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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Centres étrangers juin 2006~\decofourright}} 
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Questionnaire à choix multiples}

\emph{Pour chaque question, une seule des trois réponses est exacte. On demanda d'indiquer la réponse exacte en cochant sans justification la grille réponse jointe en annexe à rendre avec la copie. Une bonne réponse rapporté $0,5$ point ; une mauvaise réponse enlève $0,25$ point ; l'absence de réponse donne $0$ point. Si le total des points est négatif, la note globale attribuée est} $0$.

\medskip

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $]-5~;~+\infty[$ dont le tableau de variations est donné ci-dessous :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(9,3)
\psframe(9,2.5)
\psline(0,2)(9,2) \psline(1,0)(1,2.5)
\uput[u](0.5,2){$x$} \uput[u](1.5,2){$-5$} \uput[u](3,2){$-1$} 
\uput[u](5,2){$0$} \uput[u](7,2){$2$} \uput[u](8.5,2){$+\infty$} 
\uput[u](0.5,0.8){$f(x)$} \uput[u](1.5,0){$-\infty$}\uput[d](3,2){$-3$}
\uput[u](5,0){$-5$}\uput[d](7,2){$4$}\uput[u](8.5,0){$-4,5$}
\psline{->}(1.4,0.6)(2.7,1.7) \psline{->}(3.3,1.7)(4.7,0.6) 
\psline{->}(5.3,0.6)(6.7,1.7)  \psline{->}(7.3,1.7)(8.6,0.6)
\end{pspicture}
\end{center}

On désigne par $\mathcal{C}$  la courbe représentative de $f$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Sur l'intervalle $]-5~;~+\infty[$, l'équation $f(x) = - 2$

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  admet une seule solution
\item[$\bullet~$]  admet deux solutions
\item[$\bullet~$]  admet quatre solutions.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\item Sur l'intervalle $]-5~;~+\infty[$ la courbe $\mathcal{C}$ :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] admet une seule asymptote la droite d'équation $x = -5$
\item[$\bullet~$] admet exactement deux asymptotes, les droites d'équations $x = -4,5$ et \\$y = -5$
\item[$\bullet~$] admet exactement deux asymptotes, les droites d'équations $y = -4,5$ et \\$x =  -5$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\item On sait que $f'(2) = 0$. L'équation de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $2$ est :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $y  = 4$
\item[$\bullet~$] $y = 4(x -2)$
\item[$\bullet~$] $x = 4$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\item On sait que l'équation de la tangente à $\mathcal{C}$ au point de coordonnées (1~;~2) est $y = 3x - 1$. On a :
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $f(2) =1$
\item[$\bullet~$] $f'(1) = -1$
\item[$\bullet~$] $f'(1)=3$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\item Sur l'intervalle $]2~;~+\infty[$, la fonction $g$ définie par $g(x) =\text{e}^{- f(x)}$
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] est croissante
\item[$\bullet~$] est décroissante
\item[$\bullet~$]  n'est pas monotone.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\item On pose $h(x) = \ln \left[f(x) + 5\right]$. Alors la fonction $h$ :
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] est décroissante sur $]2~;~+\infty[$ ; 
\item[$\bullet~$] est positive sur $]2~;~+\infty[$
\item[$\bullet~$] n'est pas définie sur $]2~;~+\infty[$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\end{enumerate}
 
\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ne suivant pas l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
Les résultats seront arrondis â $10^{-3}$ près.
 
\medskip
 
Un musée très fréquenté propose à la vente trois sortes de billets :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  au prix de 5 \euro{} un billet pour visiter uniquement le fonds permanent des collections ;
\item au prix de 3 \euro{} un billet pour visiter uniquement une exposition temporaire ;
\item au prix de 6 \euro{} un billet pour visiter le fonds permanent et l'exposition temporaire.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On sait que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item 85\,\% des visiteurs visitent le fonds permanent
\item 35\,\% des visiteurs visitent l'exposition temporaire.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Un visiteur se présente à l'entrée du musée et achète un billet.

On considère les évènements suivants :

$F$ : \og Le visiteur achète un billet à 5 \euro \fg{}

$E$ : \og Le visiteur achète un billet à 3 \euro \fg{}

$M$ : \og Le visiteur achète un billet à 6 \euro \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Établir que $p(M) = 0,2 ~;~ p(F) = 0,65$ et $p(E) = 0,15$.
		\item Calculer le prix de vente moyen d'un billet.
	\end{enumerate}
Le musée propose à la vente un catalogue sur l'exposition temporaire.

On sait que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item 35\,\% des personnes qui ne visitent que l'exposition temporaire achètent le catalogue.
\item 25\,\% des personnes qui visitent le fonds permanent et l'exposition temporaire achètent le catalogue.
\item 97\,\% des visiteurs du seul fonds permanent n'achètent pas le catalogue.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
On considère l'évènement $C$ : \og Le visiteur achète le catalogue \fg{}
\item Démontrer que $p(C) = 0,122$ (on pourra s'aider d'un arbre).
\item Un visiteur a acheté le catalogue. Quelle est la probabilité qu'il n'ait pas visité l'exposition temporaire ?
\item Quelle est la probabilité que, parmi trois visiteurs du musée venus indépendamment les uns des autres, au moins un n'ait pas acheté le catalogue ?
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats suivant l'enseignement de spécialité}

\medskip

Les questions 1. et 2. peuvent être traitées de façon indépendante.

\begin{enumerate}
\item  Dans une région, on considère trois types de temps : beau, variable, pluvieux.

On sait que :
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  S'il fait beau un jour donné, la probabilité qu'il fasse beau le lendemain est $\dfrac{1}{3}$
et la probabilité qu'il pleuve est $\dfrac{1}{6}$
\item Si le temps est variable, la probabilité qu'il soit variable le lendemain est $\dfrac{1}{4}$ et la probabilité qu'il pleuve est $\dfrac{1}{2}$
\item S'il pleut, la probabilité qu'il pleuve le lendemain est $\dfrac{1}{4}$ et la probabilité qu'il fasse beau est $\dfrac{1}{2}$
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
On note
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item B : \og le temps est beau \fg{} ;
\item V : \og le temps est variable \fg{} ;
\item P : \og le temps est pluvieux \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Représenter la situation par un graphe probabiliste.
		\item Donner la matrice de transition de ce graphe. Les sommets B, V, P seront rangés dans cet ordre.
		\item Pour tout entier naturel $n$, l'état probabiliste dans $n$ jours est défini par la matrice ligne $P_{n} =  \begin{pmatrix} b_{n}& v_{n} &p_{n}\end{pmatrix}$ où $b_{n}$ désigne la probabilité qu'il fasse beau dans $n$ jours, $v_{n}$ la probabilité que le temps soit variable dans $n$ jours et $p_{n}$ la probabilité qu'il pleuve dans $n$ jours.
		
Aujourd'hui il fait beau, on a donc $P_{0} \begin{pmatrix}1&0&0\end{pmatrix}$ matrice ligne décrivant l'état initial.

Déterminer la probabilité de chaque type de temps dans 2 jours.
		\end{enumerate}
\item Dans une autre région, on note B : \og il fait beau \fg{} 
$\overline{\text{B}}$	: \og il ne fait pas beau \fg.

Les variations du temps sont représentées par le graphe suivant :

\begin{center}

\begin{pspicture}(8,3)
\psset{unit=1cm}
\psset{arrowsize=1.5pt 3} \psset{arcangle=70}
\cnodeput(2,1.5){A}{B}
\cnodeput(6,1.5){B}{$\overline{\text{B}}$} 
\ncarc{->}{A}{B} \ncput*{$\dfrac{2}{3}$}
\ncarc{->}{B}{A} \ncput*{$\dfrac{3}{4}$}
\psset{arcangle=100}
\nccircle[angleA=90]{->}{A}{.5cm}\uput[l](1.,1.5){$\dfrac{1}{3}$}
\nccircle[angleA=270]{->}{B}{.5cm} \uput[r](7,1.5){$\dfrac{1}{4}$}   
\end{pspicture}
\end{center}


	\begin{enumerate}
		\item Donner la matrice de transition $T$ de ce graphe.
		\item Soit $Q =(x~ y)$ avec $x+y = 1$.
		
Déterminer $x$ et $y$ tels que $Q = QT$ et interpréter le résultat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On désigne par $f$ la fonction définie sur [0~;~5] par

\[f(x) = 1 - x + 2\ln x.\]

La courbe $\mathcal{C}$ donnée ci-dessous est la représentation graphique de $f$ dans un repère orthogonal (unités : $2$~cm sur l'axe des abscisses et $5$~cm sur l'axe des ordonnées).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la limite de $f$ en $0$.
\item Calculer $f'(x)$ et étudier les variations de $f$.

Dresser le tableau des variations de $f$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f(1)$.
		\item Justifier que l'équation $f(x) = 0$ admet sur [3~;~4] une solution unique $\alpha$ puis donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près par défaut de $\alpha$.
		\item En déduire le signe de $f(x)$ suivant les valeurs de $x$.
	\end{enumerate}
\item On appelle $g$ la fonction définie sur ]0~;~5] par 

\[g(x) =  x \left(- \dfrac{1}{2}x + 2\ln x - 1\right).\]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $g$ est une primitive de $f$ sur ]0~;~5].
		\item Sur le graphique ci-dessous, on considère le domaine limité par l'axe des abscisses et la partie de la courbe $\mathcal{C}$ située au-dessus de cet axe. Montrer que l'aire de ce domaine est égale en unités d'aire, à $g(\alpha)  - g(1)$.
		\item Calculer une valeur approchée de l'aire $\mathcal{A}$ exprimée en cm$^2$. \emph{On utilisera la valeur approchée de $\alpha$ trouvée au} 3. b.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=1.8cm,yunit=4.5cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-1.25)(5.5,0.4)
\multido{\r=-1.2+0.2}{9}{\psline[linestyle=dashed,linecolor=orange,linewidth=0.3pt](-0.5,\r)(5.5,\r)}
\multido{\r=-0.5+0.5}{13}{\psline[linestyle=dashed,linecolor=orange,linewidth=0.3pt](\r,-1.2)(\r,0.4)}
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,-1.2)(5.5,0.4)
\psplot[plotpoints=8000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0.4085}{5}{x ln 2 mul 1 add x sub}
\uput[ur](5.25,0){$x$} \uput[r](0,0.4){$y$} \uput[l](0.5,-0.9){\blue $\mathcal{C}$}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près

Le tableau ci-dessous donne le PIB de la Chine. en milliards de dollars, entre 1982 et 2002.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Année 					& 1982	&1986	&1990	&1994	&1998	&2002  \\ \hline
Rang $x_{i}$ de l'année &0		&4		&8		&12		&16		&20 \\ \hline
PIB $y_{i}$ 			&280	&300	&384	&546	&945	&\np{1232} \\\hline
\multicolumn{7}{r}{(\emph{Le Monde du} 26/01/2004} \\ 
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Représenter le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal du plan. Les unités graphiques seront de 1 cm pour deux années sur l'axe des abscisses et de 1 cm pour 100 milliards de dollars sur l'axe des ordonnées.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés.
		\item Tracer cette droite sur le graphique.
		\item Avec cet ajustement, estimer graphiquement et par le calcul le PIB de la Chine en 2004. Commenter le résultat obtenu.
	\end{enumerate}
\item On envisage dans cette question un ajustement exponentiel.

En posant $z = \ln y$ on obtient une droite d'ajustement de $z$ en $x$
d'équation 

$z =  0,08x + 5,46$.
	\begin{enumerate}
		\item On se propose de déterminer alors $y$ en fonction de $x$ sous la forme 
		
$y = \alpha \text{e}^{\beta x}$ où $\alpha$ et $\beta$ sont deux réels.
		
Montrer que $y =  235,10 \text{e}^{0,08x}$.
		\item Tracer sur le graphique la courbe d'équation $y = 235,10 \text{e}^{0,08x}$, pour \\$x \in  [0~;~24]$.
		\item Avec cet ajustement, estimer graphiquement et par le calcul, le PIB de la Chine en 2004.
	\end{enumerate}
\item Le PIB de la Chine pour 2004 était de \np{1650} milliards de dollars (Source internet).

Calculer en pourcentage par rapport à la valeur réelle, les erreurs commises
en prenant comme PIB les estimations obtenues aux questions 2 et 3.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe -- Document réponse à  rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 1 - Commun à tous les candidats}

\vspace{0,5cm}

Ne cocher qu'une seule réponse par question

\vspace{1cm}

\end{center}

\begin{enumerate}
\item  Sur l'intervalle $]-5~;~+\infty[$, l'équation $f(x) = -2$
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\Box~$]  admet une seule solution
\item[$\Box~$]  admet deux solutions
\item[$\Box~$]  admet quatre solutions.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\item Sur l'intervalle $]-5~;~+\infty[$ la courbe $\mathcal{C}$ :
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\Box~$] admet une seule asymptote la droite d'équation $x = -5$
\item[$\Box~$] admet exactement deux asymptotes, les droites d'équations $x = -4,5$ et $y = -5$
\item[$\Box~$] admet exactement deux asymptotes, les droites d'équations $y = -4,5$ et $x =  -5$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\item On sait que $f'(2) = 0$. L'équation de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $2$ est :
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\Box~$] $y  = 4$
\item[$\Box~$] $y = 4(x -2)$
\item[$\Box~$] $x = 4$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\item On sait que l'équation de la tangente à $\mathcal{C}$ au point de coordonnées (1 ; 2) est $y = 3x- 1$. On a :
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\Box~$] $f(2) =1$
\item[$\Box~$] $f'(1) = -1$
\item[$\Box~$] $f'(1)=3$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\item Sur l'intervalle $]2~;~+\infty[$, la fonction $g$ définie par $g(x) =\text{e}^{- f(x)}$
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\Box~$] est croissante
\item[$\Box~$] est décroissante
\item[$\Box~$] n'est pas monotone.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\item On pose $h(x) = \ln [f(x) + 5]$. Alors la fonction $h$ :
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\Box~$] est décroissante sur $]2~;~+\infty[$ ; 
\item[$\Box~$] est positive sur $]2~;~+\infty[$ ;
\item[$\Box~$] n'est pas définie sur $]2~;~+\infty[$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\end{enumerate}
\end{document} 