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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small {Baccalauréat ES}}
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{juin 2003}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft ~Baccalauréat ES Centres étrangers juin 2003 \decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

\textsl{Aucun détail des calculs statistiques effectués
 à la calculatrice n'est demandé dans cet exercice. Sauf indication
 contraire, les résultats seront arrondis à} $10^{- 4}$.

\medskip

Le tableau suivant donne, en millions, la population mondiale de 1400
à 2000.

\begin{center} 
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année&Rang $x_i$ de l'année~~&	~~~Population $y_i$~~~\\ \hline
1400&	0&	374\\ \hline
1500&	100&	458\\ \hline
1600&	200&	580\\ \hline
1800&	400&	958\\ \hline
1900&	500&	\np{1650}\\ \hline
1950&	550&	\np{2519}\\ \hline
1970&	570&	\np{3691}\\ \hline
1980&	580&	\np{4430}\\ \hline
1990&	590&	\np{5255}\\ \hline
2000&	600&	\np{6057}\\ \hline
\multicolumn{3}{r}{\scriptsize Source : site internet de I'INED (Institut national
 des études démographiques)}
\end{tabularx} \end{center}

\smallskip

\begin{enumerate} 
\item Représenter le nuage de points associé à la série statistique
$\left(x_i~;~y_i\right)$ en utilisant le repère semi-logarithmique joint en annexe.
\item On décide de faire un ajustement exponentiel, en ignorant les
quatre premières données. On pose $z_{i} = \ln \left(y_i\right)$.
	\begin{enumerate} 
		\item Reproduite sur la copie et compléter le tableau suivant
 par les valeurs $z_i$.

\begin{center} 
\begin{tabular}{|l|*{6}{c|}}\hline
Rang $x_i$ de l'année	&500&550&570&580&590&600\\ \hline
$z_i = \ln (y_i)$		& 	& 	& 	& 	& 	& \\ \hline
\end{tabular} 
\end{center}

		\item Donner une équation de la droite d'ajustement affine de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés.
		\item En déduire une relation entre $y$ et $x$ de la forme $y = b \times a^x$, où $a$ et $b$ sont deux réels à déterminer.
		\item Utiliser cet ajustement pour estimer, au million près, la population mondiale en 2010.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
Annexe à compléter et à remettre avec la copie

\vspace{0,5cm}

\psset{xunit=0.02cm,yunit=2cm}\begin{pspicture}(600,5.298)
\multido{\n=0+100}{7}{\psline(\n,0)(\n,5.298)}
\multido{\n=0+100}{7}{\uput[d](\n,0){\n}}
\psline(0,0.693)(600,0.693)
\psline(0,1.099)(600,1.099) \psline(0,1.386)(600,1.386) 
\psline(0,1.609)(600,1.609) \psline(0,1.792)(600,1.792) 
\psline(0,1.946)(600,1.946) \psline(0,2.079)(600,2.079) 
\psline(0,2.197)(600,2.197) \psline(0,2.303)(600,2.303) 
\psline(0,2.996)(600,2.996) \psline(0,3.401)(600,3.401)
\psline(0,3.689)(600,3.689)  \psline(0,3.912)(600,3.912) 
\psline(0,4.094)(600,4.094)  \psline(0,4.249)(600,4.249) 
\psline(0,4.382)(600,4.382)  \psline(0,4.5)(600,4.5) 
\psline(0,4.605)(600,4.605)  \psline(0,4.788)(600,4.788)
 \psline(0,4.868)(600,4.868) \psline(0,0)(600,0)
\uput[l](0,0){100} \uput[l](0,2.996){1 000} \uput[l](0,5.298){10 000}    
\end{pspicture} \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Dans une station-service, la probabilité que $n$ clients se présentent 
pendant une période de 10 minutes est donnée par le tableau suivant :

\begin{center} \begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n$ 		&0 					&1 					&2\\ \hline
Probabilité &\rule[-3mm]{0mm}{9mm} $\dfrac{3}{10}$ 	& $\dfrac{4}{10}$	&$\dfrac{3}{10}$\\ \hline
\end{tabularx} \end{center}

\begin{enumerate} 
\item Justifier que ce tableau définit une loi de probabilité.
 Calculer l'espérance de cette loi et interpréter le résultat.

On note $C_n$ l'évènement \og $n$ clients se présentent pendant une période
de 10 minutes \fg{}.

Lorsqu'un client se présente, la probabilité qu'il prenne du gazole est 
$\dfrac{2}{5}$ et on note $D_p$ l'évènement : \og $p$ clients ont pris du 
gazole pendant une période de 10 minutes \fg.

On rappelle que $P_{\text{B}}(\text{A})$ désigne la probabilité de l'évènement
 A sachant que B est réalisé.
\item On sait que deux clients se présentent pendant une période de
10 minutes.
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la probabilité que ces deux clients prennent 
du gazole.
		\item Montrer que la probabilité $P_{C_2}(D_1)$ qu'un seul de ces deux clients prenne du gazole est égale à $\dfrac{12}{25}$.
	\end{enumerate}
\i probabilités de l'évènement $D_p$ sachant que $C_n$, est réalisé
pour toutes les valeurs possibles de $p$ et $n$, seront présentées dans le
tableau suivant :

\begin{center} 
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{} 	&$C_0$ 	&$C_1$ 	&$C_2$ \\ \hline
$D_0$ 					&1 		& 		& \\ \hline
$D_1$ 					&0 		& 		& $\frac{12}{25}$\rule[-3mm]{0mm}{7mm}\\ \hline
$D_2$ 					&0 		&0 		&  \\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

	\begin{enumerate} 
		\item Justifier les valeurs 0 présentes dans le tableau.
		\item Justifier la valeur 1 correspondant à $P_{C_0}\left(D_0\right)$.
		\item Reproduire le tableau sur la copie en complétant les valeurs manquantes 
(on les donnera sous forme de fractions).
	\end{enumerate}
\item Déterminer la probabilité de l'évènement $D$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Un livreur d'une société de vente à domicile doit, dans son après-
midi, charger son camion à l'entrepôt noté A, livrer cinq clients que
nous noterons B, C, D, E et F, puis retourner à l'entrepôt. Le réseau
routier, tenant compte des sens de circulation, et les temps de par-
cours (en minutes) sont indiqués sur le graphe G suivant :

\begin{center} \begin{pspicture}(7,4.5)
\psset{arrowsize=2.5pt 3} \psset{arcangle=20} \cnodeput(0.4,1.5){A}{E}
\cnodeput(2,3.5){B}{A} \cnodeput(2.7,0.5){C}{D} 
\cnodeput(3.9,2.4){D}{F} \cnodeput(5.5,1){E}{C} 
\cnodeput(5.7,3.8){F}{B}
 \ncarc{->}{B}{A} \ncput*{4} 
 \ncarc{->}{A}{C} \ncput*{4} 
 \ncarc{->}{C}{B} \ncput*{9} 
 \ncarc{->}{D}{B} \ncput*{6} 
 \ncarc{->}{C}{D} \ncput*{3} 
 \ncarc{->}{E}{C} \ncput*{2} 
 \ncarc{->}{C}{E} \ncput*{2} 
 \ncarc{->}{D}{E} \ncput*{6} 
 \ncarc{->}{E}{D} \ncput*{6} 
 \ncarc{->}{E}{F} \ncput*{9} 
 \ncarc{->}{D}{F} \ncput*{3} 
 \ncarc{->}{F}{D} \ncput*{3} 
 \ncarc{->}{F}{B} \ncput*{2}  
\end{pspicture} \end{center}

\begin{enumerate} 
\item Donner la matrice M associée au graphe G.

On utilisera le modèle suivant :

\begin{center} 
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-7}
\multicolumn{1}{c|}{} 	& A & B & C & D & E & F \\ \hline
A 						& 	& 	& 	& 	& 	& \\ \hline
B						& 	& 	& 	& 	& 	& \\ \hline
C 						& 	& 	& 	& 	& 	& \\ \hline
D 						& 	& 	& 	& 	& 	& \\ \hline
E 						& 	& 	& 	& 	& 	& \\ \hline
F 						& 	& 	& 	& 	& 	& \\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

\item  On donne la matrice M$^6$ :

\[\text{M}^6 = \begin{pmatrix}
8	&6	&6	&3	&4	&6\\
19	&11	&12	&9	&6	&16\\
36 	&28 &23	&22	&18	&34\\
37 	&24	&25	&17	&15	&31\\
15 	&12	&9	&10	&8 	&15\\
28 	&22	&19	&15	&15	&26\\
\end{pmatrix}\]

On s'intéresse aux chemins partant de l'entrepôt A et se terminant en A.

	\begin{enumerate} 
		\item Combien existe-t-il de chemins de longueur 6 reliant A à A ?
		\item Citer ces chemins.
		\item Parmi ceux qui passent par tous les sommets du graphe, lequel minimise le temps de parcours ?
		\item Quelle conséquence peut tirer le livreur du dernier résultat ?
	\end{enumerate}
\item Au départ de sa tournée, le livreur a choisi de suivre l'itinéraire le
plus rapide. Malheureusement, le client C n'est pas présent au passage
du livreur et celui-ci décide de terminer sa livraison par ce client. Indiquer
 quel est le chemin le plus rapide pour revenir à l'entrepôt A à partir de C. 
La réponse devra \^etre justifiée.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} 

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\textbf{Étude d'une fonction}

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = 2x + 100\text{e}^{-0,2x}.\]

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal\Oij{}

(unités graphiques : 1 cm pour 1 unité en abscisse ; 1~cm
pour 10~unités en ordonnée).

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$.
\item Montrer que la droite D d'équation $y = 2x$ est asymptote à la
courbe $\mathcal{C}_f$.
\item Calculer la dérivée $f'$ et étudier les variations de $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
\item Tracer $\mathcal{C}_f$ et D dans le repère \Oij~ pour $x$ appartenant à
[1 ; 18].
\item Résoudre graphiquement l'inéquation $f (x) \leqslant 50$ sur l'intervalle[1~;~18].
\item Calculer la valeur exacte du nombre M $= 
\dfrac{1}{17}\displaystyle\int_0^{18} f(x)\: \text{d}x$, puis donner sa valeur
 arrondie à l'entier le plus proche.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\textbf{Modélisation d'un coût}

\medskip

Un artisan confiseur qui propose des chocolats \og faits maison \fg{} en fabrique de 1 à $18$~kg par jour. Le coût moyen de fabrication d'un kilogramme de chocolats est exprimé en euro. Il est modélisé par la fonction $f$ étudiée dans la  \textbf{partie A}, où $x$ désigne la masse en kg de chocolats fabriqués  ($1 \leqslant  x \leqslant 18$).

Dans la suite, on utilisera les résultats de la \textbf{partie A}.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer, à un euro près, 
le coût moyen de fabrication pour 6 kg fabriqués.
		\item Quelle est la quantité à fabriquer pour que le coût moyen soit
minimum ?
		\item Quel est alors ce coût ?
	\end{enumerate}
\item L'artisan vend ses chocolats au prix de 50 \euro~ le kilogramme.

Quelle quantité minimale doit-il fabriquer pour faire un bénéfice ?
\item Quelle est pour l'artisan la valeur moyenne du coût de fabrication
d'un kilogramme de chocolats ?
\end{enumerate}

\textsl{Aucun détail des calculs statistiques effectués
 à la calculatrice n'est demandé dans cet exercice. Sauf indication
 contraire, les résultats seront arrondis à} $10^{- 4}$.

Le tableau suivant donne, en millions, la population mondiale de 1400
à 2000.

\begin{center} 
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année	&	Rang $x_i$ de l'année&Population $y_i$\\ \hline
1400	&0	&374\\ \hline
1500	&100&458\\ \hline
1600	&200&580\\ \hline
1800	&400&958\\ \hline
1900	&500&\np{1650}\\ \hline
1950	&550&\np{2519}\\ \hline
1970	&570&\np{3691}\\ \hline
1980	&580&\np{4430}\\ \hline
1990	&590&\np{5255}\\ \hline
2000	&600&\np{6057}\\ \hline
\multicolumn{3}{r}{\scriptsize Source : site internet de I'INED (Institut national des études démographiques)}
\end{tabularx} 
\end{center}

\smallskip
\begin{enumerate} 
\item Représenter le nuage de points associé à la série statistique
$\left(x_i~;~y_i\right)$ en utilisant le repère semi-logarithmique joint en annexe.
\item On décide de faire un ajustement exponentiel, en ignorant les
quatre premières données. On pose $z_{i} = \ln \left(y_i\right)$.
	\begin{enumerate} 
		\item Reproduite sur la copie et compléter le tableau suivant
 par les valeurs $z_i$.

\begin{center} 
\begin{tabular}{|l|*{6}{c|}}\hline
Rang $x_i$ de l'année& 500& 550& 570& 580& 590 & 600\\ \hline
$z_i = \ln (y_i)$& & & & & & \\ \hline
\end{tabular} 
\end{center}

		\item Donner une équation de la droite d'ajustement affine de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés.
		\item En déduire une relation entre $y$ et $x$ de la forme $y = b \times  a^x$, où $a$ et $b$ sont deux réels à déterminer.
		\item Utiliser cet ajustement pour estimer, au million près, la population mondiale en 2010.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
Annexe à compléter et à remettre avec la copie

\vspace{0,5cm}

\psset{xunit=0.02cm,yunit=2cm}\begin{pspicture}(600,5)
\multido{\n=0+100}{7}{\psline(\n,0)(\n,5)}
\multido{\n=0+100}{7}{\uput[d](\n,0){\n}}
\psline(0,0.693)(600,0.693)
\psline(0,1.099)(600,1.099) \psline(0,1.386)(600,1.386) 
\psline(0,1.609)(600,1.609) \psline(0,1.792)(600,1.792) 
\psline(0,1.946)(600,1.946) \psline(0,2.079)(600,2.079) 
\psline(0,2.197)(600,2.197) \psline(0,2.303)(600,2.303) 
\psline(0,2.996)(600,2.996) \psline(0,3.401)(600,3.401)
\psline(0,3.689)(600,3.689)  \psline(0,3.912)(600,3.912) 
\psline(0,4.094)(600,4.094)  \psline(0,4.249)(600,4.249) 
\psline(0,4.382)(600,4.382)  \psline(0,4.5)(600,4.5) 
\psline(0,4.605)(600,4.605)  \psline(0,4.788)(600,4.788)
 \psline(0,4.868)(600,4.868) \psline(0,0)(600,0)
\uput[l](0,0){100} \uput[l](0,2.996){1 000} 
\uput[l](0,5.298){10 000}    
\end{pspicture} 
\end{center}
\end{document}