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%Tapuscrit : Vincent Tolleron
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%: commandes à mézigue
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\begin{center}
{\textbf{\Large\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Antilles-Guyane~\decofourright\\[4pt]  juin 2013}}
\end{center}

\cfoot{\textsc{19 juin 2013} --- Corrigé du baccalauréat S ---  Antilles--Guyane juin 2013}


%\vfill\hrule\vfill
%\large
\vspace{1cm}

%: Ex 1 5 points, commun
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La bonne réponse est \fbox{b}.

Par l'absurde: si $(IJ)$ et $(EC)$ étaient coplanaires, alors, le point $J$ appartiendrait au plan $(ECI)$ c'est-à-dire au plan $(ECA)$, ce qui est faux.
\item La bonne réponse est \fbox{c}.

Dans le repère mentionné dans le sujet, on a $\vect{AF}(1~;~0~;~1)$ et $\vect{BG}(0~;~1~;~1)$, d'où 

$\vect{AF}\cdot\vect{BG}=1\times0+0\times1+1\times1 = 1$.
\item La bonne réponse est \fbox{d}. On le vérifie en injectant les coordonnées des points $A$, $F$ et $H$ dans l'équation $x + y - z = 0$.
\item La bonne réponse est \fbox{b}.

Un vecteur normal de $\mathcal{P}$ est $\vect{n}(1~;~1~;~-1)$, or $\vect{EC}(1~;~1~;~-1)$. Par conséquent $\vect{EC}$ est normal à $\mathcal{P}$, et comme $\vect{EL}$ et $\vect{EC}$ sont colinéaires, $\vect{EL}$ est de ce fait aussi normal à $\mathcal{P}$.
\item La bonne réponse est \fbox{d}.

On a $\vect{EC}(1~;~1~;~-1)$ et $E(0~;~0~;~1)$ ; une représentation paramétrique de la droite $(EC)$ est donc $\left\{\begin{array}{rcl}x&=&t\\y&=&t~~(t\in\R)\\z&=&1-t\end{array}\right.$. Le point $L$ a donc pour coordonnées $L(t~;~t~;~1-t)$, et comme $L\in\mathcal{P}$ alors : $t+t-(1-t)=0$
d'où l'on tire $t = \frac13$, c'est-à-dire $L\left(\frac13~;~\frac13~;~\frac23\right)$, d'où le résultat.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A}

\smallskip

On a:
\begin{eqnarray*}
f\in\left[p-\frac{1}{\sqrt{n}}~;~p+\frac{1}{\sqrt{n}}\right] & \Longleftrightarrow & p-\frac{1}{\sqrt{n}}\leqslant f\leqslant p+\frac{1}{\sqrt{n}}\\
& \Longleftrightarrow & -f-\frac{1}{\sqrt{n}}\leqslant -p\leqslant -f+\frac{1}{\sqrt{n}}\\
& \Longleftrightarrow & f-\frac{1}{\sqrt{n}}\leqslant p\leqslant f+\frac{1}{\sqrt{n}}\\
& \Longleftrightarrow & p\in\left[f-\frac{1}{\sqrt{n}};f+\frac{1}{\sqrt{n}}\right]
\end{eqnarray*}
On a donc bien:
\[
P\left(f\in\left[p-\frac{1}{\sqrt{n}}~;~p+\frac{1}{\sqrt{n}}\right]\right)
=
P\left(p\in\left[f-\frac{1}{\sqrt{n}}~;f+\frac{1}{\sqrt{n}}\right]\right)
\geqslant \np{0,95}
\]

\smallskip

\textbf{Partie B}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Arbre pondéré illustrant la situation:
\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=6mm}
\begin{pspicture}(0,0)(7,5)
\uput[0](0,3){\rnode{o}{}}
\uput[0](2,2){\rnode{rbarre}{$\overline{R}$}}
\uput[0](2,4){\rnode{r}{$R$}}
\uput[0](4,1){\rnode{c}{$C$}}
\uput[0](4,2){\rnode{b}{$B$}}
\uput[0](4,3){\rnode{a}{$A$}}
\uput[0](4,4){\rnode{aa}{$A$}}
\ncline[nodesepB=2pt]{o}{r}\naput{$r$}
\ncline[nodesepB=2pt]{o}{rbarre}\nbput{$1-r$}
\ncline[nodesep=2pt]{r}{aa}\naput{\small 1}
\ncline[nodesep=2pt]{rbarre}{a}\naput{\small $1/3$}
\ncline[nodesep=2pt]{rbarre}{c}\nbput{\small $1/3$}
\ncline[nodesep=2pt]{rbarre}{b}\ncput*{\small $1/3$}
\end{pspicture}
\end{center}
\item On a, d'après l'arbre précédent:
\[
P(A)=P(A\cap R) + P\left(A\cap\overline{R}\right) = r + \frac13(1-r)=\frac13(3r+1-r) = \frac13(1+2r).
\]
\item On a: $P_A(R) = \dfrac{P(A\cap R)}{P(A)} = \dfrac{r}{\frac13(1+2r)} = \dfrac{3r}{1+2r}$.
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item L'expérience consiste en une  répétition de 400 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, où la probabilité de \og succès\fg{} (c'est-à-dire que l'étudiant ait la bonne réponse) est égale à $P(A)$. La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=400$ et 

$p=P(A)=\frac13(1+2r)$.

\item On a $n=400$ et $f=\frac{240}{400}=\np{0,6}$, donc $n\geqslant 30$, $nf\geqslant 5$ et $n(1-f)\geqslant 5$, un intervalle de confiance au seuil de 95~\% de l'estimation de $p$ est donc:
\[
\left[f-\frac{1}{\sqrt{n}}~;~f+\frac{1}{\sqrt{n}}\right]=
[\np{0,55}~;~\np{0,65}].
\]
Ainsi, avec une probabilité supérieure à 95~\%:
\[
\np{0,55}\leqslant p\leqslant\np{0,65}
\]
or $p = \frac13(1+2r)$, donc:
\[
\np{0,55}\leqslant\frac13(1+2r)\leqslant\np{0,65}
\]
d'où:
\[
\np{1,65}\leqslant 1+2r\leqslant\np{1,95}
\]
puis:
\[
\np{0,325}\leqslant r\leqslant\np{0,475}
\]
Un intervalle de confiance au seuil de 95~\% de $r$ est donc: $[\np{0,325}~;~\np{0,475}]$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Ici $r=\np{0,4}$, donc $p=\frac13(1+2r)=\np{0,6}$. 
La loi binomiale de paramètres $n = 400$ et $p=\np{0,6}$ a pour espérance $np=240$ et pour variance $V=np(1-p) = 96$. On peut alors l'approcher par la loi normale de paramètres $\mu=240$ et $\sigma=\sqrt{96}$.
		\item Par lecture de la table fournie (ou utilisation de la calculatrice):
\[
P(X\leqslant 250) = \np{0,846}.
\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item $\limi{x}{+ \infty}(x+1) = +\infty$ et $\limi{x}{+\infty}\e^x = +\infty$, donc, par opérations $\limi{x}{+\infty}f(x) = +\infty$.

Pour tout $x\in\R$, $f(x) = x\e^x+\e^x$. Or $\limi{x}{-\infty}x\e^x = 0$ (croissances comparées) et 

$\limi{x}{-\infty}\e^x=0$, donc, par opérations  $\limi{x}{-\infty}f(x) = 0$.
\item Pour tout réel $x$,$ f'(x) = 1\e^x+(x+1)\e^x=(x+2)\e^x$.
\item Pour tout réel $x$, $\e^x > 0$, donc $f'(x)$ a le même signe que $x+2$. On en déduit le tableau de variations suivant:
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|ccccc|}
\hline
$x$ & $- \infty$ & \qquad\qquad & $- 2$ & \qquad\qquad & $+ \infty$\\
\hline
$f'(x)$&&$-$&0&$+$&\\
\hline
&\rnode{a}{$0$}& & & &\rnode{c}{$+\infty$}\\
$f$& & & & & \\
& & &\rnode{b}{$-1/\e^2$}& & \\
\hline
\end{tabular}
\ncline[nodesep=3pt]{->}{a}{b}
\ncline[nodesep=3pt]{->}{b}{c}
\end{center}
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie B}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item
 On a, pour tout réel $x$:
 \begin{eqnarray*}
 g_m(x)=0 &\Longleftrightarrow&x + 1 - m\text{e}^{- x} = 0\\
 &\Longleftrightarrow& x+1=m\e^{- x}\\
 &\Longleftrightarrow& (x+1)\e^x=m\\
 &\Longleftrightarrow& f(x)=m.
 \end{eqnarray*}

		\item D'après l'équivalence et le tableau de variations précédent :
\begin{itemize}
\item si $m<-\frac{1}{\e^2}$: l'équation $g_m(x)=0$ ne possède aucune solution, donc $\mathcal{C}_m$ ne coupe pas l'axe des abscisses;
\item si $m=-\frac{1}{\e^2}$: l'équation $g_m(x)=0$ possède une solution, donc $\mathcal{C}_m$ coupe l'axe des abscisses en un point;
\item si $-\frac{1}{\e^2}< m < 0$ : l'équation $g_m(x) = 0$ possède deux solutions, donc $\mathcal{C}_m$ coupe l'axe des abscisses en deux points;
\item si $m \geqslant 0$ : l'équation $g_m(x) = 0$ possède une solution, donc $\mathcal{C}_m$ coupe l'axe des abscisses en un point.
\end{itemize}
	\end{enumerate}
\item 
\begin{itemize}
\item La courbe 1 ne coupe pas l'axe des abscisses, donc l'équation $g_m(x) = 0$ n'a pas de solution et cela entraîne que $m < -\frac{1}{\e^2}$. La seule possibilité est donc que $m = - \e$.
\item La courbe 2 coupe l'axe des abscisses une seule fois, donc $m = -\frac{1}{\e^2}$ ou $m = 0$. La seule possibilité est donc $m = 0$.
\item Par élimination, la courbe 3 correspond à $m = \e$.
\end{itemize}
\item Pour tout réel $x$, $g_m(x)-(x+1)=-m\e^x$ qui est du signe de $-m$; on en déduit:
\begin{itemize}
\item si $m>0$, alors pour tout réel $x$, $g_m(x)-(x+1)<0$, donc $\mathcal{C}_m$ est en dessous de $\mathcal{D}$;
\item si $m<0$, alors pour tout réel $x$, $g_m(x)-(x+1)<0$, donc $\mathcal{C}_m$ est au dessus de $\mathcal{D}$;
\item si $m=0$, alors pour tout réel $x$, $g_m(x)-(x+1)=0
$, donc $\mathcal{C}_m$ et  $\mathcal{D}$ sont confondues.
\end{itemize}
\item Le domaine $D_2$ hachuré:
\begin{enumerate}
\item~
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.82,-2.51)(4.23,5.85)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=1pt](0,0)(-1.82,-2.51)(4.23,5.85)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,0)(1,1)
\pscustom[linewidth=0pt,hatchcolor=black,fillstyle=hlines,hatchangle=30.0,hatchsep=0.08]{\psplot{0}{2}{x+1-2.718281828^(-x+1)}\lineto(2,3.37)\psplot{2}{0}{x+1+2.718281828^(-x+1)}\lineto(0,-1.72)\closepath}
\psplot[plotpoints=200]{-1.8209836065573772}{4.227213114754098}{x+1+2.718281828^(-x+1)}
\psplot{-1.82}{4.23}{(--1--1*x)/1}
\psplot[plotpoints=200]{-1.8209836065573772}{4.227213114754098}{x+1-2.718281828^(-x+1)}
\rput[tl](-1.3,5.74){$\mathcal{C}_{-\e}$}
\rput[tl](-1.75,-0.73){$\mathcal{C}_0$}
\rput[tl](0.2,-1.26){$\mathcal{C}_{\e}$}
\psline(2,-2.51)(2,5.85)
\rput[tl](2.13,-1.13){$\Delta_2$}
\begin{scriptsize}
\rput[bl](1,2){$b = - 4,7$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item Pour tout $a\geqslant 0$, la courbe $\mathcal{C}_{-\e}$ est au dessus de $\mathcal{C}_{\e}$, par conséquent l'aire $\mathcal{A}(a)$ est donnée par:
\begin{eqnarray*}
\mathcal{A}(a)&=&\int_0^af_{-\e}(x)-f_{\e}(x)\text{d}x\\
&=&\int_0^a\left((x+1)+\e\e^{-x}\right)-\left((x+1)-\e\e^{-x}\right)\text{d}x\\
&=&\int_0^a2\e\e^{-x}\text{d}x\\
&=&2\e\left[-\e^{-x}\right]_0^{a}\\
&=&2\e\left(-\e^{-a}+1\right)\\
&=&2\e-2\e^{1-a}.
\end{eqnarray*}
On a de plus $\limi{a}{+ \infty}\e^{1-a}=0$, par conséquent: $\limi{a}{+ \infty}\mathcal{A}(a)=2\e$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On a $u_1=\dfrac{u_0+v_0}{2}=\dfrac12$ et $v_1=\dfrac{u_0+2v_0}{3}=\dfrac23$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Pour $N=2$, le tableau de l'état des variables dans l'algorithme est:
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
$k$ & $w$ & $u$ & $v$\\
\hline
1 & 0 & 0,5 & 0,667\\
\hline
2 & 1/2 & 0,583 & 0,611 \\
\hline
\end{tabular}
(valeurs approchées à $10^{-3}$ près)
\end{center}
		\item Plus généralement, pour un entier $N$ saisi par l'utilisateur, l'algorithme affichera $u_N$ et $v_N$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $n \in \N$, alors: 
$A X_n=\begin{pmatrix}
\frac12&\frac12\\\frac13&\frac23
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
u_n\\v_n
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\frac{u_n+v_n}{2}\\\frac{u_n+2v_n}{3}
\end{pmatrix} = X_{n+1}$.
		\item Démontrons par récurrence que, pour tout $n\in\N$, $X_n=A^nX_0$.
\begin{itemize}
\item Pour $n=0$, on a $A^0X_0=I_2X_0=X_0$ (ou $I_2$ désigne la matrice identité d'ordre 2), donc la propriété est vraie pour $n=0$
\item Supposons que la propriété soit vraie pour tout entier naturel $n$: 

$X_n = A^nX_0$, alors : 
$AX_n = AA^nX_0 = A^{n+1}X_0$, c'est-à-dire $X_{n+1} = A^{n+1}X_0$ et la propriété est donc héréditaire.
\item La propriété est vraie au rang $0$, et elle est héréditaire à partir de tout rang, donc d'après le principe de récurrence,   pour tout entier naturel $n$: $X_{n} = A^nX_0$.
\end{itemize}
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On a:
\[
\begin{pmatrix}
\frac45&\frac65\\-\frac65&\frac65
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\frac12&-\frac12\\\frac12&\frac13
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1&0\\0&1
\end{pmatrix}=I_2
\]
en d'autres termes la matrice $P$ est inversible et son inverse est $P'$.

Démontrons par récurrence que, pour tout $n\in\N$, $A^n=P'B^nP$.
\begin{itemize}
		\item  $A^0=I_2$, or $P'B^0P=P'I_2P=P'P=I_2$, la propriété est donc vraie pour $n=0$.
		\item Supposons que, pour tout entier naturel $n$, $A^n = P'B^nP$, alors 
\[
A^{n+1}=AA^n=P'BPP'B^nP=P'BI_2B^nP=P'BB^nP=P'B^{n+1}P
\]
et la propriété est donc héréditaire.
\item La propriété est vraie au rang $0$, et elle est héréditaire à partir de tout rang, donc d'après le principe de récurrence,   pour tout entier naturel $n$: $A^n = P'B^nP$.
\end{itemize}
		\item On a, pour tout $n\in\N$:
\[
A^n=\begin{pmatrix}
\frac12&-\frac12\\\frac12&\frac13
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1&0\\0&\left(\frac16\right)^n
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\frac45&\frac65\\-\frac65&\frac65
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\frac12&-\frac12\left(\frac16\right)^n\\\frac12&\frac13\left(\frac16\right)^n
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\frac45&\frac65\\-\frac65&\frac65
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\frac25-\frac35\left(\frac16\right)^n & \frac35-\frac35\left(\frac16\right)^n\\
\frac25-\frac25\left(\frac16\right)^n & \frac35+\frac25\left(\frac16\right)^n
\end{pmatrix}.
\]
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item En multipliant la matrice $A^n$ précédente à droite par le vecteur colonne $X_0=\begin{pmatrix}
0\\1
\end{pmatrix}$, on obtient $X_n=A^nX_0=\begin{pmatrix}
\frac35-\frac35\left(\frac16\right)^n\\ \frac35+\frac25\left(\frac16\right)^n
\end{pmatrix}$. D'où l'on tire 

$u_n=\dfrac35 - \dfrac35\left(d\frac16\right)^n$ et $v_n=\dfrac35+\dfrac25\left(d\frac16\right)^n$.
		\item Comme $\limi{n}{+ \infty}\left(\frac16\right)^n = 0$ (car $- 1 < \frac16 < 1$), on obtient par opérations que les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ convergent toutes deux vers $\dfrac35$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On a $a_0=1$ et $b_0=1$.
\item $z_1 = \dfrac{z_0+\abs{z_0}}{3} = \dfrac{1+ \text{i} +\sqrt{2}}{3}=\dfrac{1+\sqrt{2}}{3}+\dfrac13\text{i}$. On a alors $a_1 = \dfrac{1 + \sqrt{2}}{3}$ et $b_1 = \dfrac13$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Pour $N = 2$, le tableau de l'état des variables dans l'algorithme est:
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
$K$ & $A$ & $B$\\
\hline
1 & \np{0,8047} & \np{0,3333}\\
\hline
2 & \np{0,5586} & \np{0,1111}\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
		\item Plus généralement, pour une valeur de $N$ saisie par l'utilisateur, l'algorithme affichera la valeur de $a_N$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie B}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item On a, pour tout $n\in\N$, $z_{n+1}= a_{n+1}+ \text{i}b_{n+1}$ et $z_{n+1}=\dfrac{a_n+ \text{i}b_n + \sqrt{a_n^2 + b_n^2}}{3}$, donc:
\[
a_{n+1}=\dfrac{a_n+\sqrt{a_n^2+b_n^2}}{3} \text{ et }b_{n+1}=\dfrac{b_n}{3}.
\]
\item La suite $\left(b_n\right)$ est géométrique de premier terme $b_0 = 1$ et de raison $\frac13$, par conséquent, pour tout $n\in\N$ : $b_n = \left(\frac13\right)^n$. Comme $- 1 < \frac13 < 1$, on en déduit que $(b_n)$ converge vers 0.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout 
$n\in\N$, 
$\abs{z_{n+1}}=\abs{\dfrac{z_n+\abs{z_n}}{3}}=\frac13\abs{z_n+\abs{z_n}}\leqslant \frac13\left(\abs{z_n}+\abs{z_n}\right)$, c'est-à-dire : 
$\abs{z_{n+1}}\leqslant \dfrac{2\abs{z_n}}{3}$.
		\item Montrons par récurrence que pour tout $n\in\N$, $u_n\leqslant\left(\dfrac23\right)^n\sqrt{2}$.
\begin{itemize}
\item On a $u_0=\abs{z_0}=\sqrt{2}$ et $\left(\dfrac23\right)^0\sqrt{2}=\sqrt{2}$, la propriété est donc vraie pour $n = 0$.
\item Supposons que, pour tout entier naturel $n$, $u_n\leqslant\left(\dfrac23\right)^n\sqrt{2}$, alors:

\[u_{n+1} = \abs{z_{n+1}}\leqslant \dfrac23u_n\leqslant\dfrac23\left(\dfrac23\right)^n\sqrt{2}=\left(\dfrac23\right)^{n+1}\sqrt{2},\]

la propriété est donc héréditaire.
\item La propriété est vraie au rang $0$, et elle est héréditaire à partir de tout rang, donc d'après le principe de récurrence,   pour tout entier naturel $n$ la propriété est vraie.
\end{itemize}
On a de plus, pour tout $n\in\N$,  $u_n = \abs{z_n}\geqslant 0$, donc: $0\leqslant u_n\leqslant \left(\dfrac23\right)^n\sqrt{2}$. Comme 

$\limi{n}{+ \infty}\left(\dfrac23\right)^n\sqrt{2}=0$, le théorème \og des gendarmes\fg{} permet de conclure que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers $0$.
		\item On a, pour tout $n\in\N$:

\[u_n=\abs{z_n}=\sqrt{a_n^2+b_n^2}\geqslant \sqrt{a_n^2}=\abs{a_n}.\]

Ainsi, pour pour tout $n\in\N$, $0\leqslant \abs{a_n}\leqslant u_n$. Comme $(u_n)$ converge vers 0, le théorème \og des gendarmes\fg{} permet à nouveau de conclure que $\left(\abs{a_n}\right)$ converge vers 0, donc que $\left(a_n\right)$ converge vers 0.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}