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%Sujet aimablement communiqué par Karine Dulhoste et Nathalie Leroy
%Tapuscrit : Denis Vergès corrigé par Arié Yallouz
%Corrig\'e : François Hache
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{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}

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%0.5  0.02
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%   Commandes perso FH
\newcommand{\ds}{\displaystyle}%   displaystyle
\newcommand{\cg}{\rceil \hspace{-4.5pt} \rfloor}% crocher gauche
\newcommand{\cd}{\lceil \hspace{-4.5pt} \lfloor}% crochet droit
\renewcommand{\d}{\,\text{d}\,}%  le d de différentiation
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\renewcommand{\(}{\left(}%        parenthèse gauche
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\newcommand{\ssi}{\Leftrightarrow}% équivalent
\newcommand{\limit}[2]{\lim\limits_{#1 \to #2}}% limite
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\newcommand*{\point}[4]{
\psdots(#1,#2)
\uput[#3](#1,#2){#4}
}
% permet de placer un point et de marquer son nom en même temps
% abscisse ordonnée emplacement et nom

\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small 18 novembre 2013}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\vspace*{-0.7cm}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat ES Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\[3pt]
18 novembre 2013\\[8pt]
Corrigé}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 3 points}%   \section{exercice 1}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur [1~;~10] par 
$f\(x\) = x^2 - 14x + 15 + 20\,\ln x$.

\begin{enumerate}
\item %Montrer que pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [1~;~10] on a : 

Pour tout nombre réel $x$ de [1~;~10]: $f'\(x\)=2x - 14 + \dfrac{20}{x} = \dfrac{2x^2 - 14x + 20}{x}$

\item %Construire en le justifiant le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~10]. 

Sur l'intervalle [1~;~10], $x>0$ donc $f'\(x\)$ est du signe de $2x^2-14x+20$.

On cherche le signe de $2x^2-14x+20$: $\Delta=14^2-4\times 2 \times 20 = 36=6^2$;

les racines du polynôme sont $\dfrac{-b-\sqrt \Delta}{2a}= \dfrac{14-6}{4}=2$ et $\dfrac{-b+\sqrt \Delta}{2a}= \dfrac{14+6}{4}=5$

$2x^2-14x+20$ est du signe de $a=2$ (donc positif) à l'extérieur des racines, du signe contraire à l'intérieur.

De plus $f\(1\)=2$; $f\(2\)= 20\,\ln 2 - 1 \approx 4,86$; $f\(5\)= 20\,\ln 5 - 30 \approx 2,19$; \\$f\(10\)= 20\,\ln 10 - 25 \approx 21,05$ 

D'où le tableau de variation de la fonction $f$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
$\begin{array}{|c| *6{c} c|}
\hline
 x & 1 & \hspace*{1cm} & 2 & \hspace*{1cm} & 5 & \hspace*{1cm} & 10\\
 \hline
f'\(x\) &  &  \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\  
\hline
  &  &  & \Rnode{M1}{4,86} & & & &  \Rnode{M2}{21,05} \\
f \(x\) & &  & & & & & \\
 & \Rnode{m1}{2} & & & & \Rnode{m2}{2,19} & & 
\ncline{->}{m1}{M1} \ncline{->}{M1}{m2}
\ncline{->}{m2}{M2} \\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

\item %En déduire le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 3$ dans l'intervalle [1~;~10].

On complète le tableau de variation de $f$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
$\begin{array}{|c| *6{c} c|}
\hline
 x & 1 & \hspace*{1cm} & 2 & \hspace*{1cm} & 5 & \hspace*{1cm} & 10\\
 \hline
%f'\(x\) &  &  \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\  
%\hline
  &  &  & \Rnode{M1}{4,86} & & & &  \Rnode{M2}{21,05} \\
f \(x\) & &  & & & & & \\
 & \Rnode{m1}{2} & & & & \Rnode{m2}{2,19} & & 
\ncline{->}{m1}{M1} \ncline{->}{M1}{m2}
\ncline{->}{m2}{M2} 
\rput(-5.8,0.6){\fcolorbox{white}{white}{\red 3}}
\rput(-3.55,0.6){\fcolorbox{white}{white}{\red 3}}
\rput(-1.4,0.6){\fcolorbox{white}{white}{\red 3}}
\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

D'après le tableau de variation de $f$, on peut dire que l'équation $f\(x\)=3$ admet trois solutions dans l'intervalle [1~;~10]; une dans [1~;~2], une dans [2~;~5] et une dans [5~;~10].

\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 3 points}%   \section{exercice 2}

\textbf{Commun à tous les candidats}
 
\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ est définie pour tout nombre réel $x$ par 
$f\(x\) = \e^{2x + \ln 2}$.

$f'\(x\)=2\e^{2x + \ln 2}$ et $f''\(x\)=4\e^{2x + \ln 2}>0$ sur $\R$.

La bonne réponse est la \textbf{c.}
 
\item La dérivée de $2x+\ln 2$ est 2 donc une primitive $F$ de $f$ sur $\R$ est définie par: \\
$F(x) = \dfrac{1}{2} \text{e}^{2x + \ln 2}$; réponse \textbf{c.} 

\item La fonction $g$ est la fonction constante définie pour tout nombre réel $x$ par $g(x) = 2$.
 
Si $x\pg 0$, $2x+\ln 2\pg \ln 2$ donc $\e^{2x+\ln 2} \pg \e^{\ln 2} \ssi \e^{2x+\ln 2} \pg 2$.
 
L'aire du domaine délimité par les courbes représentatives de $g$ et de $f$, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = \ln 2$ est: $\displaystyle\int_{0}^{\ln 2}(f(x) - 2)\:\text{d}x$; \\
réponse \textbf{d.}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}%   \section{exercice 3 non spé}

\textbf{Enseignement obligatoire -- L}
 
\textbf{Première partie}%   \subsection{partie 1}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
Les intérêts la première année sont de $\np{6000}\times \dfrac{2,25}{100}= 135$ \euro.

Au 1\ier{} janvier 2015, Monica dispose de: $\np{6000} + 135 + 900 = \np{7035}$  \euro.

\item On note $M_{n}$ le montant en euros disponible sur le livret le premier janvier de l'année $2014 + n$. 
On a donc $M_{0} = \np{6000}$ et $M_{1} = \np{7035}$. 

Augmenter de $2,25\,\%$ c'est multiplier par $1+ \dfrac{2,25}{100} = \np{1,0225}$.

Donc si on possède la somme $M_n$ au 1\ier{} janvier de l'année $2014+n$, cette somme augmentée des intérêts de l'année devient $\np{1,0225}\,M_n$.

Au 1\ier{} janvier de l'année $2014+\(n+1\)$, on rajoute 900 \euro{} donc le montant disponible est $M_{n+1}=\np{1,0225}\,M_n+900$. 

\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Deuxième partie}%   \subsection{partie 2}

\begin{enumerate}
\item Première méthode :
 
On considère la suite $\left(G_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, par \mbox{$G_{n} = M_{n} + \np{40000}$}. 

	\begin{enumerate}

		\item 
$G_{n+1}= M_{n+1}+\np{40000} = \np{1,0225}\,M_n + 900 + \np{40000}$;\\
or $G_n=M_n+\np{40000}$ donc $M_n=G_n-\np{40000}$.

$G_{n+1}= \np{1,0225}\(G_n-\np{40000}\) + 900 + \np{40000} \\
\phantom{G_{n+1}}= \np{1,0225}\,G_n - \np{1,0225}\times \np{40000} +\np{40900} \\
\phantom{G_{n+1}}= \np{1,0225}\,G_n -\np{40900} + \np{40900} = \np{1,0225}\,G_n$

$G_0 = M_0+\np{40000} = \np{6000} + \np{40000} = \np{46000}$

Donc la suite $\(G_n\)$ est géométrique de premier terme $G_0=\np{46000}$ et de raison $\np{1,0255}$.

		\item 
		D'après le cours, comme la suite $\(G_n\)$ est géométrique de premier terme $G_0=\np{46000}$ et de raison $\np{1,0255}$, on peut dire que $G_n=\np{46000}\times  \np{1,0225}^n$.

Donc $M_n = \np{46000}\times  \np{1,0225}^n - \np{40000}$.
		 

		\item On cherche $n$ entier tel que $M_n \pg \np{19125}$.

$M_n \pg \np{19125} \iff \np{46000}\times  \np{1,0225}^n - \np{40000} \pg \np{19125}\\
\phantom{M_n \pg \np{19125}} \iff \np{46000}\times  \np{1,0225}^n \pg \np{59125} \iff \np{1,0225}^n \pg \dfrac{\np{59125}}{\np{46000}}\\[5pt]
\phantom{M_n \pg \np{19125}} \iff  \ln\(\np{1,0225}^n\) \pg \ln \dfrac{\np{59125}}{\np{46000}} \iff  n \times \ln\(\np{1,0225}\) \pg \ln \dfrac{\np{59125}}{\np{46000}} \\[5pt]
\phantom{M_n \pg \np{19125}} \iff  n \pg \dfrac{ \ln \dfrac{\np{59125}}{\np{46000}}}{\ln\(\np{1,0225}\)} \text{ car } \ln\(\np{1,0225}\) >0\\[5pt]
\phantom{M_n \pg \np{19125}} \iff n \pg 11,28$

\medskip

Le plafond de \np{19125}~\euro{} est atteint la douzième année.

	\end{enumerate}
\item Deuxième méthode :

	\begin{enumerate}

		\item %Il suffit de modifier deux lignes de cet algorithme pour qu'il détermine l'année à partir de laquelle le plafond est atteint pour un montant versé initialement de \np{5000}~euros et des versements annuels de \np{1000}~euros.

On modifie la ligne 4 de l'algorithme fourni dans le texte ainsi \\
\hspace*{1.5cm} \og{}Affecter à MONTANT la valeur \np{5000}\fg{} \\
pour changer la valeur de départ.

On modifie la ligne 8 ainsi \\
\hspace*{1.5cm} \og{}Affecter à MONTANT la valeur $\np{1,0225} \times \text{MONTANT} + \np{1000}$\fg{} \\
pour changer la somme que l'on ajoute chaque année.
	 
		\item 
Pour que l'algorithme affiche également à l'écran le montant disponible au premier janvier de chaque année, il faut rajouter à l'intérieur de la boucle TANT QUE, en ligne 10: \\
\hspace*{1.5cm} \og{}Afficher MONTANT\fg{}
		
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}%   \section{exercice 3 spé}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On représente le graphe probabiliste associé à la situation: 

\hspace*{1cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-0.8)(6,1.2)
\Rnode{H}{$H$} \hskip 4cm \Rnode{P}{$P$}%           définition des sommets
\psset{nodesep=3pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}%    paramètres
\ncarc{->}{H}{P} \Aput{0,14}%                       arc pondéré partant de H
\ncarc{->}{P}{H} \Aput{0,06}%                       arc pondéré partant de P
\nccircle[angleA=90]{->}{H}{4mm}   \Bput{0,86}%     boucle autour de H
\nccircle[angleA=-90]{->}{P}{.4cm} \Bput{0,94}%     boucle autour de P
\end{pspicture}

		\item 		
D'après le cours,  la matrice de transition est
$M=
\begin{pmatrix}
0,86 & 0,14 \\ 0,06 & 0,94
\end{pmatrix}$
		
	\end{enumerate} 

\item On appelle $E_{n} = \left(h_{n}\quad  p_{n}\right)$ la matrice ligne de l'état probabiliste de l'année $2010 + n$;
donc $h_n$ désigne la probabilité qu'un habitant de Girouette vote pour le parti Hirondelle l'année $2010+n$, et $p_n$ désigne la probabilité qu'un habitant de Girouette vote pour le parti Phenix cette même année.
 
On a donc $E_{0} = (0,7\quad 0,3)$.
 
$E_1=E_0 \times M = 
\begin{pmatrix} 0,7 & 0,3 \end{pmatrix} \times
\begin{pmatrix} 0,86 & 0,14 \\ 0,06 & 0,94 \end{pmatrix}\\
\phantom{E_1} =
\begin{pmatrix}
0,7 \times 0,86 + 0,3 \times 0,06 & 0,7 \times 0,14 + 0,3 \times 0,94
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
0,62 & 0,38
\end{pmatrix}$

Donc en 2011, la probabilité qu'un habitant de Girouette vote pour le parti Hirondelle est $0,62$ et la probabilité qu'il vote pour le parti Phenix est de $0,38$. On peut dire aussi que le parti Hirondelle recueille $62\,\%$ des voix, et le parti Phenix $38\,\%$.

$E_4 = E_3 \times M = E_2 \times M \times M = E_1 \times M \times M \times M = E_1 \times M^3$

\`A la calculatrice, on trouve 
$E_4 \approx 
\begin{pmatrix} 0,46& 0,54 \end{pmatrix}$

On peut dire  qu'en 2014 le parti Hirondelle devrait recueillir à peu près $46\,\%$ des voix, et le parti Phenix $54\,\%$.

\item
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a : $h_{n+1} = 0,8h_{n} + 0,06$. 
Comme $E_{n+1}=E_n \times M$, on peut dire que 		
$\left\lbrace 		
\begin{array}{l @{\ =\ } l}
h_{n+1} & 0,86\,h_n + 0,06\,p_n\\
p_{n+1} & 0,14\,h_n+0,94\,p_n
\end{array}
\right. $

Donc $h_{n+1}=0,86\,h_n+0,06\,p_n$; or, pour tout entier $n$, $h_n+p_n=1$ donc $p_n=1-h_n$. 
On peut donc écrire:  \\
$h_{n+1}=0,86\,h_n+0,06\(1-h_n\) = 0,86\,h_n + 0,06 - 0,06\,h_n = 0,8\,h_n + 0,06$.

		\item On définit la suite $\left(u_{n}\right)$ par : pour tout entier naturel $n,\: u_{n} = h_{n} - 0,3$.

$u_{n+1}=h_{n+1}-0,3 = 0,8\,h_n+0,06-0,3$; or $u_n=h_n-0,3$ donc $h_n=u_n+0,3$.

$u_{n+1}=0,8\(u_n+0,3\)+0,06-0,3 = 0,8\,u_n+0,24+0,06-0,3=0,8\,u_n$

$u_0=h_0-0,3=0,7-0,3=0,4$

Donc la suite $\(u_n\)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0=0,4$ et de raison $q=0,8$.


		\item 		
D'après le cours, on peut dire que, pour tout entier $n$, $u_n=u_0 \times q^n = 0,4 \times 0,8^n$.
Or $h_n=u_n+0,3$ donc, pour tout entier $n$, $h_n=0,3+0,4\times 0,8^n$.		
		
	\end{enumerate} 
	
\item  
On cherche le plus petit entier $n$ tel que $h_n<0,32$ ce qui revient à résoudre l'inéquation $0,3 + 0,4\times 0,8^n < 0,32$.

$\begin{array}{@{} l @{\ \iff\ } l @{\ \iff\ } l}
0,3 + 0,4\times 0,8^n < 0,32 & 0,4\times 0,8^n < 0,02 & 0,8^n < \dfrac{0,02}{0,4}\\[5pt]
 &  0,8^n < 0,05 & \ln\(0,8^n\) < \ln 0,05\\[5pt]
 &  n\,\ln 0,8 < \ln 0,05 & n > \dfrac{\ln 0,05}{\ln 0,8} \text{ car } \ln 0,8<0
\end{array}$

$\dfrac{\ln 0,05}{\ln 0,8} \approx 13,4$ donc $n=14$; la probabilité qu'un électeur choisi au hasard vote pour le parti Hirondelle sera inférieure à $0,32$ à partir de 14 années.

Remarque: on peut trouver à la calculatrice que $h_{13} \approx 0,322 >0,32$ et que $h_{14} \approx 0,318<0,32$.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 4 points}%   \section{exercice 4}

\textbf{Commun à tous les candidats}

 
\begin{enumerate}
\item On complète l'arbre pondéré donné pour qu'il traduise les données de l'expérience aléatoire décrite dans l'énoncé: 

\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,levelsep=4cm,labelsep=2pt,nodesepB=1.5pt]{\TR{}}
{\pstree[nodesepA=2pt]{\TR{$E_{0}$}\taput{\red $0,44$}}
	  {
	   \TR{$A$}\taput{0}
       \TR{$\overline{A}$}\tbput{1}	   
	  }
	\pstree[nodesepA=2pt]{\TR{$E_{1}$}\taput{\red $0,28$}}
	  {
	   \TR{$A$}\taput{\red $0,56$}
	   \TR{$\overline{A}$}\tbput{\red $1-0,56=0,44$}
	  }
	\pstree[nodesepA=1pt]{\TR{$E_{2+}$}\tbput{\red $0,28$}}
	  {
	   \TR{$A$}\taput{\red $0,73$}
	   \TR{$\overline{A}$}\tbput{\red $1-0,73=0,27$}
	  }	
}
\end{center} 

\bigskip

\item La probabilité que la personne choisie soit de la catégorie L1 et qu'elle ne parle pas \og{}bien\fg{} l'anglais est $P\(E_1 \cap \overline A\)$:

$P\(E_1 \cap \overline A\) = P\(E_1\) \times P_{E_1}\(\overline A\)=0,28 \times 0,44 = \np{0,1232}$
 
\item La probabilité que la personne choisie ne parle pas \og{}bien\fg{} l'anglais est $P\(\overline A\)$.

D'après la formule des probabilités totales:

$P\(\overline A\) = P\(E_0 \cap \overline A\) + P\(E_1 \cap \overline A\) + P\(E_{2+} \cap \overline A\)\\
\phantom{P\(\overline A\)} = P\(E_0\) \times P_{E_0}\(\overline A\) + P\(E_1\) \times P_{E_1}\(\overline A\) + P\(E_{2+}\) \times P_{E_{2+}}\(\overline A\)\\
\phantom{P\(\overline A\)} = 0,44 \times 1 + 0,28 \times 0,44 + 0,28 \times 0,27 = 0,44 + 0,1232 + 0,0756\\
\phantom{P\(\overline A\)}  = \np{0,6388}$

\item La probabilité que la personne soit de la catégorie L2+ sachant qu'elle parle \og{}bien\fg{} l'anglais est $P_{A}\(E_{2+}\)$. 

$P_{A}\(E_{2+}\) = \dfrac{P\(A \cap E_{2+}\)}{P\(A\)}
 = \dfrac{P\(E_{2+}\) \times P_{E_{2+}}\(A\)}{P\(A\)}$;\\[5pt]
or $P\(A\)=1-P\(\overline A\) = 1-0,6388 = \np{0,3612}$ donc
$P_{A}\(E_{2+}\) = \dfrac{0,28 \times 0,73}{\np{0,3612}} \approx \np{0,5659}$

\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 5}\hfill 5 points}%   \section{exercice 5}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}

		\item 
On a observé que $78$~copies ont obtenu une note supérieure ou égale à 10, donc la proportion de copies de l'échantillon ayant obtenu une note supérieure ou égale à 10 est:
$f=\dfrac{78}{160}=\np{0,4875}$.

		\item Un intervalle de confiance au niveau de confiance de 95\,\% de la proportion des copies qui obtiendront une note supérieure ou égale à 10 dans l'ensemble des copies est donné par $I_n=\left[ f-\dfrac{1}{\sqrt n}\:;\: f+\dfrac{1}{\sqrt n}\right]$ où $n$ est la taille de l'échantillon et $f$ la fréquence observée dans cet échantillon.
		
$I_n=\left[ \np{0,4875} - \dfrac{1}{\sqrt{160}}\:;\: \np{0,4875} + \dfrac{1}{\sqrt{160}} \right] \approx \left[ \np{0,4084} \:;\: \np{0,5666} \rule{0pt}{11pt} \right]$ 
		
		
		\item 	
L'amplitude de l'intervalle $I_n$ est $f+\dfrac{1}{\sqrt n} - \(f-\dfrac{1}{\sqrt n}\) = \dfrac{2}{\sqrt n}$. 

Pour que cette amplitude soit inférieure à 0,04 il faut déterminer $n$ tel que $\dfrac{2 \rule{0pt}{10pt}}{\sqrt n} < 0,04$. 

On résout cette inéquation:

$\dfrac{2}{\sqrt n} < 0,04 \ssi 2 < 0,04 \times \sqrt n \ssi \dfrac{2}{0,04} < \sqrt n \ssi 50 < \sqrt n \ssi \np{2500} < n$

\smallskip

Il faut donc que l'échantillon ait une taille supérieure à \np{2500} pour que l'intervalle de confiance au seuil 95\,\% ait une amplitude inférieure à 0,04. 
		
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}

		\item 
On sait que si une variable aléatoire $X$ suit une loi normale de moyenne $\mu$ et d'écart-type $\sigma$, alors $P\(X \in \left[ \mu - 2\sigma \:;\: \mu + 2\sigma \right]\) \approx 0,95$.

Ici $\mu=10,5$ et $\sigma = 2$, donc l'intervalle $\left[ 10,5-4  \:;\: 10,5+4 \right] = \left[ 6,5  \:;\: 14,5 \right]$ devrait contenir à peu près 95\,\% des notes des candidats.
		
		 
		\item 
La calculatrice donne directement $P\( X > 12 \) \approx \np{0,2266}$.

En utilisant le tableau fourni en annexe: \\
$P\( X > 12 \) = 1 - P\(X \pp 12\) \approx 1 - \np{0,7734} \approx \np{0,2266}$.

		\item 
Le graphique fourni en annexe a une allure générale de \og{}courbe en cloche\fg{} qui représente une loi normale.

On peut voir que la note $9,5$ est sous-représentée: cela correspond au fait que les jurys ont accordé quelques points aux candidats qui avaient un bon livret scolaire pour qu'ils atteignent la moyenne de 10.

\textit{On peut également constater que la note 8 est sur-représentée; sans doute y a-t-il eu un \og{}coup de pouce\fg{} des jurys pour que certaines moyennes qui étaient en dessous de 8 passent à 8 pour que les candidats ayant travaillé régulièrement dans l'année puissent se présenter au second groupe d'épreuves.}

\textit{De même les notes 12, 14 et 16 ont l'air un peu sur-représentées, sans doute pour accorder des mentions aux candidats méritants à qui il ne manquait que quelques points.}

	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\end{document}
