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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Caen}}
\rfoot{\small{juin 1962}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Caen juin 1962}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT.

\bigskip

{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Tracer les droites ($D_1$) et ($D_2$) représentant les variations des fonctions
\[y=2x - 8 \qquad \text{et }\qquad y= -\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{2}\]

\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-4,-5)(6,5)
\psgrid[gridwidth=0.1pt,subgriddiv=1](-4,-5)(6,5)
\psgrid[gridwidth=0.35pt,gridwidth=0.1pt,subgriddiv=10,gridlabels=0pt](2,0)(4,-2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-4,-5)(6,5)
\psplot[plotpoints=600,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-4}{6}{2 x mul 8 sub}
\psplot[plotpoints=600,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4}{6}{0.5 x 2 div sub}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.55pt]{<->}(0,-1.2)(3.4,-1.2)(3.4,0)
\uput[r](3.4,-1.2){M}\uput[ul](4,0){A}\uput[ur](1,0){B}
\uput[r](5.5,3){\red ($D_1$)}\uput[ur](-2,1.5){\blue ($D_2$)}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item %Elles se coupent au point M. Déterminer graphiquement les coordonnées de ce point et vérifier par le calcul.
On lit (sur du papier millimétré), M$(3.4~;~-1,2)$.
\item%($D_1$) coupe l'axe des $x$ en A et ($D_2$) coupe le même axe en B.
On a A(4~;~0) et B(1~;~0), donc :

AM$^2 = (3,4 - 4)^2 + (-1,2 - 0)^2 = (-0,6)^2 + (-1,2)^2 = 0,36 + 1,44 = 1,8$, d'où 

AM $ = \sqrt{1,8}$ ;

BM$^2 = (3,4 - 1)^2 + (-1,2 - 0)^2 = (2,4)^2 + (-1,2)^2 = 5,76 + 1,44 = 7,2$, d'où BM $ = \sqrt{7,2}$.
%Calculer MA et MB.

De même AB$^2 = (4 - 1)^2 + (0-0)^2 = 3^2 = 9$.

Or AM$^2 + \text{MB}^2 = 1,8 + 7,2 = 9$, donc finalement 

$\text{MA}^2 + \text{MB}^2 = \text{AB}^2$.

%Vérifier que $\text{MA}^2 + \text{MB}^2 = \text{AB}^2$.
\item %Que pouvez-vous dire du triangle AMB et pourquoi ?
D'après le résultat précédent et d'après la réciproque du théorème de Pythagore cette égalité démontre que le triangle AMB est rectangle en M : les droites initiales ($D_1$) et ($D_2$) sont perpendiculaires.

\emph{Remarque} : on pouvait également calculer le produit de leur coefficients directeurs :

$2 \times \left(- \dfrac 12 \right) = -1$, ce qui démontre également que les droites sont perpendiculaires.
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soit un cercle de diamètre [AB] et de centre O.

On mène une corde quelconque, [AC], et on la prolonge d'une longueur CD = AC.

\medskip


\begin{center}
	\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=2.pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
	\begin{pspicture*}(-5.9638265785863105,-3.9954462016058168)(5.558399849107587,3.9534283605372313)
		\pspolygon[linewidth=0.pt,fillcolor=black,fillstyle=solid,opacity=1](-1.918281825652178,-0.13135336985424598)(-1.7869284557979321,-0.04963519550642419)(-1.868646630145754,0.0817181743478218)(-2.,0.)
		\pscircle[linewidth=0.8pt](0.,0.){2.}
		\psline[linewidth=1.2pt](-2.,0.)(0.8838407784873803,1.7941085469622013)
		\psline[linewidth=1.2pt](-0.596601938627078,0.958974814333982)(-0.5195572828855425,0.8351337326282191)
		\psline[linewidth=1.2pt](0.8838407784873803,1.7941085469622013)(3.7676815569747606,3.5882170939244027)
		\psline[linewidth=1.2pt](2.2872388398603016,2.7530833612961834)(2.3642834956018373,2.6292422795904207)
		\psline[linewidth=1.2pt](-2.,0.)(-0.8838407784873803,-1.7941085469622013)
		\psline[linewidth=1.2pt](-1.3954087323036595,-0.8337637612033508)(-1.5192498907964724,-0.9108083420749827)
		\psline[linewidth=1.2pt](-1.364590887690908,-0.8833002048872184)(-1.4884320461837208,-0.9603447857588502)
		\psline[linewidth=1.2pt](-0.8838407784873803,-1.7941085469622013)(0.2323184430252394,-3.5882170939244027)
		\psline[linewidth=1.2pt](-0.27924951079103993,-2.627872308165552)(-0.40309066928385273,-2.7049168890371837)
		\psline[linewidth=1.2pt](-0.2484316661782885,-2.6774087518494194)(-0.37227282467110123,-2.7544533327210514)
		\psline[linewidth=1.2pt](-2.,0.)(0.,0.)
		\psline[linewidth=1.2pt](-1.0583403869756656,0.07292545469856007)(-1.0583403869756656,-0.07292545469856007)
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		\psline[linewidth=1.2pt](0.,0.)(2.,0.)
		\psline[linewidth=1.2pt](0.9416596130243349,0.07292545469856007)(0.9416596130243349,-0.07292545469856007)
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		\psline[linewidth=1.2pt](0.8838407784873803,1.7941085469622013)(2.,0.)
		\psline[linewidth=1.2pt](2.,0.)(-0.8838407784873803,-1.7941085469622013)
		\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](0.8838407784873803,1.7941085469622013)(-0.8838407784873803,-1.7941085469622013)
		\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](3.7676815569747606,3.5882170939244027)(0.2323184430252394,-3.5882170939244027)
		\begin{scriptsize}
			\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*](-2.,0.)
			\rput[bl](-2.142531231680233,-0.4366840123160853){$A$}
			\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*](2.,0.)
			\rput[bl](2.0871468240555013,-0.30541819385867713){$B$}
			\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.,0.)
			\rput[bl](0.07440347339504835,-0.4220989213763732){\darkgray{$O$}}
			\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*](0.8838407784873803,1.7941085469622013)
			\rput[bl](0.818243407334781,2.0573665383746693){$C$}
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			\rput[bl](3.822773336581544,3.676311632682703){$D$}
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			\rput[bl](-1.2236701368135048,-2.041044015684407){$E$}
			\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*](0.2323184430252394,-3.5882170939244027)
			\rput[bl](0.4244457952490402,-3.762084746570425){$F$}
		\end{scriptsize}
	\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{enumerate}
	\item Montrer que le triangle ABD est isocèle.\\
	
Le \tr\ ACB est \re\ en C car il est inscrit dans le \ce\ de \di\ [AB].
	
C est le \mi\  de [AD] par construction. (CB) est donc une \dr\ passant par le \mi\ de [AD] et \pe\ à (AD), c'est la \me\ du \se\ [AD].

Tout \po\ de la \me\ de [AD] est équidistant de A et D en particulier B. On a donc AB=DB.

Ainsi le \tr\ ABD a deux côtés de même longueur, [AB] et [DB], il est donc \is\ de sommet B.
\item On mène la perpendiculaire à (AC) en A ; elle coupe
le cercle en E.

Montrer que le quadrilatère ACBE est un rectangle.

En déduire que les points E, O, C sont alignés.

Le \tr\ AEB et \re\ en E car  il est inscrit dans le \ce\ de \di\ [AB].
Les \dr s (AC) et (EB) sont \pe s à la \dr\ (AE), elles sont donc \pa s.

Les \dr s (CB) et (AE) sont \pe s à la \dr\ (AC), elles sont \pa s.

Le \qu\ AEBC a ses côtés opposés \pa s, c'est un \Par\ . Il a un angle droit et même trois ici, c'st un \re\ .

O est le \mi\ de la diagonale [AB] par construction  et dans un \Par\ les diagonales ont le même \mi\ , O est donc le \mi\ de [CE]  qui est aussi diagonale du \Par\ ACBE : les \po s E, O, C sont donc alignés.
\item On prolonge [AE] d'une longueur EF = AE.

Montrer que les points F, B, D sont alignés et que EC est parallèle à (FD).

Les \po s O et C sont les \mi x des \se s respectifs de A[B ]et [AD], or, la \dr\ qui joint les \mi x de deux côtés d'un \tr\ est \pa\ au troisième côté, (OC) est donc \pa\ à (BD) (et de plus BD = 2OC), de même (BF) est \pa\ à (OE) dans le \tr\ ABF (et BF = 2OE).

Par suite de l'alignement de C, O, E les \dr s (OC) et (OE) sont égales et donc les \dr s (BD) et (CE) sont \pa s à une même \dr\ , elles sont donc \pa s, mais elle passent par le \po\ B, elles sont donc égales et les \po s E, B, D sont alignés et la \dr\ FD est \pa\ à la \dr\ (EC)  car (FD)  et (BD) sont égales ainsi que (EC) et (OC) et que  (BD) et (OC) sont \pa s.
	\item A et B étant fixes, quelle est la courbe décrite par D et F lorsque C décrit le cercle O ?

Soit R le rayon du \ce\ O, on a vu que BD  = BF = 2R.

Les \po s D et F appartiennent donc au \ce\ de centre B et de rayon 2R.
\end{enumerate}

Sujet ne reposant pratiquement que sur des propriétés d'incidence de \dr s, pas de \Py\ ni de \tr s \Sem s ni de calculs de longueurs et pas d'\an s  à part des \an s droits.
\end{document}