,4}}}
		{
\TR{$C$}\taput{\np{0,12}}
\TR{$\overline{C}$}\tbput{\np{0,88}}
 		}
	\pstree{\TR{$L$}\tbput{\np{0,6}}}
		{
\TR{$C$}\taput{\np{0,32}}
 \TR{$\overline{C}$}\tbput{\np{0,68}}
 		}
}
\end{center}
 
%\textbf{Dans les questions suivantes les résultats des calculs seront arrondis au centième.}

\medskip
 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  $E \cap C$ est l'évènement : \og le client choisi a reçu la publicité par e-mail et a effectué une commande\fg.

 Calculons sa probabilité. $p(E\cap C)= p(E)\times p_{E}(C)=\np{0,4}\times \np{0,12}=\np{0,048}\approx\np{0,05}$.
		\item La probabilité que le client choisi ait reçu la publicité par lettre postale et ait effectué une commande est notée $p(L\cap C)$. 
		
		$p(L\cap C) = p(L)\times p_{L}(C)=\np{0,6}\times \np{0,32}=\np{0,192}\approx\np{0,19}$.
		\item Calculons la probabilité $p(C)$ que le client ait fait une commande. 
		
		$p(C) = p(E\cap C) + p(L\cap C)= \np{0,048} + \np{0,192} = \np{0,24}$.
		
		\item {\footnotesize On cherche à évaluer l'efficacité de la campagne publicitaire du point de vue de la prise de commande. Le service communication de la société considère qu'une campagne de publicité est :
		 
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]inefficace lorsque moins de 5\,\% des clients effectuent une commande, 
\item[$\bullet~~$]très efficace lorsque plus de 20\,\% des clients effectuent une commande, 
\item[$\bullet~~$]assez efficace dans les autres cas.
\end{itemize}}
\setlength\parindent{0mm}
 Cette campagne publicitaire est très efficace puisqu'environ 24\,\% des clients ayant reçu de la publicité, ont passé commande.
	\end{enumerate} 
\item  Déterminons le mode de publicité le plus efficace. Calculons la probabilité que le client ayant passé commande l'ait fait à la suite d'un courrier postal. Calculons $p_{C}(L)$. 
$p_{C}(L)=\dfrac{p(L\cap C)}{p(C)}= \dfrac{\np{0.19}}{\np{0.24}}\approx\np{0.79}$.

 Le mode de publicité par lettre postale est par conséquent le plus efficace . 
 
On choisit au hasard un client ayant effectué une commande. La probabilité qu'il ait reçu la publicité par e-mail est notée $p_{C}(E)$.

$p_{C}(E)=\dfrac{p(E\cap C)}{p(C)}= \dfrac{\np{0.05}}{\np{0.24}}\approx\np{0.21}$.

\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 8 points}   

\medskip
{\footnotesize
Il y a à Villeneuve une unique entreprise qui pose des volets roulants. Elle veut estimer le nombre de ses clients potentiels dans les années à venir.

\medskip
 
\textbf{Partie A - Première étude}

\medskip
 
On suppose que, en moyenne chaque année, 3\,\% des habitants de Villeneuve posent de nouveaux volets et sont donc des clients potentiels.
 
La feuille de calcul ci-dessous, extraite d'un tableur, permet de calculer le nombre de clients potentiels à compter de 2013. Le format des cellules a été choisi pour que tous les nombres soient arrondis à l'unité. 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A &B &C\\ \hline 
1 &Année &Estimation du nombre d'habitants&Nombre de clients potentiels\\ \hline 
2 &2013 &\np{22400}	&672\\ \hline 
3 &2014 &\np{23968}	&\\ \hline 
4 &2015 &\np{25646}	&\\ \hline 
5 &2016 &\np{27441}	&\\ \hline 
6 &2017 &\np{29362}	&\\ \hline 
7 &2018 &\np{31417}	&\\ \hline 
8 &		& Total		&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 
}
\begin{enumerate}
\item Une formule que l'on peut saisir en C2 et recopier vers le bas pour remplir la plage C3 : C7 est =\$B2*3/100
\item Une formule que l'on peut saisir en C8 pour calculer le nombre de clients potentiels pour la période 2013/2018 est : =somme(\$C\$2:\$C\$7)
\end{enumerate}
{\footnotesize \emph{les \$ ne sont pas indispensables.}}
\medskip
 
\textbf{Partie B - Deuxième étude}

\medskip
 {\footnotesize
Le tableau ci-dessous donne les résultats des années précédentes du point de vente de l'entreprise à Villeneuve.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année& Rang $x_{i}$& Nombre de clients $y_{i}$\\ \hline 
2008 &1 &446\\ \hline 
2009 &2 &470 \\ \hline
2010 &3 &523\\ \hline 
2011 &4 &571\\ \hline 
2012 &5 &605\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 }
\begin{enumerate}
\item Représentons graphiquement  le nuage de points de la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$.

 \psset{xunit=2cm,yunit=0.02cm}
\begin{pspicture}(7,750)
\psaxes[Ox=0,Oy=0,Dx=1,Dy=50]{->}(0,0)(-0.25,-30)(8,725)
 \multido{\n=0+25}{29}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(8,\n)}
 \multido{\n=0+1}{9}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,700)}
 \psdots[dotstyle=SolidSquare,dotscale=1.2,dotangle=45](1,446)(2,470)(3,523)(4,571)(5,605)
\psdot[dotstyle=square,fillcolor=red,dotscale =1.94,dotangle=45](3,523)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=0.7pt,plotpoints=800]{0}{7}{x 41.9 mul 397.3 add}
\rput(8,13){\footnotesize rang de l'année}\rput(0,735){\footnotesize Nombre de clients}
\uput[u] (3,530){G}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}

%On prendra pour unités: 2 cm par an en abscisse et 1~cm pour 50~clients en ordonnée. 

\item  Ce nuage de points permet d'envisager un ajustement affine car les points sont presque alignés. 
\item À l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés est $y=\np{41.9}x+\np{397.3}$. %On arrondira les coefficients à $0,1$ près. 
\item Estimons le nombre de clients en 2018. Le rang  de l'année 2018 est 11, remplaçons alors $x$ par 11 dans l'équation de la droite.
$y=\np{41.9}\times 11+\np{397.3}=\np{858.2}$.

Le nombre de clients potentiels en 2018 serait d'environ 858 personnes.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie C - Comparaison des études}

\medskip
 
% \emph{Dans cette question,  toute trace de recherche~même incomplète ou non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.}

% \medskip
 
{\footnotesize On suppose que le nombre d'habitants de Villeneuve augmentera en moyenne chaque année de 7\,\% à partir de 2018. En application de quel modèle (Partie A ou Partie B) peut-on prévoir le plus grand nombre de clients potentiels pour l'entreprise en 2019 ? }

  En 2019,selon le modèle A nous pouvons estimer le nombre d'habitants ayant l'intention de poser des nouveaux volets à  $\np{31417}\times \np{1,07}\times \np{0,03}\approx \np{1008}$.
  
  Selon le modèle B, nous aurions 900 personnes en effet $y=\np{41.9}\times 12 +\np{397,3}\approx 900$.
  
  Par conséquent, le modèle qui prévoit le plus grand nombre de clients potentiels pour l'entreprise en 2019 est le modèle de la partie A.
\vspace{0,35cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}   

\medskip
 {\footnotesize
\textbf{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).}

\smallskip
 
\emph{Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule réponse est correcte.\\ 
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Chaque réponse correcte rapporte $1$ point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n'apporte ni ne retire aucun point.} 

\smallskip

La courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous est la courbe représentative, tracée sur un écran, d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $[-3~;~5]$. 

La fonction dérivée de $f$ est notée $f'$. Le point A$(2~;~-1)$ est un point de $\mathcal{C}$.
 
T est la tangente à $\mathcal{C}$ au point A. Elle coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse 3.
 
La dérivée $f'$ s'annule en 0 et $\frac{8}{3}$. 
}
\begin{center}\scalebox{0.9}{
\def\pshlabel#1{\scriptsize $#1$}
\def\psvlabel#1{\scriptsize $#1$}
\psset{xunit=1.4cm,yunit=0.4cm,labelsep=0.02cm}
\begin{pspicture*}(-4,-10)(6,13)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](-4,-10)(6,13)
\psdots(2,-1)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3.9,-9.9)(6,13)
\uput[dr](2,-1){A}
\uput[ur](-2.9,12){$\mathcal{C}$}\uput[dr](0,0){O}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{-3}{5}{x dup mul x 3 exp 4 div sub  3 sub}
\psplot{-3}{5}{x 3 sub} \uput[ul](4,1){T}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=blue,linewidth=0.5pt]{<->}(-3,-6)(-2,-6)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=blue,linewidth=0.5pt]{<->}(-2,-6)(-2,-5)
\uput[d](-2.5,-6){1}\uput[ur](-2,-5.7){\footnotesize $m=1$}
\psline[linecolor=red,linewidth=0.95pt]{-}(-3,-2)(5,-2)
\psdots[dotstyle=Add,dotscale=2.5,dotangle=45,linecolor=red](3.709275,-2)(1.193937,-2)(-0.903212,-2)
\psline[linecolor=cyan,linewidth=0.5pt]{<->}(-1,-3)(1,-3)
\psline[linecolor=cyan,linewidth=0.5pt]{<->}(1.5,-0.63)(3.5,-0.63)
\psset{arrowscale=2}
\psline[linecolor=green,linewidth=0.5pt]{<->}(-3,-8)(0,-8)
\psline[linecolor=green,linewidth=0.5pt]{<->}(2.66667,-8)(5,-8)
\psline[linecolor=green,linewidth=0.5pt]{<->}(0,-8)(2.66667,-8)
\uput[d](-1,-8){\footnotesize\textcolor{green}{ $f'(x)<0$}}\uput[d](1,-8){\footnotesize \textcolor{green}{$f'(x)>0$}}\uput[d](4,-8){\footnotesize \textcolor{green}{$f'(x)<0$}}
\psline[linecolor=blue,linewidth=0.5pt]{-}(-1.5,0)(-1.5,5)
\psline[linecolor=blue,linewidth=0.5pt]{-}(5,0)(5,5)
\psline[linecolor=blue,linewidth=0.5pt]{<->}(-1.5,5)(5,5)
\uput[d](2.3,5){\footnotesize \textcolor{blue}{$f(x)\leqslant 0$}}
\end{pspicture*}}\end{center}


\begin{center}\footnotesize{
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.8cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{Question} &\textbf{Réponse a} &\textbf{Réponse b} &\textbf{Réponse c}\\ \hline 
1. Quelle est la valeur de $f'(2)$ ?& \ovalbox{1 }&\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$- 3$}& \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$- 1$}\\ \hline 
2. Combien l'équation $f(x) = -2$ a-t-elle de solution(s) ?&\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{une}& \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{zéro}& \ovalbox{trois}\\ \hline  
3. Que dire de $f'(- 2)$ ?& \ovalbox{$f'(- 2) < 0$ }&\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$f'(-2) > 0$ }&\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$f'(-2) = 0$}\\ \hline  
4. Quelle proposition sur le signe de $f'(x)$ est vraie ? &\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{Pour tout $x, \: f' < 0$}& \ovalbox{\begin{minipage}{2.7cm} $f'$ change de signe\\ sur [0~;~5]\end{minipage}}&\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$f' (x) \geqslant 0$  sur $[-3~;~-2]$}\\ \hline  
5. Sur lequel de ces intervalles ou réunion d'intervalles, $f$ est-elle négative ?& \ovalbox{$\left[\frac{- 3}{2}~;~5\right]$}& \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$[-3~;~0]$}& \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$[-3~;~0] \cup \left[\frac{8}{3}~;~5\right]$}\\ \hline 
6. Combien de tangente(s) horizontale(s) la courbe admet-elle ?&une& \ovalbox{deux}& aucune\\ \hline 
\end{tabularx}}
\end{center} 
\end{document}



