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%Merci pour le sujet à  Sébastien Dibos
%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Nouvelle-Calédonie 29 août 2023 Jour 2~\decofourright\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ }}

\bigskip

Durée de l'épreuve : \textbf{4 heures}

\medskip

L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé

\medskip

Le sujet propose 4 exercices

\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \quad 5 points\hfill}

\medskip

\begin{minipage}{6.7cm}On considère le cube ABCDEFGH d'arête 1 représenté ci-contre.

On note K le milieu du segment [HG].

On se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AB}}, \vect{\text{AE}}\right)$.

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que les points C, F et K définissent un plan.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner, sans justifier, les longueurs KG, GF et GC.
		\item Calculer l'aire du triangle FGC.
		\item Calculer le volume du tétraèdre FGCK.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{6.7cm}
\psset{unit=0.75cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-2.8,-2.4)(5,5.3)
\psline[linestyle=dashed](3,0)(0,0)(0,3)
\psline[linestyle=dashed](-1.3,-1.3)
\psline[linewidth=1.25pt](3,0)(5,0)
\psline[linewidth=1.25pt](0,3)(0,5.3)
\psline[linewidth=1.25pt](-1.3,-1.3)(-2.8,-2.8)
\psframe[linewidth=1.25pt](-1.3,-1.3)(1.7,1.7)
\psline[linewidth=1.25pt](1.7,-1.3)(3,0)(3,3)(1.7,1.7)
\psline[linewidth=1.25pt](3,3)(0,3)(-1.3,1.7)
\uput[ur](0,0){A} \uput[dr](3,0){B} \uput[dr](1.7,-1.3){C} \uput[dr](-1.3,-1.3){D}
\uput[ul](0,3){E} \uput[ur](3,3){F} \uput[ul](1.7,1.7){G} \uput[ul](-1.3,1.7){H}
\uput[ul](-2.8,-2.8){$x$} \uput[u](5,0){$y$} \uput[r](0,5.3){$z$}
\psdots(0,0)(3,0)(1.7,-1.3)(-1.3,-1.3)(0,3)(3,3)(1.7,1.7)(-1.3,1.7)(0.2,1.7)
\uput[u](0.2,1.7){K}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\smallskip
	
On rappelle que le volume $V$ d'un tétraèdre est donné par:
\[V = \dfrac13\mathcal{B} \times h,\]
où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur correspondante.

\begin{enumerate}[start=3]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On note $\vect{n}$ le vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$.
		
Démontrer que $\vect{n}$ est normal au plan (CFK).
		\item  En déduire qu'une équation cartésienne du plan (CFK) est:
\[x + 2y + z - 3 = 0.\]
	\end{enumerate}
\item On note $\Delta$ la droite passant par le point G et orthogonale au plan (CFK). 

Démontrer qu'une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est:
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&1 + t\\
y&=&1 + 2t\\
z&=&1 + t
\end{array}\right. \quad  (t \in \R))\]
\item Soit L le point d'intersection entre la droite $\Delta$ et le plan (CFK).
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées du point L.
		\item En déduire que LG $= \dfrac{\sqrt 6}{6}$.
	\end{enumerate}
\item En utilisant la question 2., déterminer la valeur exacte de l'aire du triangle CFK.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \quad 5 points\hfill}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~ +\infty[$ par:
\[f(x) = x\e^{-x}.\]
On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan.

On admet que $f$ est deux fois dérivable sur $[0~;~ +\infty[$.

On note $f'$ sa dérivée et $f''$ sa dérivée seconde.

\medskip

\begin{enumerate}
\item En remarquant que pour tout $x$ dans $[0~;~ +\infty[$, on a 
\[f(x) = \dfrac{x}{\e^x}.\]
démontrer que la courbe $\mathcal{C}_f$ possède une asymptote en $+ \infty$ dont on donnera une équation.
\item Démontrer que pour tout réel $x$ appartenant à $[0~;~ +\infty[$ : 
\[f'(x) = (1 - x)\e^{-x}.\]
\item Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0~;~ +\infty[$ , sur lequel on fera figurer les valeurs aux bornes ainsi que la valeur exacte de l'extremum.
\item Déterminer, sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$, le nombre de solutions de l'équation 
\[f(x) = \dfrac{367}{\np{1000}}.\]
\item On admet que pour tout $x$ appartenant à $[0~;~ +\infty[$ : 
\[f''(x) = \e^{-x}(x - 2).\]

Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$.

\begin{minipage}{6cm}
\item Soit $a$ un réel appartenant à $[0~;~ +\infty[$ et A le
point de la courbe $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $a$.

On note $T_a$ la tangente à $\mathcal{C}_f$ en A.

On note H$_a$ le point d'intersection de la droite $T_a$ et de l'axe des ordonnées.

On note $g(a)$ l'ordonnée de H$_a$.

La situation est représentée sur la figure ci-contre.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{7cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=8cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1,-0.1)(6,0.5)
\psaxes[linewidth=1.15pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-1,0)(6,0.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{6}{x 2.71828 x exp div}
\uput[u](4,0.073){\red $\mathcal{C}_f$}
\psplotTangent{0.75}{1.25}{x 2.71828 x exp div}
\uput[u](0.75,0.354){A}
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.3pt](0.75,0)(0.75,0.354)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-0.3,0)(-0.3,0.265)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.3pt](0,0.265)(-0.3,0.265)
\uput[l](-0.3,0.1325){$g(a)$}
\uput[ul](0,0.265){H$_a$}
\uput[d](0.75,0){$a$}\uput[u](2,0.4){$T_a$}
\end{pspicture}
\end{minipage}

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer qu'une équation réduite de la tangente $T_a$ est:
\[y = \left[(1- a)\e^{-a}\right]x + a^2\e^{-a}.\]
		\item En déduire l'expression de $g(a)$.
		\item Démontrer que $g(a)$ est maximum lorsque A est un point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_f$.
		
\emph{Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \quad 5 points\hfill}

\medskip

On considère la suite $\left(u_n\right)$ telle que $u_0 = 0$ et pour tout entier naturel $n$  : 
\[u_{n+1} = \dfrac{-u_n - 4}{u_n + 3}.\]

On admet que $u_n$ est défini pour tout entier naturel $n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les valeurs exactes de $u_1$ et $u_2$.
\item On considère la fonction \texttt{terme} ci-dessous écrite de manière incomplète en langage Python :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
\texttt{def terme (n) :}\\
\hspace{0.75cm}\texttt{u = \ldots}\\
\hspace{0.75cm}\texttt{for i in range(n):}\\
\hspace{1.25cm}\texttt{u = \ldots}\\
\hspace{0.75cm}\texttt{return(u)}\\ \hline
\end{tabular}
\qquad 
\begin{tabular}{p{5cm}}
On rappelle qu'en langage Python, \og \texttt{i in range (n)} \fg{} signifie
que $i$ varie de $0$ à $n - 1$.
\end{tabular}
\end{center}

Recopier et compléter le cadre ci-dessus de sorte que, pour tout entier naturel $n$, l'instruction \texttt{terme (n)} renvoie la valeur de $u_n$.
\item Soit la fonction $f$ définie sur $]- 3~;~+\infty[$ par:
\[f(x) = \dfrac{- x - 4}{x+ 3}.\]

Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.

Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $]- 3~;~+\infty[$.
\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ :
\[- 2 < u_{n+1} \leqslant u_n.\]
\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
\item Soit la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par:
\[v_n = \dfrac{1}{u_n + 2}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Donner $v_0$.
		\item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est arithmétique de raison 1.
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n \geqslant 1 :$
\[u_n = \dfrac{1}{n + 0,5}  - 2.\]
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \quad 5 points\hfill}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. \\
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\ Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. \\
Aucune justification n'est demandée. \\
Une réponse fausse, une absence de réponse, ou une réponse multiple, ne rapporte
ni n'enlève de point.}

\begin{center}
\textbf{L'énoncé ci-dessous est commun aux questions 1. et 2.}\end{center}

Les $200$ adhérents d'un club sont des filles ou des garçons. Ces adhérents pratiquent l'aviron ou le basket selon la répartition figurant dans le tableau ci-dessous.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{~}&\textbf{Aviron} &\textbf{Basket}&\textbf{Total}\\ \hline
\textbf{Filles} &25& 80 &105\\ \hline
\textbf{Garçons}& 50 &45& 95\\ \hline
\textbf{Total}& 75& 125& 200\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

On choisit un adhérent au hasard et on considère les évènements suivants:

\begin{description}
\item[ ] $F$ : l'adhérent est une fille ;
\item[ ] $A$ : l'adhérent pratique l'aviron.
\end{description}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La probabilité de $F$ sachant $A$ est égale à :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}$\dfrac{25}{100}$&\textbf{b.~~}$\dfrac{25}{75}$&\textbf{c.~~}$\dfrac{25}{105}$&\textbf{d.~~}$\dfrac{75}{105}$
\end{tabularx}
\end{center}

\item La probabilité de l'évènement $A \cup  F$ est égale à :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}$\dfrac{9}{10}$&\textbf{b.~~}$\dfrac{1}{8}$&\textbf{c.~~}$\dfrac{31}{40}$&\textbf{d.~~}$\dfrac{5}{36}$
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{center} \textbf{L'énoncé ci-dessous est commun aux questions 3. et 4.}\end{center}

Pour se rendre à son travail, Albert peut utiliser au choix le bus ou le train.

\begin{center}
\begin{pspicture}(-3,-1)(3,1)
\rput(-3,0){\rnode{A}{\psframebox{Maison}}}
\rput(3,0){\rnode{B}{\psframebox{Travail}}}
\rput(0,1){\rnode{C}{\psframebox{Bus}}}
\rput(0,-1){\rnode{D}{\psframebox{Train}}}
\ncarc[linewidth=2pt,arcangle=20]{->}{A}{C}\ncarc[linewidth=2pt,arcangle=-20]{->}{A}{D}
\ncarc[linewidth=2pt,arcangle=20]{->}{C}{B}\ncarc[linewidth=2pt,arcangle=-20]{->}{D}{B}
\end{pspicture}
\end{center}

La probabilité que le bus soit en panne est égale à $b$.

La probabilité que le train soit en panne est égale à $t$.

Les pannes de bus et de train surviennent de façon indépendante.

\item La probabilité $p_1$ que le bus ou le train soient en panne est égale à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $p_1 = bt$ &\textbf{b.~~} $p_1 = 1 - bt$ &\textbf{c.~~} $p_1 = b + t$ &\textbf{d.~~} $p_1 = b + t - bt$
\end{tabularx}
\end{center}
\item La probabilité $p_2$ que Albert puisse se rendre à son travail est égale à : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}$p_2 = bt$ &\textbf{b.~~} $p_2 = 1 - bt$ &\textbf{c.~~} $p_2 = b + t $&\textbf{d.~~} $p_2 = b + t - bt$
\end{tabularx}
\end{center}
\item On considère une pièce de monnaie pour laquelle la probabilité d'obtenir FACE est égale à $x$.

On lance la pièce $n$ fois. Les lancers sont indépendants.

La probabilité $p$ d'obtenir au moins une fois FACE sur les $n$ lancers est égale à 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}$p = x^n$&\textbf{b.~~} $p = (1 - x)^n$& \textbf{c.~~}$p = 1 - x^n$& \textbf{d.~~}$p = 1 - (1 - x)^n$
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{document}