\documentclass[10pt,a4paper]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{tabularx,multirow}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat STMG Comptabilité et gestion -- Informatique et gestion},
pdftitle = {Centres étrangers juin 1998},
allbordercolors = white}
\usepackage[frenchb]{babel}
\frenchbsetup{StandardLists=true}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small STT Comptabilité et gestion -- Informatique et gestion}  
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{juin 1998}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT   Centres étrangers~\decofourright\\[6pt]Comptabilité et gestion -- Informatique et gestion  juin 1998}}
\medskip

\textbf{Durée : 3 heures}
\end{center}
    
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

Une collectivité veut acheter trois sortes de biscuits: des croquants, des navettes
et des madeleines. Ces biscuits sont vendus en deux conditionnements
différents : des boîtes carrées et des boîtes rondes.

Une boîte carrée contient 12 kg de croquants, 4~kg de navettes et 3~kg de
madeleines.

Une boîte ronde contient 3 kg de croquants, 2~kg de navettes et 4~kg de madeleines.

Cette collectivité veut au moins 60~kg de croquants, au moins 32~kg de navettes
et au moins 36~kg de madeleines.

Soit $x$ le nombre de boîtes carrées et $y$ le nombre de boîtes rondes achetées.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer un système d'inéquations portant sur $x$ et $y$ traduisant les contraintes
du problème.

Montrer que le système trouvé est équivalent à :
\[(S) \quad \left\{\begin{array}{l c l}
x		&\geqslant&0\\
y		&\geqslant&0\\
4x + y	&\geqslant&20\\
2x+ y 	&\geqslant&16\\
3x+ 4y	&\geqslant&36\\
\end{array}\right.\]

Hachurer l'ensemble des points $M$ du plan dont les coordonnées $(x~;~y)$ ne vérifient
pas le système (S), sur la figure donnée en Annexe.
\item Une boîte carrée est vendue 400~F{}, une boîte ronde est vendue 200~F.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer la dépense occasionnée par l'achat de $x$ boîtes carrées et $y$ boîtes
rondes.
		\item Dessiner sur le graphique donné la droite $\mathcal{D}$ correspondant à une dépense
de \np{4000}~F.
	\end{enumerate}
\item  À l'aide du graphique, déterminer les nombres $x$ et $y$ pour lesquels la
dépense est minimale. Calculer cette dépense.
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Annexe}

\psset{xunit=0.85cm,yunit=0.4cm}
\begin{pspicture}(-1,-2)(13,21)
\psaxes[linewidth=1.25pt,ticksize=0 5pt,labels=none](0,0)(0,0)(13,21)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot{0}{5}{20 4 x mul sub}
\psplot{0}{8}{16 2 x mul sub}
\psplot{0}{12}{9 0.75 x mul sub}
\uput[d](12.5,0){$x$}
\uput[l](0,20.5){$y$}
\end{pspicture}

\end{center}


\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

Le tableau suivant représente l'évolution du chiffre d'affaires d'une entreprise pendant dix années, entre 1987 et 1996.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.75cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année &1987			&1988	&1989	&1990	&1991	&1992	&1993	&1994	&1995	&1996\\ \hline
rang de l'année $x_i$&0		&1		&2		&3		&4		&5		&6		&7		&8	&9\\ \hline
chiffre d'affaires $y_i$ (en MF = $10^6$ F)&110 &130&154&180&191&210&240&245&270&295\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Représenter, par le nuage de points $M_i\left(x_i~;~y_i\right)$ cette série. En abscisse, on
prendra 2 cm pour une année. En ordonnée, on prendra 1~cm pour 20~MF.
\item Quel est, en pourcentage, l'augmentation du chiffre d'affaires entre les
années 1987 et 1996 (on arrondira à 1\,\% près par excès). ~
\item Soit G le point moyen du nuage. Calculer les coordonnées du point G.
\item La répartition des points du nuage montre qu'il est judicieux de procéder à un
ajustement affine. On prend la droite $\Delta$ d'équation $y = 20x + 112,5$ comme
droite d'ajustement affine du nuage.

Vérifier que G appartient à la droite $\Delta$ et tracer cette droite sur le graphique.
\item En admettant que l'évolution continue au même rythme et en utilisant l'ajustement
affine, quel chiffre d'affaires peut-on attendre pour l'année 1999 ?
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

La figure ci-dessous représente la courbe $(\mathcal{C})$ d'une fonction $f$ définie sur ]0~;~7].
On note $f'$ la dérivée de $f$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-0.8,-2.2)(7.2,4.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-0.5,-2)(7.2,4)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[u](7,0){$x$} \uput[r](0,3.75){$y$}
\psline(2.71828,0.1)(2.71828,-0.1)\uput[d](2.71828,0){e}
\uput[dl](0,0){O}
\psline{<->}(1.71828,3.7)(3.71828,3.7)
\psline[linestyle=dashed](2.71828,0)(2.71828,3.7)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.8}{7.2}{x ln x div 10 mul}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Dresser le tableau de variations de $f$ sur ]0~;~7]. En déduire le signe de
$f'(x)$, en fonction de $x$.
\item Sachant que l'un des graphiques représentés ci-après (numérotés de 1 à 4)
représente la  courbe de la fonction $f'$, déterminer lequel en justifiant la
réponse.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-0.8,-2.2)(7.2,4.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-0.5,-2)(7.2,4.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[u](7,0){$x$} \uput[r](0,3.75){$y$}
\psline(2.71828,0.1)(2.71828,-0.1)\uput[d](2.71828,0){e}
\uput[dl](0,0){O}
\rput(3.5,-1.8){Figure 1}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.3}{7.2}{x ln x 2.71828 sub  mul x div}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-0.8,-2.2)(7.2,2.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-0.5,-2.2)(7.2,2.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[u](7,0){$x$} \uput[r](0,1.75){$y$}
\psline(2.71828,0.1)(2.71828,-0.1)\uput[d](2.71828,0){e}
\uput[dl](0,0){O}\rput(3.5,-1.8){Figure 2}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.3}{7.2}{x ln x 2.71828 sub  mul x div neg}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.75cm}
\begin{pspicture*}(-0.8,-2.2)(7.2,7.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-0.5,-2)(7.2,7)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[u](7,0){$x$} \uput[r](0,6.75){$y$}
\psline(2.71828,0.1)(2.71828,-0.1)\uput[d](2.71828,0){e}
\uput[dl](0,0){O}\rput(3.5,-1.8){Figure 3}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.5}{7.2}{1 x ln  sub x dup  mul div 10 mul}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-0.8,-2.2)(7.2,5.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-0.5,-2)(7.2,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[u](7,0){$x$} \uput[r](0,6.75){$y$}
\psline(2.71828,0.1)(2.71828,-0.1)\uput[d](2.71828,0){e}
\uput[dl](0,0){O}\rput(3.5,-1.8){Figure 4}
\psline[linestyle=dashed](0,2.71828)(1,2.71828)\uput[l](0,2.71828){e}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.5}{7.2}{x 2.71828  sub 2 exp  x  div }
\end{pspicture*}
\end{center}
\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On admet que la fonction $f$ est définie par:

\[f(x) = 10 \dfrac{\ln x}{x}\]

pour $x$ appartenant à l'intervalle ]0~;~7]. On considère par ailleurs la fonction $F$
définie sur le même intervalle par $F(x) = 5(\ln x)^2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite en $0$ de $f$.
\item Montrer que $F$ est une primitive de $f$.
\item Calculer $I = \displaystyle\int_1^{\text{e}} f(x)\:\text{d}x$. 

Interpréter géométriquement ce résultat.
\item Calculer $f'(x)$. 

Résoudre l'équation $f'(x) = 0$, puis retrouver les résultats
de la question A 1. concernant le signe de $f'(x)$.
\end{enumerate}
\end{document}