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%Tapuscrit : Vincent Tolleron
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{18 juin 2010}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
%\textbf{Durée : 4 heures}
%
%\vspace{0,5cm}

%: En-tête
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du Baccalauréat S Antilles-Guyane~\decofourright\\ 18 juin 2010}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

%: Ex 1 4 points, commun
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%\emph{
%Pour chacune des questions suivantes, \textbf{une ou deux des réponses} proposées sont correctes.\\
%Un point est attribué à chacune des questions. Toute réponse inexacte est pénalisée de \np{0,25} point.\\
%Il n'y a pas de pénalité en cas d'absence de réponse. Aucune justification n'est attendue.\\
%Si le total des points obtenus est négatif, le note attribuée à l'exercice est 0.
%}
%
%\smallskip

%\textbf{Recopier le numéro de la question et la ou les réponses correctes (deux au maximum).}
\emph{Les justifications n'étaient pas demandées, elles sont données ici à titre purement pédagogique.}

\begin{enumerate}
\item On tire au hasard une carte d'un jeu de 32 cartes.\\
Dans un tel jeu, il y a 8 piques et 4 as, dont l'as de pique, le nombre de cartes qui ne sont ni des as ni des piques est donc $32-(8+4-1)=21$. Comme il y a équiprobabilité sur les 32 cartes, la probabilité de n'obtenir ni un as, ni un pique, est donc égale à:
\[
\dfrac{21}{32}\qquad\text{Réponse \textbf{B}}
\]

\item On tire au hasard et simultanément deux cartes d'un jeu de 32 cartes.\\
Il y a cette fois-ci équiprobabilité sur les $\binom{32}{2}$ façons de tirer simultanément 2 cartes parmi 32.
La probabilité de n'obtenir ni un as, ni un pique, est donc égale à:
\[
\dfrac{\binom{21}{2}}{\binom{32}{2}}=\dfrac{\frac{21\times 20}{2\times 1}}{\frac{32\times 31}{2\times 1}}=\dfrac{105}{248}\qquad\text{Réponses \textbf{A} et \textbf{B}}
\]

\item La durée d'attente à un guichet de service, exprimée en heure, suit la loi uniforme sur l'intervalle $[0;1]$.\\
La probabilité que la durée d'attente d'une personne prise au hasard soit comprise entre 15~min (soit $\frac14$~h) et 20~min (soit $\frac13$~h) est, d'après le cours:
\[
\dfrac{\frac13-\frac14}{1-0}=\dfrac{1}{12}\qquad\text{Réponse \textbf{C}}
\]


\item On considère 10 appareils identiques, de même garantie, fonctionnant indépendamment les uns des autres. La probabilité pour chaque appareil de tomber en panne durant la période de garantie est égale à \np{0,15}. On est donc dans le cadre d'un schéma de Bernoulli.
Notons $X$ le nombre d'appareils tombant en panne durant la période de garantie. Alors $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(10~;~\np{0,15})$.\\
La probabilité pour qu'exactement 9 appareils soient en parfait état de marche à l'issue de la période de garantie est donc égale à celle qu'il y ait exactement 1 appareil en panne, soit:
\[
p(X=1)=\binom{10}{1}\np{0,15}^1\times\np{0,85}^9=10\times\np{0,15}\times\np{0,85}^9\simeq\np{0,35}\text{ à $10^{-2}$ près. }
\]
\begin{center}
Réponses \textbf{A} et \textbf{D}.
\end{center}



\end{enumerate}




\vspace{1cm}
%: Ex 2, 5 points, non-spé

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité }

\medskip


Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv d'unité 1~cm.
\begin{enumerate}
\item \textbf{Restitution organisée de connaissances}

\smallskip

%Pour $M?\Omega$, on rappelle que le point $M'$ est l'image du point $M$ par la rotation $r$ de centre $\Omega$ et d'angle de mesure $\theta$ si et seulement si:
%\[
%\left\{
%\begin{array}{rclc}
%\Omega M'&=&\Omega M & (1)\\
%\left(\vect{\Omega M}~;~\vect{\Omega M'}\right)&=&\theta \text{ à }2k\pi\text{ près }(k\in\Z) &(2)
%\end{array}
%\right.
%\]
\begin{enumerate}
\item La relation (1) se traduit par $\left\vert z'-\omega\right\vert=\left\vert z-\omega\right\vert$, ou encore $\left\vert\dfrac{z'-\omega}{z-\omega}\right\vert=1$.\\
La relation (2) se traduit par:
$\arg\left(\dfrac{z'-\omega}{z-\omega}\right)=\theta~(2\pi)$.
%Soient $z$, $z'$ et $\omega$ les affixes respectives des points $M$, $M'$ et $\Omega$.\\
%Traduire le relations (1) et (2) en termes de modules et d'arguments.
\item Le nombre complexe $\dfrac{z'-\omega}{z-\omega}$ a pour module 1 et pour argument $\theta$, on peut donc écrire, en utilisant la forme exponentielle, que: $\dfrac{z'-\omega}{z-\omega}=\e^{\i\theta}$. On en déduit alors que $z'-\omega=\e^{\i\theta}(z-\omega)$ d'où : 

$z'=\e^{\i\theta}(z-\omega)+\omega$.
%En déduire l'expression de $z'$ en fonction de $z$, $\theta$ et $\omega$

\end{enumerate}
\item 
L'équation: \( z^2-4\sqrt{3}z+16=0\) a pour discriminant $\Delta=-16<0$. Il y a donc deux solutions complexes conjuguées:
\[
z_1=\dfrac{4\sqrt{3}-4\i}{2}=2\sqrt{3}-2\i\text{ et }
z_2=\overline{z_1}=2\sqrt{3}+2\i.
\] 
%On donnera les solutions sous forme algébrique.
\item 
%Soient $A$ et $B$ les points d'affixes respectives $a=2\sqrt{3}-2\i$ et $b=2\sqrt{3}+2\i$.
\begin{enumerate}
\item 
%Écrire $a$ et $b$ sous forme exponentielle.
On a $b=2\sqrt{3}+2\i=4\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac12\i\right)=4\left(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)+\i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)=4\e^{\i\frac{\pi}{6}}$.
On en déduit que $a=\overline{b}=4\e^{-i\frac{\pi}{6}}$.
\item Voir figure~1.
%Faire une figure et placer les points $A$ et $B$.
\item Comme $a$ et $b$ sont conjugués, les points $A$ et $B$ sont symétriques par rapport à l'axe réel et l'on a donc $OA=OB=\vert a\vert=4$. \\
Par ailleurs $AB=\left\vert 2\sqrt{3}+2\i-(2\sqrt{3}-2\i)\right\vert=\left\vert4\i\right\vert=4$. \\
Ainsi $OA=OB=AB$, le triangle $OAB$ est donc équilatéral.
%Montrer que O$AB$ est un triangle équilatéral.
\end{enumerate}
\item D'après la question 1: $d=\e^{\i\frac{2\pi}{3}}(c-0)+0=\left(-\dfrac12+\i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)(-8\i)=4\sqrt{3}+4\i$.
%Soit $C$ le point d'affixe $c=-8\i$ et $D$ son image par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$.\\
%Placer les points $C$ et $D$.\\
%Montrer que l'affixe du point $D$ est $d=4\sqrt{3}+4\i$.

\item On constate que $d=2b$, autrement dit: $\vect{OD}=2\vect{OB}$, ce qui signifie que $D$ est l'image de $B$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport 2.
%Montrer que $D$ est l'image du point $B$ par une homothétie de centre O dont on déterminera le rapport.
\item $OB=AB$ car le triangle $OAB$ est équilatéral; de même $BD=OB$ car $B$ est le milieu de $[OD]$ (puisque $\vect{OD}=2\vect{OB}$). On a donc $BO=BA=BD$ et les points $O$, $B$ et $D$ sont alignés, donc le point $A$ appartient au cercle de diamètre $[OD]$ (et de centre $B$). Le triangle $OAD$ est donc rectangle en $A$.\\
\emph{Autre méthode:}
\[
\left(\vect{AO}~;~\vect{AD}\right)=\arg\left(\dfrac{d-a}{-a}\right)=\arg\left(\dfrac{2\sqrt{3}+6\i}{-2\sqrt{3}+2\i}\right)=\arg(-\i\sqrt{3})=-\dfrac{\pi}{2}~(2\pi).
\]

%Montrer que O$AD$ est un triangle rectangle.
\end{enumerate}



\begin{figure}[hb]
\label{a}
\begin{center}
\caption{Exercice 2 (non-spé)}
\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-2,-9)(10,7)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2,-9)(10,7)
\pstGeonode[PosAngle=45](3.46410161514,2){B}
\pstGeonode[PosAngle=-45](3.46410161514,-2){A}
{\red \pstGeonode[PosAngle=-135,linecolor=red](0,0){O}}
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=red]{->}(0,0)(1,0)\uput[-90](0.5,0){\red$\vect{u}$}
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=red]{->}(0,0)(0,1)\uput[180](0,0.5){\red$\vect{v}$}
\psline[linecolor=cyan](O)(A)(B)
\psline[linecolor=cyan]{->}(O)(B)

\pstGeonode[PosAngle=-45](0,-8){C}
\pstRotation[RotAngle=120,PointName=D]{O}{C}[D]
\psline[linestyle=dashed,linecolor=cyan]{->}(O)(D)

\pstArcOAB[linecolor=magenta,arrows=->]{O}{C}{D}

\end{pspicture}

\end{center}


\end{figure}




\vspace{1cm}
%: Ex 2, 5 points, spé
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Réservé aux candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip


%Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv d'unité 1~cm.

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
%\textbf{Restitution organisée de connaissances}\\
%On utilisera sans démonstration les deux propriétés suivantes:
%\begin{description}
%\item[Propriété 1:] Toute similitude indirecte qui transforme un point $M$ d'affixe $z$ en un point $M'$ d'affixe $z'$ admet  une expression complexe de la forme $z'=a\overline{z}+b$ où $a\in\C^*$ et $b\in\C$.
%\item[Propriété 2:] Soit C une point d'affixe $c$. Pour tout point D, distinct de C, d'affixe $d$ et pour tout point E, distinct de C, d'affixe $e$, on a:
%\[
%\left(\vect{CD}~;~\vect{CE}\right)=\arg\left(\dfrac{e-c}{d-c}\right)~~(2\pi).
%\]
%
%\end{description}
%\emph{\textbf{Question:}} Montrer qu'une similitude indirecte transforme un angle orienté en son opposé.

Soit $s$ une similitude indirecte d'écriture complexe $z'=a\overline{z}+b$. Soit $C$ un point d'affixe $c$, $D$ et $E$  deux  points d'affixes respectives $d$ et $e$, distincts de $C$. Soient $C'=s(C)$, $D'=s(D)$, et $E'=s(E)$. Notons $c'$, $d'$ et $e'$ les affixes respectives des points $C'$, $D'$ et $E'$. Alors (modulo $2\pi$):
\begin{eqnarray*}
\left(\vect{C'D'}~;~\vect{C'E'}\right) & = & \arg\left(\dfrac{e'-c'}{d'-c'}\right) \text{ d'après la propriété 2}\\
&=& \arg\left(
\dfrac{a\overline{e}+b-a\overline{c}-b}
{a\overline{d}+b-a\overline{c}-b}
\right) \text{ d'après la prop. 1}\\
&=&\arg\left(\dfrac{a(\overline{e-c})}{a(\overline{d-c})}\right)\\
&=&\arg\left(\overline{\dfrac{e-c}{d-c}}\right)\\
&=&-\arg\left(\dfrac{e-c}{d-c}\right)\\
&=&-\left(\vect{CD}~;~\vect{CE}\right).
\end{eqnarray*}
Une similitude indirecte transforme donc un angle orienté en son opposé.


\item 
%Soient les points $C$ et $D$ d'affixes respectives $c=3$ et $d=1-3\i$, et  $\mathcal{S}_1$ la similitude qui à tout point $M$ du plan associe le point $M_1$ symétrique de $M$ par rapport à l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{u}\right)$ des réels.
\begin{enumerate}
\item Voir figure~2.
%Placer les points $C$ et $D$ puis leurs images respectives $C_1$ et $D_1$ par $\mathcal{S}_1$. On complètera le figure au fur et à mesure de l'exercice.
\item $\mathcal{S}_1$ est la symétrie d'axe $\left(O~;~\vect{u}\right)$, son expression complexe est $z'=\overline{z}$.
%Donner l'expression complexe de $\mathcal{S}_1$.
\end{enumerate}
\item  
%Soit $\mathcal{S}_2$ la similitude directe définie par:
%\begin{itemize}
%\item %le point $C_1$ et son image $C' $ d'affixe $c'=1+4\i$;
%\item
%% le point $D_1$ et son image $D'$  d'affixe $d'=-2+2\i$.
%\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item $\mathcal{S}_2$ est une similitude directe, son écriture complexe est donc de la forme $z'=az+b$, avec $a\in\C^*$ et $b\in\C$. De plus $C'=\mathcal{S}_2(C_1)$ et $D'=\mathcal{S}_2(D_1)$ donc:
\[
\left\{
\begin{array}{rclc}
1+4\i &=& 3a+b & L_1\\
-2+2\i &=& a(1+3\i)+b & L_2
\end{array}
\right.
\] 
$L_1-L_2$ donne: $3+2\i=a(2-3\i)$, d'où $a=\dfrac{3+2\i}{2-3\i}=\dfrac{\i(2-3\i)}{2-3\i}=\i$. En remplaçant $a$ par $\i$ dans $L_1$ on a alors: $1+4\i=3\i+b$ d'où $b=1+\i$. L'écriture complexe de $\mathcal{S}_2$ est donc: $z'=\i z+1+\i$.
%
%Montrer que l'expression complexe de $\mathcal{S}_2$ est: $z'=\i z+1+\i$.
\item La similitude directe $\mathcal{S}_2$ a pour:
\begin{itemize}
\item rapport: $k=\vert i\vert =1$;
\item angle $\alpha=\arg(i)=\frac{\pi}{2}$;
\item centre le point $\Omega$ d'affixe $\omega$ telle que: $\omega=\dfrac{1+\i}{1-\i}=\i$.

\end{itemize}
(on peut remarquer que $\mathcal{S}_2$ n'est rien d'autre que le quart de tour direct de centre $\Omega$).
%En déduire les éléments caractéristiques de cette similitude.

\end{enumerate}
\item Soit $M$ un point quelconque d'affixe $z$, $M_1=\mathcal{S}_1(M)$ d'affixe $z_1$ et $M'=\mathcal{S}_2(M_1)$ d'affixe $z'$. \\
D'après les questions précédentes:
$z_1=\overline{z}$ et $z'=\i z_1+1+\i=\i \overline{z}+1+\i$. \\
L'expression complexe de $\mathcal{S}$ est donc:
$z'=\i\overline{z}+1+\i$.
%Soit $\mathcal{S}$ la similitude définie par $\mathcal{S}=\mathcal{S}_2\circ\mathcal{S}_1$.\\
%Déterminer l'expression complexe de $\mathcal{S}$.

%\item On pourra admettre désormais que $\mathcal{S}$ est la similitude indirecte d'expression complexe:
%\[
%z'=\i\overline{z}+1+\i.
%\]

\begin{enumerate}
\item 
%Quelle est l'image de $C$ par $\mathcal{S}$~? Quelle est l'image de $D$ par $\mathcal{S}$~?
$\mathcal{S}(C)=\mathcal{S}_2\circ\mathcal{S}_1(C)=\mathcal{S}_2(C_1)=C'$.\\
De même, 
$\mathcal{S}(D)=\mathcal{S}_2\circ\mathcal{S}_1(D)=\mathcal{S}_2(D_1)=D'$.
\item $h-c=\e^{i\frac{\pi}{3}}(d-c)$ et $d\not=c$ donc: 
$\dfrac{h-c}{d-c}=\e^{i\frac{\pi}{3}}$. \\
On en déduit que:\\
$\left(\vect{CD}~;~\vect{CH}\right)=\arg\left(\dfrac{h-c}{d-c}\right)=\dfrac{\pi}{3}$ et que: 
$\dfrac{HC}{DC}=\left\vert\dfrac{h-c}{d-c}\right\vert=1$ donc $DC=HC$. Le triangle $CDH$ est donc équilatéral direct.
% Soit $H$ le point d'affixe $h$ tel que: $h-c=\e^{i\frac{\pi}{3}}(d-c)$.\\
%Montrer que le triangle $CDH$ est équilatéral direct.

\item $\mathcal{S}=\mathcal{S}_2\circ\mathcal{S}_1$, or $\mathcal{S}_1$ est une similitude indirecte et $\mathcal{S}_2$ est une similitude directe, donc $\mathcal{S}$ est une similitude indirecte. Par ailleurs, dans cette similitude indirecte $\mathcal{S}$, le triangle équilatéral direct $CDH$ a pour image $C'D'H'$. Ce dernier triangle est donc équilatéral indirect.
%Soit $H'$ l'image de $H$ par $\mathcal{S}$. Préciser la nature du triangle $C'D'H'$ et construire le point $H'$ (on ne demande pas de calculer l'affixe $h'$ du point $H'$).
 
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\begin{figure}
\label{b}
\centering
\caption{Exercice 2 (spé)}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-4)(5,6)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2,-4)(5,6)

{\red \pstGeonode[PosAngle=-135,linecolor=red](0,0){O}}
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=red]{->}(0,0)(1,0)\uput[-90](0.5,0){\red$\vect{u}$}
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=red]{->}(0,0)(0,1)\uput[180](0,0.5){\red$\vect{v}$}

\pstGeonode[PosAngle=45](3,0){C}
\pstGeonode[PosAngle=135](3,0){C_1}
\pstGeonode[PosAngle=-135](1,-3){D}
\pstGeonode[PosAngle=0](1,3){D_1}
\pstGeonode[PosAngle=45](1,4){C'}
\pstGeonode[PosAngle=-135](-2,2){D'}
\pstGeonode[PosAngle=0,PointName=\Omega](0,1){W}

\pstRotation[RotAngle=-60]{D}{C}[H]
\psline[linecolor=cyan](D)(C)(H)(D)

\pstRotation[RotAngle=60,PosAngle=135]{D'}{C'}[H']
\psline[linecolor=orange](D')(C')(H')(D')
\end{pspicture}

\end{figure}




\vspace{1cm}
%: Ex 3, 4 points, commun
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
  
%On donne la représentation graphique d'une fonction $f$ définie et continue sur l'intervalle $I=[-3~;~8]$.


%\begin{center}
%%\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
%%\begin{pspicture*}(-8,-4)(18,8)
%%\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-8,-4)(18,8)
%%\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4,-2)(9,4)
%%\psplot[plotpoints=200]{0.0}{4.0}{-0.047619047619048*x^4+0.380952380952381*x^3-1.702380952380953*x^2+3.761904761904762*x}
%%\psplot[plotpoints=200]{-3.0}{0.0}{2.2/(x-2)^2+7.5/(x-2)^4-1}
%%\psplot[plotpoints=200]{4.0}{8.0}{2.2/(x-2)^2+7.5/(x-2)^4-1}
%%\end{pspicture*}
%
%   \includegraphics[width=10cm]{C1.eps} 
%
%
%
%\end{center}



On définit la fonction $F$ sur $I$, par $F(x)=\displaystyle\int_0^xf(t)\text{d}t$.


\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $F(0)=\displaystyle\int_0^0f(t)\text{d}t=0$.
%Que vaut $F(0)$~?
		\item 
%Donner le signe de $F(x)$:
\begin{itemize}
\item Soit $x\in[0~;~4]$. Sur l'intervalle $[0~;~x]$ la fonction $f$ est positive donc, comme $0\leqslant x$, d'après le cours: $\displaystyle\int_0^xf(t)\text{d}t\geqslant 0$, c'est-à-dire $F(x)\geqslant 0$.
\item Soit $x\in[-3~;~0]$. Sur l'intervalle $[x~;~0]$ la fonction $f$ est négative donc, comme $x\leqslant 0$, on a:
$\displaystyle\int_x^0f(t)\text{d}t\leqslant 0$ d'où: $-\displaystyle\int_0^xf(t)\text{d}t\leqslant 0$. \\
On a donc: $\displaystyle\int_0^xf(t)\text{d}t\geqslant 0$, autrement dit $F(x)\geqslant 0$.
\end{itemize}
%Justifier les réponses.
		\item 
Sur l'intervalle $[0~;~4]$, la fonction $f$ est positive, l'intégrale $\displaystyle\int_0^4f(t)\text{d}t$ représente donc l'aire de la portion du plan délimitée par l'axe des abscisses, la courbe représentative de $f$ et les droites verticales d'équations respectives $x=0$ et $x=4$ (en bleu sur la figure ci-dessous). \\
Par ailleurs, cette aire est inférieure à l'aire (mauve) du rectangle $OABC$, autrement dit: $F(4)\leqslant OA\times AB$, c'est-à-dire: $F(4)\leqslant 12$.\\
\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{C1_1.eps}
\end{center}

De même, l'aire $F(4)$ est supérieure à celle du triangle $ODC$ de hauteur $[DH]$ (en jaune sur la figure ci-dessous) donc $F(4)\geqslant\dfrac12\times DH\times OC$, c'est-à-dire $F(4)\geqslant 6$.\\
\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{C1_2.eps}
\end{center}
%Faire figurer sur le graphique donné en \textbf{ANNEXE} les éléments permettant de justifier les inégalités 
%$6\leqslant F(4)\leqslant 12$.

	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Soit $x\in I$. La fonction $f$ est continue sur $I$, donc $F:x\mapsto\displaystyle\int_0^xf(t)\text{d}t$ représente la primitive de $f$ sur $I$ qui s'annule en $0$.
%Que représente $f$ pour $F$~?
		\item D'après ce qui précède, la fonction $F$ est dérivable sur $I$ et $F'(x)=f(x)$. Le signe de $f(x)$ s'obtient par lecture graphique. On peut donc dresser le tableau de variation de $F$:
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|ccccccc|}
\hline
$x$ & $-3$ & & 0 & & 4 & & 8\\
\hline
Signe de $F'(x)=f(x)$ &  &$-$& 0 & $+$ &0& $-$ &\\
\hline
& \rnode{a}{$F(-3)$} & & & &\rnode{b}{$F(4)$}& & \\
Variation de $f$ & & & & & & & \\
& & &\rnode{c}{0}& & && \rnode{d}{$F(8)$}\\
\hline
\end{tabular}
\ncline[nodesep=3pt]{->}{a}{c}
\ncline[nodesep=3pt]{->}{c}{b}
\ncline[nodesep=3pt]{->}{b}{d}

\end{center}

%Déterminer le sens de variation de la fonction $F$ sur $I$. Justifier la réponse à partir d'une lecture graphique des propriétés de $f$.

	\end{enumerate}
\item On dispose de deux représentations graphiques sur $I$.
\end{enumerate}

%\hspace{-1cm}
\begin{center}
\begin{tabular}{ccc}
Courbe A& & Courbe B \\
   \includegraphics[width=5.5cm]{C1bis.eps} 


&&
   \includegraphics[width=5.5cm]{C2.eps} 

\end{tabular}

\end{center}
Les variations des courbes A et B sont en accord avec le tableau de variation précédent, cependant:
\begin{itemize}
\item La courbe A ne peut représenter la fonction $F$ puisqu'on doit avoir $F(0)=0$ ce qui n'est pas le cas pour la fonction représentée sur cette courbe.
\item La courbe B ne peut représenter la fonction $F$ puisqu'on doit avoir $6\leqslant F(4)\leqslant 12$ ce qui n'est pas le cas pour la fonction représentée sur cette courbe.
\end{itemize}


\vspace{1cm}
%: Ex 4, 6 points, commun
\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip


\textbf{Partie A}

\smallskip

%Soit $g$ la fonction définie pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par 
%\[
%g(x)=x-x\ln x.
%\]
\begin{enumerate}
\item \textbf{Limite en $0$.} \\
D'après le théorème des croissances comparées $\displaystyle\lim_{x\to 0}x\ln x=0$, donc, par opérations sur les limites: $\displaystyle\lim_{x\to 0}g(x)=0$.\\
\textbf{Limite en $+\infty$.}\\
On peut écrire, pour tout réel $x>0$: $g(x)=x(1-\ln x)$. Or $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(1-\ln x)=-\infty$, donc, par produit des limites: $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}g(x)=-\infty$.
%Déterminer les limites de la fonction $g$ en $0$ et $+\infty$.
\item La fonction $g$ est dérivable sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ comme combinaison simple de fonctions qui le sont, et, pour tout $x>0$:
\[
g'(x)=1-\left(\ln x+x\times\dfrac1x\right)=-\ln x.
\]
%Montrer que $g$ est dérivable sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ et que $g'(x)=-\ln x$.
\item Soit $x>0$, on sait que $\ln x > 0 \iff x>1$; d'où le tableau de variations de $g$:
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|cccccc|}
\hline
$x$ & \rnode{a}{0} &&&1&&$+\infty$\\
\hline
$g'(x)$& & &$+$& 0 & $-$ & \\
\hline
& & & &\rnode{b}{1}& & \\
$g$ & & & & & & \\
&\rnode{c}{}&\rnode{d}{0}& & & &\rnode{e}{$-\infty$}\\
\hline
\end{tabular}
\ncline[doubleline=true,nodesepA=5pt,nodesepB=-1pt]{a}{c}
\ncline[nodesep=3pt]{->}{d}{b}
\ncline[nodesep=3pt]{->}{b}{e}

\end{center}

%Dresser le tableau de variations de la fonction $g$.
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie B}

\smallskip

%Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout $n\in\N^*$ par $u_n=\dfrac{\e^n}{n^n}$.
\begin{enumerate}
\item 
%Conjecturer, 
À l'aide de la calculatrice, on obtient les valeurs suivantes:
\begin{center}
\begin{scriptsize}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering\arraybackslash}X|}}\hline
$n$ &1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\
\hline
$u_n$ & \np{2,718} & \np{1,847} & \np{0,744} & \np{0,213} & \np{0,047} & \np{00865} & \np{0,00178} & \np{0,000178} & \np{0,000002}\\
\hline
\end{tabularx}
\end{scriptsize}
\end{center}
On peut donc conjecturer que:
\begin{enumerate}
\item la suite $(u_n)$ est décroissante;
\item la   suite $(u_n)$ converge vers $0$.

\end{enumerate}
\item 
%Soit $(v_n)$ la suite définie pour tout $n\in\N^*$ par $v_n=\ln(u_n)$.
\begin{enumerate}
\item Pour tout $n\in\N^*$:
\[
v_n=\ln(u_n)=\ln\left(\dfrac{\e^n}{n^n}\right)=\ln\left(\e^n\right)-\ln\left(n^n\right)=n\ln\e-n\ln n=n-\ln n=g(n).
\]
%Montrer que $v_n=n-n\ln n$.
\item Soit $n\in\N^*$, alors $1\leqslant n<n+1$, et comme la fonction $g$ est strictement décroissante sur $[1;+\infty[$, alors:
$g(1)\geqslant g(n)>g(n+1)$ ce qui équivaut à $1\geqslant v_{n}>v_{n+1}$. Ceci prouve que la suite $(v_n)$ est décroissante.
%En utilisant la \textbf{Partie A}, déterminer le sens de variation de la suite $(v_n)$.
\item Pour tout $n\in\N^*$, $v_n=\ln(u_n)$, donc $u_n=\e^{v_n}$. De plus, d'après la question précédente, $v_n>v_{n+1}$, donc par application de la fonction exponentielle (strictement croissante sur $\R$):
$\e^{v_n}>\e^{v_{n+1}}$, c'est-à-dire $u_n>u_{n+1}$ et la suite $(u_n)$ est donc décroissante.
%En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$.

\end{enumerate}
\item La suite $(u_n)$ est postive de façon évidente, elle est donc minorée.

La suite $(u_n)$ est décroissante, elle est donc majorée par son premier terme $u_1=\e$.

La suite $(u_n)$ est donc bornée.
%Montrer que la suite $(u_n)$ est bornée.
\item La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée, elle est donc convergente.

Par ailleurs, pour tout $n\in\N^*$: $u_n=\e^{v_n}=\e^{g(n)}$.

D'après la partie A,  $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}g(n)=-\infty$
et $\displaystyle\lim_{X\to -\infty}\e^{X}=0$, donc, par composition des limites, 

$\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\e^{g(n)}=0$, ce qui prouve que la suite $(u_n)$ a pour limite $0$.
%Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente et déterminer sa limite.
\end{enumerate}
%\newpage
%
%\begin{center}
%\textbf{FEUILLE ANNEXE (à rendre avec la copie)}
%
%\vspace{0.25cm}
% 
%\textbf{Exercice 3}
%
%
%\vspace{0.25cm}
%
%
%Commun à tous les candidats
%
%\vspace{0.5cm}
%
%  \includegraphics[width=10cm]{C1.eps} 
%
%
%\end{center}
\end{document}