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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Centres étrangers A1}}
\rfoot{\small  juin 1994}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat A1 Centres étrangers~\decofourright\\ juin 1994}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : 

\[u_{1} = \dfrac{3}{2}\quad \text{et, pour tout }\:n \geqslant 1,\: u_{n+ 1} = \dfrac{3 + u_{n}}{2}.\]
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{2}$ et $u_{3}$.
 
La suite $\left(u_{n}\right)$ est-elle arithmétique ? géométrique ? Justifier vos réponses. 
\item Pour tout $n \geqslant 1$, on pose $v_{n} = 3 - u_{n}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ ainsi définie est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.
		 
Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$ . 
		\item En déduire $u_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Calculer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Une urne A contient trois boules : 1 rouge, 1 bleue et 1 noire.

Une urne B contient trois boules : 1 rouge et 2 noires.

Une urne C contient trois boules : 2 bleues et 1 noire.

On tire une boule, au hasard, de chaque urne.

On suppose que, dans chaque urne, les tirages sont équiprobables.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité P0 de n'obtenir aucune boule noire ?
		\item Quelle est la probabilité P1 d'obtenir exactement 1 boule noire ?
		\item Quelle est la probabilité P2 d'obtenir exactement 2 boules noires ?
		\item Quelle est la probabilité P3 d'obtenir 3 boules noires ?
	\end{enumerate}
\item Si on tire exactement 1 boule noire, on perd 1 point.
	
Si on tire 0 ou 2 boules noires, on gagne 0 point.
	
Si on tire 3 boules noires, on gagne 3 points.
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ qui à
tout tirage associe le gain réalisé.
		\item Calculer l'espérance mathématique de $X$.
		
La règle du jeu est-elle favorable au joueur ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 5 points}

\medskip

La courbe $(C)$ donnée ci-après représente dans le repère orthogonal \Oij{} la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
 
\[f(x) = \left(x - \dfrac{1}{2}\right) \text{e}^{2x} + 8 (1 - x) \text{e}^x - 1.\]
 
(unités graphiques: 2~cm en abscisses et 1~cm en ordonnées.) 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Par une lecture graphique:
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les valeurs de la dérivée $f'(x)$ pour $x = 0$ et $x = \ln 4$. 
		\item Déterminer le signe de $f'(x)$ pour $x = - 1$ et pour $x = 1$. 
		\item À l'aide de la calculatrice, donner un encadrement, d'amplitude $10^{- 1}$, du nombre $x_0$ solution de l' équation $f(x) = 0$. 
	\end{enumerate}
\item On complète, par le calcul, l'étude de la fonction $f$
 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$ (on remarquera que $x\text{e}^{2x} = x\text{e}^x\text{e}^x$). 
		
En déduire que la courbe $(C)$ admet une asymptote que l'on précisera. 
		\item Montrer que, pour tout $x$ non nul, 

\[f(x) = x\text{e}^{2x} \left(1 - \dfrac{1}{2x} + \dfrac{8}{x\text{e}^x} - \dfrac{8}{\text{e}^x} - \dfrac{1}{x\text{e}^{2x}} \right).\]
 
En déduire la limite de $f$ en $+ \infty$.
	\end{enumerate} 
\item Le but de cette partie est de déterminer l'aire $\mathcal{A}$ du domaine hachuré sur le graphique. 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par 
		
		\[g(x) = \dfrac{1}{2} \text{e}^{2x} (x - 1).\]
		
Calculer $g'(x)$.
 
En déduire $\displaystyle\int_{- 2}^0 \left(x - \dfrac{1}{2}\right) \text{e}^{2x}\:\text{d}x$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-6,-1)(2,9)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-6,-1)(2,9)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[r](0,0.5){$\vect{\jmath}$}\uput[dr](0,0){O}\psline[linestyle=dashed](1.38,0)(1.38,0.8)
\uput[d](1.38,0){$\ln 4$}
\psplot[linewidth=1.5pt,plotpoints=5000,linecolor=blue]{-6}{1.82}{x 0.5 sub 2.71828 x 2 mul exp mul 1 x sub 8 mul 2.71828 x exp mul add 1 sub}
\psline[linewidth=1.25pt]{<->}(0.88,0.8)(1.88,0.8)
\psline[linewidth=1.25pt]{<->}(-0.5,6.5)(0.5,6.5)
\psline[linestyle=dashed](-6,-1)(2,-1)
\pscustom[fillstyle=vlines]{\psplot[linewidth=1.5pt,plotpoints=5000,linecolor=blue]{-2}{0}{x 0.5 sub 2.71828 x 2 mul exp mul 1 x sub 8 mul 2.71828 x exp mul add 1 sub}
\psline(0,0)(-2,0)}
\psline(-2,0)(-2,2.2)
\uput[l](1.7,8){$(C)$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}