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%Tapuscrit : Denis Vergès 
%Merci à Nicolas Marco pour les sujets
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\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Centres Étrangers}}
\rfoot{\small{12 juin  2014}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Centres Etrangers 12 juin  2014~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Une grande entreprise vient de clôturer sa campagne de recrutement qui s'est déroulée en deux temps :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item premier temps : étude du dossier présenté par le candidat ; 
\item deuxième temps : entretien en vue du recrutement.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
Le processus de recrutement mis en œuvre par l'entreprise est le suivant :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item si le dossier est jugé de bonne qualité, alors le candidat est reçu en entretien par le directeur des ressources humaines ; 
\item si le dossier n'est pas jugé de bonne qualité, alors le candidat subit des tests puis est reçu en entretien par le directeur de l'entreprise.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Dans les deux cas, à l'issue de l'entretien, le candidat est recruté ou ne l'est pas. 

\medskip

À l'issue de cette campagne de recrutement, l'entreprise publie les résultats suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 30\,\% des candidats avaient un dossier jugé de bonne qualité ; 
\item[$\bullet~~$]20\,\% des candidats n'ayant pas un dossier jugé de bonne qualité ont été recrutés ;
\item[$\bullet~~$]38\,\% des candidats ont été recrutés.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On prend un candidat au hasard et on note :
 
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $D$ l'évènement \og  le candidat a un dossier jugé de bonne qualité \fg{} ; 
\item[$\bullet~~$] $R$ l'évènement \og  le candidat est recruté par l'entreprise \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré. 
		\item Calculer la probabilité que le candidat n'ait pas un dossier de bonne qualité et ne soit pas recruté par l'entreprise. 
		\item Montrer que la probabilité de l'événement $D \cap R$ est égale à $0,24$. 
		\item En déduire la probabilité qu'un candidat soit recruté sachant que son dossier est jugé de bonne qualité. Compléter l'arbre pondéré réalisé dans la question a.
	\end{enumerate} 
\item Dix personnes postulent pour un emploi dans l'entreprise. Les études de leurs candidatures sont faites indépendamment les unes des autres. On désigne par $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de personnes recrutées parmi les 10 personnes. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n = 10$ et $p = 0,38$. 
		\item Calculer la probabilité qu'au moins une des dix personnes soit recrutée. On donnera la valeur exacte puis une valeur du résultat arrondie à $10^{- 3}$.
	\end{enumerate} 
\item Deux amis, Aymeric et Coralie, sont convoqués le même jour pour un entretien avec la direction des ressources humaines. 

Coralie arrive à 8~h~30 alors qu'Aymeric arrive au hasard entre 8~h et 9~h. 

On désigne par $T$ la variable aléatoire donnant l'heure d'arrivée d'Aymeric et on admet que $T$ suit la loi uniforme sur l'intervalle [8~;~9]. 

Déterminer la probabilité pour que Coralie attende Aymeric plus de dix minutes. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
\textbf{Partie A : Étude d'une fonction}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x) = x\text{e}^{x^2 - 1}.\]
 
$\mathcal{C}_{f}$ est la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé du plan. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ et $f''$ la fonction dérivée seconde de $f$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout réel $x,\:\: f'(x) =  \left(2x^2 + 1\right)\text{e}^{x^2 - 1}$. 
		\item En déduire le sens de variation de $f$ sur $\R$.
	\end{enumerate} 
\item On admet que pour tout réel $x,\: f''(x) = 2x\left(2x^2 + 3\right)\text{e}^{x^2 - 1}$.
 
Déterminer, en justifiant, l'intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe. 
\item Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[h(x) = x\left(1 - \text{e}^{x^2 - 1}\right).\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que l'inéquation $1 - \text{e}^{x^2 - 1} \geqslant 0$ a pour ensemble de solutions l'intervalle $[-1~;~1]$. 
		\item Déterminer le signe de $h(x)$ sur 1'intervalle $[-1~;~1]$. 
		\item En remarquant que pour tout réel $x$, on a l'égalité $h(x) = x - f(x)$, déduire de la question précédente la position relative de la courbe 
		$\mathcal{C}_{f}$ et de la droite $D$ d'équation $y = x$ sur l'intervalle [0~;~ 1].
	\end{enumerate} 
\item Soit $H$ la fonction définie sur $\R$ par $H(x) = \dfrac{1}{2}x^2 - \dfrac{1}{2}\text{e}^{x^2 - 1}$ et soit $I = \displaystyle\int_{0}^1  h(x)\:\text{d}x$. 
 
On admet que $H$ est une primitive de la fonction $h$ sur $\R$. 

Calculer la valeur exacte de $I$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : Applications}

\medskip
 
Sur le graphique suivant, sont tracées sur l'intervalle [0~;~1] :
 
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] la courbe $\mathcal{C}_{f}$ représentative de la fonction étudiée en partie A ; 
\item[$\bullet~~$]la courbe $\mathcal{C}_{g}$ représentative de la fonction définie par $g(x) = x^3$ ; 
\item[$\bullet~~$] la droite $D$ d'équation $y = x$. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
\psset{unit=10cm}
\begin{pspicture}(-0.15,-0.1)(1.1,1.1)
\psaxes[comma,linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(-0.15,-0.1)(1.1,1.1)[$x$,d][$y$,210]
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=20,griddots=5](0,0)(1,1)
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](1,1)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{2.71828 x dup mul 1 sub exp x mul}
\uput[ul](0.7,0.42){\blue $\mathcal C_f$}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{1}{x 3 exp}
\uput[dr](0.7,0.343){\red $\mathcal C_g$}
\psline[linestyle=dashed](0.5,0)(0.5,0.125)(0,0.125)
\psdots[dotstyle=+](0.5,0.125)
\uput[l](0,0.125){$0,125$}
\uput[u](0.5,0.125){$M$}
\uput[ul](0.8,0.8){$D$}
\end{pspicture}
\end{center}

Les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ illustrent ici la répartition des salaires dans deux entreprises F et G :

\medskip
 
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] sur l'axe des abscisses, $x$ représente la proportion des employés ayant les salaires les plus faibles par rapport à l'effectif total de l'entreprise ; 
\item[$\bullet~~$] sur l'axe des ordonnées, $f(x)$ et $g(x)$ représentent pour chaque entreprise la proportion de la  masse salariale (c'est-à-dire la somme de tous les salaires) correspondante.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\emph{Par exemple :}
 
\emph{Le point $M(0,5~;~0,125)$ est un point appartenant à la courbe 
$\mathcal{C}_{g}$. Pour l'entreprise G cela se traduit de la façon suivante :\\ 
si on classe les employés par revenu croissant, le total des salaires de la première moitié (c'est-à-dire des 50\,\% aux revenus les plus faibles) représente 12,5\,\% de la masse salariale.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer le pourcentage de la masse salariale détenue par 80\,\% des employés ayant les salaires les plus faibles dans l'entreprise F. On donnera une valeur du résultat arrondie à l'unité. 
\item On note $\mathcal{A}_{f}$ l'aire du domaine délimité par la droite $D$, la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et les droites d'équations $x=0$ et $x = 1$. 

On appelle indice de Gini associé à la fonction $f$, le nombre réel noté $I_{f}$ et défini par $I_{f} = 2 \times \mathcal{A}_{f}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $I_{f} = \dfrac{1}{\text{e}}$. 
		\item On admet que, plus l'indice de Gini est petit, plus la répartition des salaires dans l'entreprise est égalitaire. 
Déterminer, en justifiant, l'entreprise pour laquelle la distribution des salaires est la plus égalitaire.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de la série L}

\medskip 
 
Dans une ville, un nouveau lycée vient d'ouvrir ses portes et accueille pour sa première rentrée $500$~élèves. D'une année sur l'autre, le proviseur du lycée prévoit une perte de 30\,\% de l'effectif et l'arrivée de $300$~nouveaux élèves.
 
On modélise cette situation par une suite numérique $\left(u_{n}\right)$ où $u_{n}$ représente le nombre d'élèves inscrits au lycée pour l'année $2013 + n$, avec $n$ entier naturel. On a donc $u_{0} = 500$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le nombre d'élèves qui seront inscrits au lycée en 2014. 		\item Calculer Je nombre d'élèves qui seront inscrits au lycée en 2015.
	\end{enumerate} 
\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = 0,7u_{n} + 300$. 
\item On souhaite, pour un entier $n$ donné, afficher tous les termes de la suite $\left(u_{n}\right)$ du rang $0$ au rang $n$. 

Lequel des trois algorithmes suivants permet d'obtenir le résultat souhaité ? Justifier.

\begin{center}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
 Algorithme 1& Algorithme 2& Algorithme 3\\ \hline 
\textbf{Variables :}& \textbf{Variables :}& \textbf{Variables :}\\ 
$n, i$ entiers naturels,& 
$n, i$ entiers naturels,& 
$n, i$ entiers naturels,\\ 
$u$ nombre réel& $u$ nombre réel& $u$ nombre réel\\ 
\textbf{Début algorithme}&\textbf{Début algorithme}&\textbf{Début algorithme}\\ 
Lire $n$&Lire $n$&Lire $n$\\ 
$u$ prend la valeur $500$&$u$ prend la valeur $500$&$u$ prend la valeur $500$\\  
Pour $i$ allant de 1 à $n$&Pour $i$ allant de 1 à $n$&Pour $i$ allant de 1 à $n$\\ 
Afficher $u$&Afficher $u$& $u$ prend la valeur $0,7 \times u + 300$\\ 
$u$ prend la valeur $0,7\times u + 300$&$u$ prend la valeur $0,7\times u + 300$& Fin Pour\\ 
Fin Pour& Fin Pour& Afficher $u$\\ 
&Afficher $u$&\\ 
\textbf{Fin algorithme}&\textbf{Fin algorithme}&\textbf{Fin algorithme}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 

\item On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $v_{n} = u_{n} - \np{1000}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $q = 0,7$.
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n,\: u_{n} = \np{1000} - 500 \times 0,7^n$. 
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
		\item Interpréter le résultat précédent.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation $u_{n} \geqslant 990$. 
		\item Interpréter le résultat trouvé précédemment. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité }

\medskip 

\textbf{Partie A : Étude d'un graphe}

\medskip
 
On considère le graphe $\mathcal{G}$ ci-dessous. 

\begin{center} 
\begin{pspicture}(9,6)
\cnodeput(4,4){A}{A}
\cnodeput(3.5,2){B}{B}
\cnodeput(6,0.5){C}{C}
\cnodeput(2,5){D}{D}
\cnodeput(1.5,2.5){E}{E}
\cnodeput(0.5,2){F}{F}
\cnodeput(8.5,2){G}{G}
\cnodeput(6,5){H}{H}
\cnodeput(6.75,2.5){I}{I}
\ncline{A}{B}
\ncline{A}{C}
\ncline{A}{D}
\ncline{A}{H}
\ncline{D}{B}
\ncline{E}{B}
\ncline{F}{B}
\ncline{C}{B}
\ncline{C}{H}
\ncline{C}{G}
\ncline{D}{E}
\ncline{D}{F}
\ncline{G}{I}
\ncline{G}{H}
\ncline{I}{H}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer en justifiant si le graphe $\mathcal{G}$ est complet.		\item Déterminer en justifiant si le graphe $\mathcal{G}$ est connexe.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner le degré de chacun des sommets du graphe $\mathcal{G}$. 
		\item Déterminer en justifiant si le graphe $\mathcal{G}$ admet un cycle eulérien ou une chaîne eulérienne.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la matrice $M$ associée au graphe $\mathcal{G}$ (les sommets seront rangés dans l'ordre 
alphabétique).

		\item On donne : $M^2 = \begin{pmatrix}  
4& 2& 2& 1& 2& 2& 2& 1& 1\\ 
2& 5& 1& 3& 1& 1& 1& 2& 0\\ 
2& 1& 4& 2& 1& 1& 1& 2& 2\\ 
1& 3& 2& 4& 1& 1& 0& 1& 0\\ 
2& 1& 1& 1& 2& 2& 0& 0& 0\\ 
2& 1& 1& 1& 2& 2& 0& 0& 0\\ 
2& 1& 1& 0& 0& 0& 3& 2& 1\\ 
1& 2& 2& 1& 0& 0& 2& 4& 1\\ 
1& 0& 2& 0& 0& 0& 1& 1& 2\\
\end{pmatrix}.$ 
	\end{enumerate}
Montrer, par le calcul, que le coefficient de la septième ligne et quatrième colonne de la matrice $M^3$ est égal à $3$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Applications}
 
\medskip

\emph{Dans cette partie, on pourra justifier les réponses en s'aidant de la partie A}

\medskip
 
On donne ci-dessous le plan simplifié d'un lycée 

\psset{unit=1cm}

\begin{center}
\begin{pspicture}(12,6.6)
\psframe(12,6.6)
\psline(5.7,0)(5.7,1.5)(6.1,1.5)
\psline(7.2,1.5)(7.5,1.5)(7.5,5.4)
\psline(6.4,5.4)(8.1,5.4)
\psline(8.4,5.4)(9.5,5.4)
\psline(9.5,0)(9.5,1.8)
\psline(9.5,3.3)(9.5,5.8)
\psline(9.5,6.1)(9.5,6.6)
\psline(4.5,5.4)(5.6,5.4)
\psline(5,5.4)(5,5.8)
\psline(5,6.1)(5,6.6)
\psline(3.2,5.4)(4.3,5.4)
\psline(3.9,5.4)(3.9,4.3)
\psline(3.9,2.7)(3.9,0)
\psline(2.8,1.8)(3.2,1.8)
\psline(3.5,1.8)(3.9,1.8)
\psline(2.8,2.3)(2.8,1.5)(1.1,1.5)(1.1,4)(1.5,4)
\psline(1.8,4)(2.8,4)(2.8,2.9)
\psline(2.1,4)(2.1,4.3)
\psline(2.1,4.7)(2.1,5.9)
\psline(2.1,6.1)(2.1,6.6)
\psline(2.1,5.4)(2.85,5.4)
\psline(0,2.7)(0.4,2.7)
\psline(0.7,2.7)(1.1,2.7)
\rput(3.5,5.9){\footnotesize ADMINISTRATION}
\rput(7.3,6.1){\footnotesize VIE SCOLAIRE}
\rput(7.3,5.8){\footnotesize ET INFIRMERIE}
\rput(1,5.1){\footnotesize SALLE DES}
\rput(1,4.8){\footnotesize PROFESSEURS}
\rput(1.8,0.8){\footnotesize CANTINE}
\rput(2,2.6){\footnotesize C. D. I.}
\rput(3.3,3.7){\footnotesize HALL 1}
\rput(5.5,3.4){\footnotesize HALL 2}
\rput(8.5,2.3){\footnotesize BÂTIMENT 1}
\rput(10.8,3.2){\footnotesize BÂTIMENT 2}
\end{pspicture}
\end{center} 

\begin{enumerate}
\item Le graphe $\mathcal{G}$ donné en partie A modélise cette situation. 

Recopier et compléter le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Sommet du graphe $\mathcal{G}$&A&B&C&D&E&F&G&H&I\\ \hline 
Lieu correspondant dans le lycée&&&&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 

\item Un élève a cours de mathématiques dans le bâtiment 1. À la fin du cours, il doit rejoindre la salle des professeurs pour un rendez~vous avec ses parents.
 
Déterminer le nombre de chemins en trois étapes permettant à l'élève de rejoindre ses parents puis indiquer quels sont ces chemins. 
\item Le lycée organise une journée portes-ouvertes. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, en justifiant, s'il est possible de visiter le lycée en empruntant une seule fois chaque passage entre les différents lieux. 
		\item Sur les arêtes du graphe $\mathcal{G}$ sont indiqués les temps de parcours exprimés en seconde entre deux endroits du lycée.
		 
\begin{center} 
\begin{pspicture}(9,6)
\cnodeput(4,4){A}{A}
\cnodeput(3.5,2){B}{B}
\cnodeput(6,0.5){C}{C}
\cnodeput(2,5){D}{D}
\cnodeput(1.5,2.5){E}{E}
\cnodeput(0.5,2){F}{F}
\cnodeput(8.5,2){G}{G}
\cnodeput(6,5){H}{H}
\cnodeput(6.75,2.5){I}{I}
\ncline{A}{B}\ncput*{\bf \sf 30}
\ncline{A}{C}\ncput*{\bf \sf 45}
\ncline{A}{D}\ncput*{\bf \sf 70}
\ncline{A}{H}\ncput*{\bf \sf 60}
\ncline{D}{B}\ncput*{\bf \sf 80}
\ncline{E}{B}\ncput*{\bf \sf 50}
\ncline{F}{B}\ncput*{\bf \sf 35}
\ncline{C}{B}\ncput*{\bf \sf 30}
\ncline{C}{H}\ncput*{\bf \sf 25}
\ncline{C}{G}\ncput*{\bf \sf 90}
\ncline{D}{E}\ncput*{\bf \sf 60}
\ncline{D}{F}\ncput*{\bf \sf 35}
\ncline{G}{I}\ncput*{\bf \sf 20}
\ncline{G}{H}\ncput*{\bf \sf 40}
\ncline{I}{H}\ncput*{\bf \sf 25}
\end{pspicture}
\end{center}

 
Déterminer, à l'aide de l'algorithme de Dijkstra, le chemin permettant de relier le sommet G au sommet D en un temps minimal.
 
Déterminer ce temps minimal, exprimé en seconde.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
L'entreprise Printfactory fabrique, en grande quantité, des cartouches d'encre noire pour imprimante.
 
Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse \textbf{en justifiant votre réponse}.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On considère la variable aléatoire $X$ qui, à chaque cartouche produite, associe sa durée de vie exprimée en nombre de pages.
 
On admet que $X$ suit la loi normale d'espérance $\mu = 250$ et d'écart-type $\sigma = 10$.
 
	\begin{enumerate}
		\item \textbf{Affirmation 1 :} Environ 95\,\% des cartouches produites ont une durée de vie comprise entre $230$ et $270$~pages. 
		\item \textbf{Affirmation 2 :} Moins de 50\,\% des cartouches produites ont une durée de vie inférieure à $300$~pages.
	\end{enumerate} 
\item L'entreprise Printfactory a amélioré son procédé industriel et déclare que 80\,\% des cartouches produites ont une durée de vie supérieure à $250$ ~pages.
 
Un contrôleur désigné par l'entreprise effectue un test en prélevant de façon aléatoire un échantillon de cartouches dans la production.
 
Dans un échantillon de taille \np{1000}, le contrôleur a obtenu $240$~cartouches vides d'encre avant l'impression de $250$~pages. 

\textbf{Affirmation 3 :} Le contrôleur valide la déclaration de l'entreprise. 
\item L'entreprise Printfactory souhaite connaître l'opinion de ses \np{10000} clients quant à la qualité d'impression de ses cartouches.
 
Pour cela, elle souhaite obtenir, à partir d'un échantillon aléatoire, une estimation de la proportion de clients satisfaits au niveau $0,95$ avec un intervalle de confiance d'amplitude inférieure ou égale à 4\,\%. 

\textbf{Affirmation 4 :} L'entreprise doit interroger au moins un quart de ses clients. 
\end{enumerate} 














 






\end{document}