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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 1957}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Nouvelle-Calédonie novembre 1957}}

\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer pour $a = \sqrt 3$ la valeur numérique des deux expressions

\begin{center}$a^2 + 1$\quad et \quad $(a + 1)\left(a^2 - a + 1\right)$.\end{center}

\item Montrer, en développant le produit, que ces deux expressions sont égales pour toute valeur de $a$.
\item Simplifier la fraction

\[\dfrac{a^2 + \dfrac 1a}{a + \dfrac 1a - 1}.\]

\item On remplace dans la fraction précédente $a$ par $(x - 1)$.

Calculer la valeur de la nouvelle fraction obtenue.

Pouvait-on prévoir le résultat ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\Large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

On donne un triangle rectangle isocèle OAB d'hypoténuse [AB] telle que AB $= a$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer OA et OB.
\item On construit sur [AB], du côté de O, le carré ABCD.

Démontrer que le sommet C est sur la droite (AO) et le sommet D sur la droite (BO).
\item À l'intérieur de ce carré, on mène la demi-droite [Ax), telle que l'angle $\widehat{\text{BA}x} = 30\degres$, qui coupe le côté [BC] en E.

Calculer CE.

On projette le point E en F sur (AC).

Calculer EF.
\item Calculer l'aire du triangle ACE.
\end{enumerate}
\end{document}