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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture :
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat spécialité Jour 2}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{21 novembre 2025}}
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\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Nouvelle-Calédonie 21 novembre 2025~\decofourright\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ Jour 2}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

L’usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé.\\
L’usage de la calculatrice sans mémoire \og type collège \fg est autorisé.

La qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie.

Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.

\section*{Exercice 1 \hfill 4 points}

\emph{Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.}

\medskip

\begin{minipage}{0.6\linewidth}
On considère un cube ABCDEFGH d'arête 1 et le point I défini par $\vect{\text{FI}} = \dfrac{1}{3} \vect{\text{FB}}$.

On pourra se placer dans le repère orthonormé de l'espace $\left(\text{A}~;~ \vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~ \vect{\text{AE}}\right)$.
\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}{0.37\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,5.3)
\psframe(0.2,0.2)(3.8,3.8)%ABFE
\psline(3.8,0.2)(5.6,1.4)(5.6,5)(3.8,3.8)%BCGF
\psline(5.6,5)(2,5)(0.2,3.8)%GHE
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(2,1.4)(5.6,1.4)%ADC
\psline[linestyle=dashed](2,1.4)(2,5)%DH
\uput[dl](0.2,0.2){A} \uput[dr](3.8,0.2){B} \uput[r](5.6,1.5){C} \uput[l](2,1.5){D}
\uput[ul](0.2,3.8){E} \uput[ul](3.8,3.8){F} \uput[ur](5.6,5){G} \uput[u](2,5){H}
\uput[r](3.8,2.6){I}
\psdots(0.2,0.2)(3.8,0.2)(5.6,1.4)(2,1.4)(0.2,3.8)(3.8,3.8)(5.6,5)(2,5)(3.8,2.6)
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère le triangle HAC.

\textbf{Affirmation 1 :} Le triangle HAC est un triangle rectangle.
\item On considère les droites (HF) et (DI).

\textbf{Affirmation 2 :} Les droites (HF) et (DI) sont sécantes.

\item On considère un réel $\alpha$ appartenant à l'intervalle $]0~;~\pi[$.

On considère le vecteur $\vect{u}$ de coordonnées $\begin{pmatrix} \sin(\alpha) \\ \sin(\pi - \alpha) \\ \sin(-\alpha) \end{pmatrix}$.

\textbf{Affirmation 3 :} Le vecteur $\vect{u}$ est un vecteur normal au plan (FAC).

\item Le cube ABCDEFGH possède 8 sommets. On s'intéresse au nombre $N$ de segments que l'on peut construire en reliant 2 sommets distincts quelconques du cube.

\textbf{Affirmation 4 :} $N = \dfrac{8^2}{2}$.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2 \hfill 6 points}

\begin{minipage}{0.58\linewidth}
Dans le repère orthonormé (O~;~I, J) ci-contre, on a représenté :
\begin{itemize}
\item la droite d'équation $y = x$;
\item la droite d'équation $y = 1$;
\item la droite d'équation $x = 1$;
\item la parabole d'équation $y = x^2$.
\end{itemize}

On peut ainsi partager le carré OIKJ en trois zones.
\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}{0.42\linewidth}
\psset{unit=5cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.2)(1.1,1.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O}\uput[dr](1,0){I}\uput[ul](0,1){J}\uput[ur](1,1){K}
\psline[linewidth=1.25pt](1,0)(1,1)(0,1)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=red](1,1)
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{1}{x dup mul}
\rput(0.2,0.7){ZONE 1}\rput(0.8,0.2){ZONE 2}\rput{45}(0.5,0.4){\red ZONE 3}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\begin{center}\emph{Les parties {\rm B} et {\rm C} peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre}\end{center}

\subsection*{Partie A}

Démontrer les résultats figurant dans le tableau ci-dessous.

\begin{center}
%\renewcommand\arraystretch{1.9}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
ZONE & ZONE 1 & ZONE 2 & ZONE 3 \\ \hline
AIRE & $\dfrac{1}{2}$ & $\dfrac{1}{3}$ & $\dfrac{1}{6}$\rule[-10pt]{0mm}{30pt}\\ 
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\subsection*{Partie B : un premier jeu}

Un joueur lance une fléchette sur le carré ci-dessus. On admet que la probabilité qu'elle tombe sur une zone est égale à l'aire de cette zone. Ainsi, la probabilité que la fléchette tombe sur la ZONE 3 est égale à $\dfrac{1}{6}$.

\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
\item Si la fléchette tombe sur la ZONE 3, alors le joueur lance une pièce équilibrée.

Si la pièce tombe sur PILE, alors le joueur gagne, sinon il perd.
\item Si la fléchette tombe sur une autre zone que la ZONE 3, alors le joueur lance un dé équilibré à six faces. Si le dé tombe sur la FACE 6, alors le joueur gagne, sinon il perd.
\end{itemize}

\medskip

On note les évènements suivants :

\begin{description}
\item[ ] $T$ : \og la fléchette tombe sur la ZONE 3 \fg{} ;
\item[ ] $G$ : \og le joueur gagne \fg.
\end{description}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter la situation par un arbre pondéré.
\item Démontrer que la probabilité de l'évènement $G$ est égale à $\dfrac{2}{9}$.
\item On sait que le joueur a gagné. Quelle est la probabilité que la fléchette soit tombée sur la ZONE 3 ?
\end{enumerate}

\subsection*{Partie C : un second jeu}

Un joueur, appelé joueur $\no 1$, lance une fléchette sur le carré précédent. Comme dans la partie B, on admet que la probabilité que la fléchette tombe sur chacune des zones est égale à l'aire de cette zone.

Le joueur gagne une somme égale, en euros, au numéro de la zone. Par exemple, si la fléchette tombe sur la ZONE 3, le joueur gagne 3 euros.

On note $X_{1}$ la variable aléatoire donnant le gain du joueur $\no 1$.

On note respectivement $E(X_{1})$ et $V(X_{1})$ l'espérance et la variance de la variable aléatoire $X_{1}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $E(X_{1})$.
		\item Montrer que $V(X_{1}) = \dfrac{5}{9}$.
	\end{enumerate}
\item  Un joueur $\no 2$ et un joueur $\no 3$ jouent à leur tour, dans les mêmes conditions que le joueur $\no 1$. On admet que les parties de ces trois joueurs sont indépendantes les unes des autres.

On note $X_{2}$ et $X_{3}$ les variables aléatoires donnant les gains des joueurs $\no 2$ et $\no 3$. On note $Y$ la variable aléatoire définie par $Y = X_{1} + X_{2} + X_{3}$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la probabilité que l'on ait $Y = 9$.
		\item Calculer $E(Y)$.
		\item Justifier que $V(Y) = \dfrac{5}{3}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3\hfill 5 points}

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par :

\[ f(x) = \ln \left(\e^{\frac{x}{2}} + 2\right) \]

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.

On considère la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} = \ln (9)$ et, pour tout entier naturel $n$,

\[ u_{n+1} = f(u_{n}) \]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
\item Montrer que $f(2\ln (2)) = 2\ln (2)$.
\item Montrer que $u_{1} = \ln (5)$.
\item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a :

\[2\ln(2) \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n}\]

\item En déduire que la suite $(u_{n})$ converge.

\item
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation $X^{2} - X - 2 = 0$.
		\item En déduire l'ensemble des solutions sur $R$ de l'équation :

\[\e^{x} - \e^{\frac{x}{2}} - 2 = 0\]

		\item En déduire l'ensemble des solutions sur $\R$ de l'équation $f(x) = x$.
		\item Déterminer la limite de la suite $(u_{n})$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 4 \hfill 5 points}

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par :

\[f(x) = \dfrac{\ln (x)}{x^{2}} + 1\]

On note $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+\infty$.

En déduire les éventuelles asymptotes à la courbe $\mathcal{C}_{f}$.
\item Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~ +\infty[$, on a :

\[f'(x) = \dfrac{1 - 2\ln(x)}{x^{3}}\]

\item En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ possède une unique solution, notée $\alpha$, sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$.
		\item Donner un encadrement du réel $\alpha$ d'amplitude $0,01$.
		\item En déduire le signe de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$.
	\end{enumerate}
\item On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par :

\[g(x) = \ln(x)\]

On note $\mathcal{C}_{g}$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthonormé d'origine O. On considère un réel $x$ strictement positif et le point M de la courbe $C_{g}$ d'abscisse $x$. On note OM la distance entre les points O et M.

	\begin{enumerate}
		\item Exprimer la quantité OM$^{2}$ en fonction du réel $x$.
		\item Montrer que, lorsque le réel $x$ parcourt l'intervalle $]0~;~ +\infty[$, la quantité OM$^{2}$ admet un minimum en $\alpha$.
		\item La valeur minimale de la distance OM, lorsque le réel $x$ parcourt l'intervalle $]0~;~+\infty[$, est appelée distance du point O à la courbe $\mathcal{C}_{g}$. On note $d$ cette distance.

Exprimer $d$ à l'aide de $\alpha$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}