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%Tapuscrit : Arié Yallouz 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Centres Etrangers}}
\rfoot{\small{12 juin  2013}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Centres Etrangers  12 juin  2013~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

Les services de la mairie d'une ville ont étudié l'évolution de la population de cette ville. Chaque année, 12,5\,\% de la population quitte la ville et \np{1200} personnes s'y installent.

En 2012, la ville comptait \np{40000} habitants.

On note $U_n$ le nombre d'habitants de la ville en l'année $2012 + n$.

On a donc $U_0 = \np{40000}$.

On admet que la suite $\left( U_n \right)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par $U_{n+1} = 0,875 \times U_n + \np{1200}$.

On considère la suite $\left( V_n \right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $V_n = U_n - \np{9600}$.

\medskip

\emph{Les questions numérotées de $1$ à $5$ de cet exercice forment un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions, quatre affirmations sont proposées : une seule réponse est exacte. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Pour chaque question, le candidat notera sur sa copie le numéro de la question suivi de la proposition qui lui semble correcte. Aucune justification n'est demandée.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La valeur de $U_1$ est : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~} \np{6200} & \textbf{b.~~} \np{35000} &\textbf{c.~~} \np{36200} &\textbf{d.~~} \np{46200} \\
\end{tabularx}

\medskip

\item La suite $\left(V_n \right)$ est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2} X}
\textbf{a.~~}   géométrique de raison $-12,5 \%$ &\textbf{c.~~} géométrique de raison $-0,875$\\ 
\textbf{b.~~} géométrique de raison $0,875$ & \textbf{d.~~} arithmétique de raison $-\np{9600}$\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\item La suite $\left(U_n \right)$ a pour limite : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~} $+\infty$ 	&\textbf{b.~~} $0$ &\textbf{c.~~} $\np{1200}$ &\textbf{d.~~} $\np{9600}$
\end{tabularx}

\medskip
 
\item  On considère  l'algorithme suivant  :

\begin{center}
\framebox [7.5cm]{\begin{minipage}{7cm} 

\textsf {\textsc{variables} :}

\setlength\parindent{5mm}
$U$, $N$
\setlength\parindent{0mm}

\textsf {\textsc{initialisation} :}

\setlength\parindent{5mm}
$U$ prend la valeur \np{40000}

$N$ prend la valeur 0
\setlength\parindent{0mm}

\textsf {\textsc{traitement} :}

\setlength\parindent{5mm}
Tant que  $U> \np{10000}$

\begin{itemize}
\item[] $N$ prend la valeur $N + 1$
\item[] $U$ prend la valeur $0,875 \times  U + \np{1200}$
\end{itemize}

Fin du Tant que
\setlength\parindent{0mm}

\textsf {\textsc{sortie} :}

\setlength\parindent{5mm}
Afficher $N$
\setlength\parindent{0mm}

\end{minipage}}
\end{center} 

Cet algorithme permet d'obtenir :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2} X}
\textbf{a.~~}   la valeur de  $U_{\np{40000}}$ &\textbf{c.~~} le plus petit rang $n$ pour lequel on a  $U_n \leqslant \np{10000}$\\ 
\textbf{b.~~} toutes les valeurs de $U_0$ à $U_N$ & \textbf{d.~~} le nombre de termes inférieurs à \np{1200}\\
\end{tabularx}

\medskip
  
\item La valeur affichée est  :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~} $33$ 	&\textbf{b.~~} $34$ &\textbf{c.~~} $\np{9600}$ &\textbf{d.~~} $\np{9970,8}$\\
\end{tabularx}
\medskip 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

Une association de consommateurs a fait une enquête sur des ventes de sacs de pommes.

On sait que :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 15\,\% des sacs sont vendus directement dans l'exploitation agricole et le reste est vendu dans des supermarchés.
\item[$\bullet~$] Parmi les sacs vendus directement dans l'exploitation agricole, 80\,\% contiennent des pommes de variétés différentes et les autres ne contiennent qu'un seul type de pommes.
\item[$\bullet~$] Parmi les sacs vendus dans des supermarchés, 10\,\% contiennent des pommes de variétés différentes et les autres ne contiennent qu'un seul type de pommes.
\end{itemize}


On désigne par E l'évènement  \og les sacs de pommes sont vendus sur l'exploitation \fg{} et par V l'évènement \og les sacs contiennent des pommes de variétés différentes\fg.
 
L'évènement contraire de l'évènement A sera noté $\overline{\mathrm{A}}$.

On achète de façon aléatoire un sac de pommes.

\begin{enumerate}
\item Traduire les trois données de l'énoncé en termes de probabilités.
\item Construire un arbre pondéré traduisant cette situation.
\item Définir par une phrase l'évènement $\mathrm{E} \cap  \mathrm{V}$ puis calculer sa probabilité.
\item Montrer que la probabilité que le sac acheté contienne des pommes de variétés différentes est égale à $0,205$.
\item Le sac acheté contient des pommes d'une seule variété. 

Calculer la probabilité qu'il ait été acheté directement sur l'exploitation agricole, arrondir le résultat à $0,001$ près.
\item Des producteurs, interrogés lors de l'enquête, disposent ensemble de \np{45000} sacs. Chaque sac, qu'il contienne un seul type de pommes ou des pommes de variétés différentes, est vendu $0,80$~euro sur l'exploitation agricole et $3,40$~euros dans des supermarchés.

Calculer le montant total des ventes qu'ils peuvent prévoir.
\end{enumerate}
  

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

Dans le graphe ci-dessous, les sommets représentent différentes zones de résidence ou d'activités d'une municipalité. Une arête reliant deux de ces sommets indique l'existence d'une voie d'accès principale entre deux lieux correspondants.
 
\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=2.5cm,yunit=4cm}
\begin{pspicture}(0,0)(4,1)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{linewidth=1pt,linecolor=bleu}
\cnodeput(0,0){A}{\bleu \bf A}  \cnodeput(1,1){B}{\bleu \bf B}   \cnodeput(2,0.5){C}{\bleu \bf C}  \cnodeput(3,1){D} {\bleu \bf D} \cnodeput(2,0){E}{\bleu \bf E}  \cnodeput(3,0){F} {\bleu \bf F} \cnodeput(4,.5){G}{\bleu \bf G} 
\ncline{C}{A}\ncline{A}{B} \ncline{B}{E} \ncline{E}{C}\ncline{C}{B} \ncline{B}{D} \ncline{D}{G}
\ncline{G}{F} \ncline{F}{E} \ncline{E}{D} \ncline{D}{F}\ncline{F}{C}\ncline{C}{D}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner, sans justifier, le degré de chacun des sommets (la réponse pourra être présentée sous forme de tableau où les sommets seront mis dans l'ordre alphabétique).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la matrice $M$ associée au graphe (les sommets seront mis dans l'ordre alphabétique).
		\item On donne la matrice $M^3 =\begin{pmatrix}
2 & 7 & 8 & 5 & 5 & 5 & 3 \\
7 & 8 & 12 & 13 & 12 & 8 & 5\\
8 & 12 & 12 &15 & 13 & 13 & 5\\
5 & 13 & 15 & 12 & 13 & 12 & 8\\
5 & 12 & 13 & 13 & 10 & 12 & 5\\
5 & 8 & 13 & 12 & 12 & 8 & 7\\
3 & 5 & 5 & 8 & 5 & 7 & 2\\
\end{pmatrix}$

Déterminer, en justifiant, le nombre de chemins de longueur 3 reliant $A$ et $F$ puis donner leur liste.
	\end{enumerate}
\item Pour sa campagne électorale, un candidat souhaite parcourir toutes les voies d'accès principales de ce quartier sans emprunter plusieurs fois la même voie.

Montrer qu'un tel parcours est possible.
\item Dans le graphe ci-dessous, les valeurs indiquent, en minutes, les durées moyennes des trajets entre les différents lieux via les transports en commun.

\medskip

\begin{center}
 \psset{xunit=2.5cm,yunit=4cm}
\begin{pspicture}(0,0)(4,1)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{linewidth=1pt,linecolor=bleu}
\cnodeput(0,0){A}{\bleu \bf A}  \cnodeput(1,1){B}{\bleu \bf B}   \cnodeput(2,0.5){C}{\bleu \bf C}  \cnodeput(3,1){D} {\bleu \bf D} \cnodeput(2,0){E}{\bleu \bf E}  \cnodeput(3,0){F} {\bleu \bf F} \cnodeput(4,.5){G}{\bleu \bf G} 
\ncline{C}{A}\ncput*{\prune \bf \sf 4} \ncline{A}{B}\ncput*{\prune \bf \sf 8}  \ncline{B}{E} \ncput*{\prune \bf \sf 12} \ncline{E}{C}\ncput*{\prune \bf \sf 12}  \ncline{C}{B} \ncput*{\prune \bf \sf 8} \ncline{B}{D}\ncput*{\prune \bf \sf 4}  \ncline{D}{G}\ncput*{\prune \bf \sf 20} \ncline{G}{F}\ncput*{\prune \bf \sf 8}  \ncline{F}{E} \ncput*{\prune \bf \sf 4} \ncline{E}{D}\ncput*{\prune \bf \sf 12}  \ncline{D}{F} \ncput*{\prune \bf \sf 24} \ncline{F}{C} \ncput*{\prune \bf \sf 20} \ncline{C}{D}\ncput*{\prune \bf \sf 16} 
\end{pspicture}
\end{center}
 
\medskip
 
Ce même candidat se trouve à la mairie $(A)$ quand on lui rappelle qu'il a un rendez-vous avec le responsable de l'hôpital situé en zone $G$.
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant l'algorithme de Dijkstra, déterminer le chemin de durée minimale que ce candidat devra emprunter pour arriver à son rendez-vous.
		\item Combien de temps faut-il prévoir pour effectuer ce trajet ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[2~;~8]$ par : 

\[f(x)=\frac{-x^2 + 10x - 16}{x^2}\]

On appelle $(C)$ sa courbe représentative dans un repère.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel de l'intervalle $[2~;~8]$, on a : 

\[f'(x)=\frac{-10x + 32}{x^3}\]

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $[2~;~8]$.
		\item En déduire le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle $[2 ; 8]$.
	\end{enumerate}
\item On appelle $f''$ la dérivée seconde de $f$ sur $[2~;~8]$.

On admet que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[2~;~8]$, on a : 

\[f''(x) = \frac{20x-96}{x^4}\]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $f$ est une fonction convexe sur $[4,8~;~8]$.
		\item Montrer que le point de $(C)$ d'abscisse $4,8$ est un point d'inflexion.
	\end{enumerate}
\item On considère la fonction $F$ définie sur $[2~;~8]$ par :

\[F(x)=-x+10\ln x +\frac{16}{x}\]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur  $[2~;~8]$.
		\item Calculer  $I = \displaystyle\int_{2}^8 f(x)\:\mathrm{d}x$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip
 
Tous les jours, Guy joue à un jeu en ligne sur un site, avec trois amis.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Paul se connecte sur le site. La durée $D$ (en seconde) qu'il faut pour réunir les quatre joueurs est une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur l'intervalle $[20~;~120]$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la probabilité que les quatre joueurs soient réunis au bout de $60$~secondes.
		\item Calculer l'espérance mathématique de $D$. Interpréter ce résultat.
	\end{enumerate}
\item L'équipe est maintenant réunie et la partie peut commencer. La durée $J$ (en minute) d'une partie est une variable aléatoire qui suit la loi normale $\mathcal{N} (120,~400)$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'espérance et l'écart-type de la variable aléatoire $J$.
		\item Montrer l'équivalence : 

\[90 < J < 180 \Leftrightarrow - 1,5 < \frac{J - 120}{20} <3 \]

		\item On définit la variable aléatoire $X$ par $X =\dfrac{J - 120}{20}$.

Déterminer la loi suivie par la variable aléatoire $X$.
		\item Déterminer la probabilité que la partie dure entre $90$ et $180$ minutes, à $0,001$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}
