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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small  juin 1995}
%
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Centres étrangers juin 1995~\decofourright }}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Une étude a été faite sur la fréquentation du cinéma dans une ville 
française pendant un mois. 

Dans cette ville, 25\,\% des habitants sont dans la tranche d'âge 0--14 ans (les \og enfants \fg) et 20\,\% des habitants sont dans la tranche d'âge 15--25 ans (les \og jeunes \fg). Les autres habitants seront dits \og adultes \fg.
 
On choisit au hasard un habitant de cette ville. 
 
On note $E,~ J$, et $A$ les évènements suivants : 

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item $E$ \og l'habitant choisi est dans la tranche 0--14 ans \fg{} ;
\item $J$ \og l'habitant choisi est dans la tranche 15--25 ans \fg{} ;
\item $A$ \og l'habitant choisi est un adulte \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On appelle $X$ la variable aléatoire égale au nombre de séances auxquelles l'habitant choisi a assisté pendant un mois. 

L'étude menée permet d'établir les tableaux de probabilités conditionnelles 
suivants :

\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$ &0 &1&2 &3\\   \hline
\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$p\left(X = x_{i}/E\right)$ & $\dfrac{3}{10}$ & $\dfrac{3}{10}$ & $\dfrac{2}{10}$
& $\dfrac{2}{10}$\\ \hline
\end{tabularx}
 
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\ \hline
\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$p\left(X = x_{i})/J\right)$ & $\dfrac{1}{10}$ & $\dfrac{2}{10}$ & $\dfrac{3}{10}$ & $
\dfrac{3}{10}$& $\dfrac{3}{10}$\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$& 0& 1 &	2 &	3\\  \hline
\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$p\left(X = x_{i}/A\right)$ & $\dfrac{4}{10}$ & $\dfrac{3}{10}$ & $\dfrac{2}{10}$
&$\dfrac{1}{10}$\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

Par exemple, $p(X = 2)/J$ désigne la probabilité pour que l'habitant choisi aille deux fois par mois au cinéma, sachant qu'il est jeune. 
\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité
pour que l'habitant choisi :
	\begin{enumerate}
		\item soit adulte ; 
		\item soit jeune et aille deux fois par mois au cinéma.
	\end{enumerate}
\item Calculer la probabilité pour que l'habitant choisi aille deux fois par mois au cinéma.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Compléter le tableau suivant pour obtenir
la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
		
		\medskip
		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$ & 0 & 1 &	2 &  3 &  4 \\ \hline
$p\left(X = x_{i}\right)$ & 0,315 & 0,280 &  & 0,165  &\\ \hline
\end{tabularx}
		
\medskip

		\item Calculer E$(X)$, l'espérance mathématique de $X$.

Interpréter le résultat obtenu.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans l'ensemble des nombres réels 
l'équation :

\[x^2 - 4x - 5 = 0.\]

\item En déduire la résolution, dans l'ensemble des
nombres réels, des équations suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item $(\ln x)^2 - 4\ln x - 5 = 0.$ 
		\item $\ln (x - 3) + \ln(x - 1) = 3\ln 2.$ 
		\item $\text{e}^x - 4 = 5\text{e}^{-x}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

On considère la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ définie par $u_{0} = \text{e}$ et, pour tout entier naturel $n,$

$ u_{n+1} = \sqrt{u_{n}}$. 

On pose, pour tout entier naturel $n$, $v_{n} = \ln u_{n}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n,\: v_{n+1} = ~ \dfrac{1}{2}v_{n}$ ; en déduire que $v_{n}$ est le terme général d'une suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme. 
		\item Donner l'expression de $v_{n}$ en fonction de $n$. En déduire celle de $u_{n}$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate} 
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $S_{n} = v_{0} + v_{1} + \cdots + v_{n}$ et $P_{n} = u_{0} \times  u_{1} \times \cdots \times u_{n}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $P_{n} = \text{e}S_{n}$. 
		\item Exprimer $S_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item En déduire l'expression de $P_{n}$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer la limite de la suite $\left(S_{n}\right)_{n \in \N}$ ; en déduire celle de la suite $\left(P_{n}\right)_{n \in \N}$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip

Le but du problème est de déterminer le prix d'équilibre d'un 
produit. On rappelle que le prix d'équilibre d'un produit est obtenu 
lorsque l'offre et la demande sont égales.

\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l  *{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Prix proposé 	&$x_{i}$	&0,30	&0,35	&0,45	&0,65	&0,80	&1\\ \hline
Demande 		&$y_{i}$	& 6,25	&4,90	&3,75	&2,75	&	2,40&2,25\\ \hline
Offre 			&$z_{i}$	&1,251	&1,301	&1,301	&1,501	&1,551	&1,60\\ \hline
\end{tabularx}
 
\medskip
 
Une étude faite sur ce produit a donné les résultats suivants (le 
prix au kilogramme est exprimé en francs et les quantités pour 
l'offre et la demande sont exprimées en milliers de kilogrammes). 

Dans ce problème, on utilisera, pour les calculs statistiques, les 
fonctions de la calculatrice (le détail de ces calculs n'est pas 
demandé). Tous les résultats numériques seront donnés en valeurs 
décimales arrondies à $10^{-2}$ près. 
 \medskip
 
\begin{enumerate}
\item Le plan $\mathcal{P}$ est rapporté au repère
orthogonal \Oij{} d'unités graphiques 10~cm pour 1~franc en abscisse et 2~cm pour 1~millier de kilogrammes en ordonnée. 

Représenter sur le même graphique les nuages de points associés 
respectivement aux séries statistiques $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ et $\left(x_{i}~;~ 
z_{i}\right)$. 

Pour ces représentations, on recommande de prendre le papier 
millimétré dans le sens de la largeur et de figurer par des signes 
différents (croix ou points par exemple) les points de coordonnées 
$(x_{i}~;~y_{i})$ et ceux de coordonnées $(x_{i}~;~z_{i})$ respectivement. 
\item \textbf{Étude de la demande}

La forme du nuage de points associé à la série $(x_{i}~;~y_{i})$ permet  
d'envisager  un ajustement exponentiel de $y$ en $x$. On pose donc $Y_{i} = \ln y_{i}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le coefficient de corrélation linéaire de la série 
$(x_{i}~;~Y_{i})$.  Un ajustement affine par la méthode des moindres carrés de
$Y$ en $x$ est-il satisfaisant ? Pourquoi ? 
		\item Donner alors une équation de la droite de régression de $Y$ en $x$
sous la forme $Y = ax + b$. Grâce à l'égalité $Y_{i} = \ln y_{i}$, en déduire
une estimation de la demande $y$, en fonction du prix $x$ au 
kilogramme. 
	\end{enumerate}
\item \textbf{Étude de l'offre}
		
La forme du nuage de points associé à la série $(x_{i}~;~ z_{i})$ permet 
d'envisager un ajustement affine de $z$ en $x$.  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le coefficient de corrélation linéaire de la série $\left(x_{i}~;~z_{i}\right)$.
		
Un ajustement affine par la méthode des moindres carrés de $z$ en $x$ est-il satisfaisant ? Pourquoi ?
		\item Donner alors une équation de la droite de régression de $z$ en $x$ sous la
forme $z = mx + p$.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Étude graphique du prix d'équilibre}
		 
On considère, dans la suite du problème, que la demande et l'offre 
sont respectivement formalisées par les fonctions 
$f$ et $g$ définies sur l'intervalle [0 ; 2] par $f(x) = 
\text{e}^{-~1,41x + 2,08}$ et $g(x) = 0,53x + 1,10.$ 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur
l'intervalle [0, 2] et dresser son tableau de variations.
		\item Sur le graphique du 1), tracer les courbes représentatives des fonctions
$f$ et $g$.
		\item Déterminer graphiquement le prix d'équilibre du produit.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Étude numérique du prix d'équilibre}
		
On considère la fonction $h$ définie sur l'intervalle [0~;~2] par 
		
\[h(x) = f(x) - g (x).\]
		 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le sens de variation de la fonction $h$ sur l'intervalle 
[0~;~2] et dresser son tableau de variations.
		\item Montrer que l'équation $h(x) = 0$ admet dans l'intervalle [0 ; 2] une 
solution unique $x_{0}$. Donner une valeur approchée décimale à 
$10^{- 1}$ près de $x_{0}$. 
		\item Quel est le prix d'équilibre du produit considéré ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}