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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Centres étrangers B}}
\rfoot{\small  juin 1994}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Centres étrangers B juin 1994~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Une fonction $f$ est définie sur $\left]- 1~;~\dfrac{1}{2}\right[$ par 

\[f(x) = \ln \left(ax^2 + bx + c\right)\]

avec $a, b, c$ réels.On suppose que son tableau de variations est le suivant :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(11,4)
\psframe(11,4) \psline(0,3)(11,3)\psline(0,3.5)(11,3.5)
\psline(1,0)(1,4)\psline(1.1,0)(1.1,3)\psline(1.2,0)(1.2,3)
\psline(10.9,0)(10.9,3)\psline(11,0)(11,3)
\uput[u](0.5,3.5){$x$} \uput[u](1.2,3.5){$- 1$} \uput[u](3,3.4){$- \frac{1}{2}$} 
\uput[u](7,3.5){$0$} \uput[u](9,3.4){$\frac{1}{4}$} \uput[u](10.8,3.4){$\frac{1}{2}$}
\uput[u](0.5,3){$f'(x)$}\uput[u](2,3){$+$}\uput[u](6,3){$0$}\uput[u](6,3){$-$}
\psline{->}(1.5,0.5)(5.5,2.5) \psline{->}(6.5,2.5)(10.5,0.5)
\rput(3,1.3){$0$}\rput(7,2.3){$0$} \rput(9,1.3){$\ln \frac{5}{8}$}
\rput(0.5,1.5){$f(x)$} 
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item En utilisant les données numériques du tableau, déterminer $a, b$ et $c$.
\item Calculer $f'(x)$ et résoudre l'équation $f'(x) = 0$.
\item Vérifier que le sens de variation de la fonction $f$ obtenue est bien celui indiqué dans le tableau. Donner la valeur exacte du maximum de $f$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Toutes les probabilités seront données sous forme de fractions irréductibles.}

\medskip 

Une urne contient 8 boules blanches et 2 boules rouges. 

Un joueur extrait simultanément trois boules de l'urne. On suppose que tous les tirages sont équiprobables.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item À l'issue d'un tirage de trois boules :
 
si aucune boule n'est rouge, le joueur perd $10$~francs ; si une seule boule est rouge, le joueur gagne $5$~francs ; si deux boules sont rouges, le joueur gagne $20$~francs. 

X est la variable aléatoire qui associe le gain algébrique du joueur à l'issue d'un tirage. 

Donner la loi de probabilité de X. Calculer l'espérance mathématique E(X). 
\item Le joueur joue deux fois de suite selon les mêmes règles en remettant dans l'urne, après chaque tirage, les trois boules extraites. 

Y est la variable aléatoire qui associe le gain algébrique du joueur à l'issue des deux tirages. 

Donner les valeurs possibles pour Y. 

Déterminer la probabilité que le joueur gagne exactement $10$~francs à l'issue des deux parties.
 
(On pourra s'aider d'un arbre.) 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}


\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = \dfrac{2x-1}{x^2}\text{e}^{2x}\]

et C sa courbe représentative dans un repère orthogonal \Oij{}
d'unités graphiques : 8~cm en abscisse, 1~cm en ordonnée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $0$.
		
En déduire une asymptote à la courbe représentative C de $f$.
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.

On pourra vérifier que $f(x) = 4 \left(1 - \dfrac{1}{2x}\right) \dfrac{\text{e}^{2x}}{2x}$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout $x > 0$ :

\[f'(x) =  \dfrac{2 \left(2x^2 - 2 x + 1\right)}{x^3}\text{e}^{2x}.\]

		\item Étudier le sens de variation de $f$.
		\item Dresser le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate}
\item Résoudre l'équation $f(x) = 0$ et trouver le signe de $f(x)$ sur $]0~;~+ \infty[$.
\item Écrire une équation de la tangente T à C au point d'abscisse $\dfrac{1}{2}$.
\item Tracer C et T.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $g$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par :
		
\[g(x) = \dfrac{\text{e}^{2x}}{x}.\]

Calculer $g'(x)$.

En déduire l'ensemble des primitives de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$.
		\item Calculer, en cm$^2$, l'aire A de la partie du plan limitée par la
courbe C, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = \dfrac{1}{2}$
et $x = 1$.
		
On donnera la valeur exacte de A et sa valeur décimale approchée à
$0,01$ près par excès.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}