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%Merci pour le sujet à Sébastien Dibos
%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Nouvelle-Calédonie 28 août 2023 Jour 1~\decofourright\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ }}

\bigskip

Durée de l'épreuve : \textbf{4 heures}

\medskip

L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé

\medskip

Le sujet propose 4 exercices

\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \quad 5 points\hfill}

\medskip

Une entreprise de location de bateaux de tourisme propose à ses clients deux types de bateaux : bateau à voile et bateau à moteur.

Par ailleurs, un client peut prendre l'option PILOTE. Dans ce cas, le bateau, qu'il soit à voile ou à moteur, est loué avec un pilote.

On sait que:
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 60\,\% des clients choisissent un bateau à voile;
parmi eux, 20\,\% prennent l'option PILOTE.
\item[$\bullet~$] 42\,\% des clients prennent l'option PILOTE.
\end{itemize}

On choisit au hasard un client et on considère les évènements :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]$V$: \og le client choisit un bateau à voile\fg{} ;
\item[$\bullet~$]$L$: \og le client prend l'option PILOTE ».
\end{itemize}

\begin{center}\emph{Les trois parties peuvent être traitées de manière indépendante}\end{center}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire la situation par un arbre pondéré que l'on complètera au fur et à mesure.
\item Calculer la probabilité que le client choisisse un bateau à voile et qu'il ne prenne pas l'option PILOTE.
\item Démontrer que la probabilité que le client choisisse un bateau à moteur et qu'il prenne l'option PILOTE est égale à $0,30$.
\item En déduire $P_{\overline{V}}(L)$, probabilité de $L$ sachant que $V$ n'est pas réalisé.
\item Un client a pris l'option PILOTE.

Quelle est la probabilité qu'il ait choisi un bateau à voile ? Arrondir à $0,01$ près.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
Lorsqu'un client ne prend pas l'option PILOTE, la probabilité que son bateau subisse une avarie est égale à $0,12$. Cette probabilité n'est que de $0,005$ si le client prend l'option PILOTE.

On considère un client. On note $A$ l'évènement: \og son bateau subit une avarie \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $P(L \cap A)$ et $P\left(\overline{L} \cap A\right)$.
\item L'entreprise loue \np{1000} bateaux.

À combien d'avaries peut-elle s'attendre ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip
On rappelle que la probabilité qu'un client donné prenne l'option PILOTE est égale à 0,42.

On considère un échantillon aléatoire de $40$ clients. On note $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de clients de l'échantillon prenant l'option PILOTE.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Donner sans justification ses paramètres.
\item Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$, qu'au moins $1$5~clients prennent l'option PILOTE.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \quad 5 points\hfill}

\medskip

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 3$ et, pour tout entier naturel $n$, par:
\[u_{n+1} = 5u_n - 4n - 3.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $u_1 = 12$.
		\item Déterminer $u_2$ en détaillant le calcul.
		\item À l'aide de la calculatrice, conjecturer le sens de variation ainsi que la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : \[u_n\geqslant n + 1.\]
		\item En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
	\end{enumerate}
\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par: \[v_n = u_n - n - 1.\]
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique.
		
Donner sa raison et son premier terme $v_0$.
		\item En déduire, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n$ :
\[u_n = 2 \times 5^n + n + 1.\]
		\item En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
	\end{enumerate}


%\parbox{0.65\linewidth}{
%On considère la fonction ci-contre, écrite de manière incomplète en langage Python et destinée à renvoyer le plus petit entier naturel $n$
%tel que $u_n \geqslant 10^7$.}
%\hfill
%\parbox{0.3\linewidth}{
%\begin{tabular}{|l|}\hline
%def suite() :\\
%\hspace{0.75cm} u = 3\\
%\hspace{0.75cm} n=0 \\
%\hspace{0.75cm}d while \ldots :\\
%\hspace{1.25cm} \quad u = \ldots \\
%\hspace{1.25cm} \quad n=n+1\\
%\hspace{0.75cm} return n\\ \hline
%\end{tabular}}
%
%	\begin{enumerate}
%		\item Recopier le programme et compléter les deux instructions manquantes.
%		\item Quelle est la valeur renvoyée par cette fonction ?
%	\end{enumerate}

\item 
\begin{minipage}[t]{0.68\linewidth}
On considère la fonction ci-contre, écrite de manière incomplète en langage Python et destinée à renvoyer le plus petit entier naturel $n$
tel que $u_n \geqslant 10^7$.
\begin{enumerate}
		\item Recopier le programme et compléter les deux instructions manquantes.
		\item Quelle est la valeur renvoyée par cette fonction ?
	\end{enumerate}
\end{minipage}	
\hfill
\begin{minipage}[t]{0.27\linewidth}
\begin{tabular}[t]{|l|}\hline
def suite() :\\
\hspace{0.75cm} u = 3\\
\hspace{0.75cm} n = 0 \\
\hspace{0.75cm} while \ldots :\hspace*{0.5cm}\\
\hspace{1.25cm} \quad u = \ldots \\
\hspace{1.25cm} \quad n = n + 1\\
\hspace{0.75cm} return n\\ \hline
\end{tabular}
\end{minipage}
	
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \quad 5 points\hfill}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. \\
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. \\
Aucune justification n'est demandée. \\
Une réponse fausse, une absence de réponse, ou une réponse multiple, ne rapporte
ni n'enlève de point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par: $f(x) = (x + 1)\text{e}^x$. 

Une primitive $F$ de $f$ sur $\R$ est définie par:
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{a.~}$F(x) = 1+x\e^x$ &\textbf{b.~}$F(x) = (1+x)\e^x$\\
\textbf{c.~}$F(x) = (2 + x)\e^x$&\textbf{d.~}$F(x) = \left(\dfrac{x^2}{2}  + x\right)\e^x$.
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}
Dans toute la suite de l'exercice, on se place dans l'espace muni d'un repère
orthonormé \Oijk

\begin{enumerate}[resume]
\item On considère les droites $\left(d_1\right)$ et $\left(d_2\right)$ dont des représentations paramétriques sont respectivement:
\begin{center}
$\left(d_1\right)\left\{\begin{array}{l c r}
x&=&2+r\\
y&=&1 + r\\
z&=&- r
\end{array}\right. \:(r \in \R)$\quad et 
$\left(d_2\right)\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&\phantom{-}1 - s\\
y&=&-1 + s\\
z&=&\phantom{-}2 - s
\end{array}\right. \:(s \in \R)$\end{center}

Les droites $\left(d_1\right)$ et $\left(d_2\right)$  sont: 
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{a.~}sécantes.&\textbf{b.~}strictement parallèles.\\
\textbf{c.~}confondues.&\textbf{d.~}non coplanaires.
\end{tabularx}
\end{center}
\item 
On considère le plan $(P)$ dont une équation cartésienne est: 
\[2x - y + z - 1 = 0.\]
On considère la droite $(\Delta)$ dont une représentation paramétrique est:
\[\left\{\begin{array}{l c r}
x&=&2 + u\\
y&=&4 + u\\
z&=&1 - u
\end{array}\right. \:(u \in \R)\]
La droite $(\Delta)$  est:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{a.~}sécante et non orthogonale\newline \hspace*{0.3cm} au plan $(P)$.&b. incluse dans le plan $(P)$.\\
\textbf{c.~}strictement parallèle au plan $(P)$.&\textbf{d.~} orthogonale au plan $(P)$.
\end{tabularx}
\end{center}

\item On considère le plan $\left(P_1\right)$ dont une équation cartésienne est $x - 2y + z + 1 = 0$, ainsi que le plan $\left(P_2\right)$ dont une équation cartésienne est $2x + y + z - 6 = 0$.

Les plans $\left(P_1\right)$ et $\left(P_2\right)$ sont:
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{a.~}sécants et perpendiculaires.&\textbf{b.~} confondus.\\
\textbf{c.~} sécants et non perpendiculaires.& \textbf{d.~} strictement parallèles.
\end{tabularx}
\end{center}

\item On considère les points E(1~;~2~;~1), F(2~;~4~;~3) et G$(-2~;~ 2~;~5)$.

On peut affirmer que la mesure $\alpha$ de l'angle $\widehat{\text{FEG}}$ vérifie:
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X X X}
\textbf{a.~~}$\alpha = 90\degres$&\textbf{b.~\phantom{-}}$\alpha > 90\degres$
 &\textbf{c.~~}$\alpha = 0\degres$&\textbf{d.~~}$\alpha \approx  71\degres$
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \quad 5 points\hfill}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+\infty[$  par :
\[f(x) = 5x^2 + 2x - 2x^2\ln (x).\]

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal du plan.

On admet que $f$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.

On note $f'$ sa dérivée et $f''$ sa dérivée seconde.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la limite de la fonction $f$ en $0$ est égale à $0$.
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer $f'(x)$ pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+\infty[$
\[f''(x) = 4(1 - \ln (x)).\]
		\item En déduire le plus grand intervalle sur lequel la courbe $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de ses tangentes.
		\item Dresser le tableau des variations de la fonction $f'$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.

(On admettra que $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 0\\x>0}} f'(x) = 2$ et que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f'(x) = - \infty$.)
	\end{enumerate}	
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $f'(x) = 0$ admet dans l'intervalle $]0~;~+\infty[$ une unique solution $\alpha$ dont on donnera un encadrement d'amplitude $10^{-2}$.
		\item En déduire le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ ainsi que le tableau des variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant l'égalité $f'(\alpha) = 0$, démontrer que : 
		
\[\ln (\alpha) = \dfrac{4\alpha + 1}{2\alpha}.\]
 En déduire que $f(\alpha) = \alpha^2 + \alpha$.
		\item En déduire un encadrement d'amplitude $10^{-1}$ du maximum de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}