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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat  ES}
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft ~Baccalauréat ES Centres étrangers juin 2007~\decofourright}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Questionnaire à choix multiples}

\medskip

\emph{Pour chaque question, une seule réponse est exacte. L'exercice consiste à cocher la réponse exacte sans justification Une bonne réponse apporte $0,5$ point, une mauvaise enlève $0,25$ point. L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point. Si le total des points de l'exercice est négatif, il est ramené à~$0$.}

\textbf{COMPLÉTER LE DOCUMENT RÉPONSE EN ANNEXE}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
\renewcommand\arraystretch{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{10cm}|X|}\hline
\multirow{3}{7cm}{\textbf{1.} $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \left(\text{e}^{-x^2 + 3}\right)$ est égale à :}	&$\Box~~+ \infty$ \\ \cline{2-2}
	&$\Box~~0$\\ \cline{2-2}
 	&$\Box~~\text{e}^3$\\ \hline
\multirow{3}{7cm}{\textbf{2.} $\text{e}^{\ln (2)} +\text{e} - 4$ est égal à :}&$\Box~~\text{e} - 2$\\ \cline{2-2}
	& $\Box~~\ln (2) +\text{e} - 4$\\ \cline{2-2}
	&$\Box~~-2$\\ \hline
\multirow{3}{7cm}{\textbf{3.} $\ln (1 - x) \geqslant 1$ est équivalente à :}	&$\Box~~x \leqslant 1 - \text{e}$\\ \cline{2-2}
				&$\Box~~x < 0$\\ \cline{2-2}
				&$\Box~~x  > -\text{e}$\\ \hline
\multirow{3}{10cm}{\textbf{4.}  La fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $f(x) = \ln (x)+2$ a pour primitive la fonction $F$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par :}&$\Box~~F(x) = x \ln (x)$\\ \cline{2-2}
	&$\Box~~F(x) = x \ln (x) - x$\\ \cline{2-2}	
 	&$\Box~~F(x) =  x\ln (x) + x$\\ \hline
 \end{tabularx}
 
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs. $A$ et $B$ sont deux évènements associés à une expérience aléatoire. On sait que 
$P(A) = a^2,~ P(B) =  b^2$ et 
$P(A \cap B) = 2ab$. Alors,

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{10cm}|X|}\hline
\multirow{3}{7cm}{\textbf{5.}  $P\left(\overline{A}\right)$ est égale à :}	&$\Box~~$ $(1 - a)(1 + a)$\\ \cline{2-2}
	&$\Box~~$ $a^2 - 1$\\ \cline{2-2}
	&$\Box~~$ $b^2 - a^2$\\ \hline
\multirow{3}{7cm}{\textbf{6.} $P(A \cup B)$ est égale à :}	&$\Box~~$ $(a+b)^2$\\ \cline{2-2}	
	&$\Box~~$ $(a - b)^2$\\ \cline{2-2}	
	&$\Box~~$ $a^2 + b^2$\\ \hline
\multirow{3}{7cm}{\textbf{7.} $P_{B}(A)$ est égale à:}		&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$ $\dfrac{a}{2b}$\\ \cline{2-2}
	&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$ $\dfrac{2b}{a}$\\ \cline{2-2}
	&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$ $\dfrac{2a}{b}$\\ \hline
 \end{tabularx}
 
\newpage

\textbf{Partie C}

\medskip

Soit $\left(U_{n}\right)_{n \geqslant 0}$,  la suite géométrique de premier terme $U_{0} =  2$ et de raison $ \dfrac{1}{2}$. Alors,

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{7cm}|X|}\hline
\multirow{3}{7cm}{\textbf{8.} $U_{n+1}$  est égale à :}&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$$U_{n} + \dfrac{1}{2}$\\ \cline{2-2}	
&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$$\dfrac{1}{2}U_{n}$\\ \cline{2-2}
&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$$\left(U_{n}\right)^{\frac{1}{2}}$\\ \hline
\multirow{3}{7cm}{\textbf{9.} $U_{n}$ est égale à :}&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$	$ 2 + \dfrac{1}{2}n$\\ \cline{2-2}
&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$	$2^{(1 - n)}$\\ \cline{2-2}
&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$$2^{(n+1)}$\\ \hline
\multirow{3}{7cm}{\textbf{10.} $U_{0} + U_{1} + U_{2} + U_{3} + U_{4}$ est égale à:}&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$  $\dfrac{31}{8}$\\ \cline{2-2}
&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$ $15$\\ \cline{2-2}
&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$ $ \dfrac{15}{8}$\\ \hline
\end{tabularx}
\renewcommand\arraystretch{1}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur I = [0 ; 4] ; sa courbe représentative est donnée ci-dessous dans un repère orthogonal . On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.

Sont également tracées les tangentes à la courbe aux points d'abscisse $0$ et $2$ , ainsi que la droite ($d$) d'équation $y = x + 2$. Aux points d'abscisses $1$ et $3$ les tangentes à la courbe sont parallèles à l'axe des abscisses.

\bigskip

\parbox{0.59\textwidth}{
\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique, déterminer :
	\begin{enumerate}
		\item $f(0)$ et $f'(0)$.
		\item $f(1)$ et $f'(1)$.
		\item $f(2)$ et $f'(2)$.
		\item l'ensemble des réels $x$ tels que 
		
		$f(x) \leqslant  x + 2$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Par lecture graphique, dresser le tableau de variations de $f$ sur I ; on indiquera le signe de $f'(x)$.
		\item En déduire le tableau de variations de la fonction $g$ définie sur [0~;~4] par $g(x) =  \ln [f(x)]$
	\end{enumerate}.
\item On appelle $\mathcal{A}$ l'aire du domaine hachuré exprimée en unités d'aire. Parmi les trois propositions suivantes, déterminer celle qui est exacte, en la justifiant par des arguments géométriques
	\begin{enumerate}
		\item $0 \leqslant \mathcal{A} \leqslant 1$ 
		\item $1 \leqslant \mathcal{A} \leqslant 6$
		\item $6 \leqslant \mathcal{A} \leqslant 8$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
}
\hfill \parbox{0.36\textwidth}{
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(4.,12)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(-1,-1)(4,12)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=15](0,0)(-1,-1)(4,12)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\psline(-1,1)(4.5,6.5) \psline(0,2)(1.1111,12) \psline(-0.5,11.5)(3.5,-0.5)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{4}{x 3 sub 2 exp x mul 2 add}
\uput[u](3.9,0){$x$}\uput[r](0,11.8){$y$}
\uput[dl](0,0){O} \uput[u](-1,1){($d$)}
\pscustom[fillstyle=vlines,hatchcolor=blue]
{
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{2}{4}{x 3 sub 2 exp x mul 2 add}
\psline(4,6)(2,4)
}
\end{pspicture}
}

\begin{enumerate}[resume] 
\item On suppose que $f(x) =  mx^3 + nx^2 + px + q$, où $m,~ n,~ p$ et $q$ sont des réels. 
	\begin{enumerate}
		\item  En utilisant les résultats de la question 1 a, déterminer $p$ et $q$. 
		\item  En utilisant les résultats de la question 1 b, déterminer $m$ et $n$.
	\end{enumerate}
\item On admet que $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que les tangentes à la courbe aux points d'abscisses $0$ et $4$ sont parallèles. 
		\item  Calculer, en unités d'aire, l'aire $\mathcal{A}$ du domaine hachuré.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{center}
\emph{Les parties} A \emph{et} B \emph{sont indépendantes}
\end{center}

L'objet d'étude est le réseau des égouts d'une ville. Ce réseau est modélisé par le graphe ci-dessous : les sommets représentent les stations et les arêtes, les canalisations.

\vspace*{-0.5cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,3.4)
\psline(0,1.5)(1.5,3)(5.2,3)(7.3,0.5)(5.2,0)(1.5,0)(5.2,3)(7.3,0.5)(7.5,2.5)%EADGCBDGS
\psline(0,1.5)(1.5,0)%EB
\psline(1.5,3)(5.2,0)(7.5,2.5)(5.2,3)%ACSD
\psline(1.5,3)(1.5,0)%AB
\psline(5.2,3)(5.2,0)%DC
\uput[u](1.5,3){A} \uput[d](1.5,0){B} \uput[d](5.2,0){C} \uput[u](5.2,3){D} 
\uput[l](0,1.5){E} \uput[r](7.3,0.5){G} \uput[r](7.5,2.5){S} 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Ce graphe admet-il une chaîne eulérienne ?
\item Justifier que le nombre chromatique de ce graphe est compris entre 4 et 6.
\end{enumerate}	
	
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{center}
\begin{pspicture}(8,3.4)
\psline(0,1.5)(1.5,3)(5.2,3)(7.3,0.5)(5.2,0)(1.5,0)(5.2,3)(7.3,0.5)(7.5,2.5)%EADGCBDGS
\psline(0,1.5)(1.5,0)%EB
\psline(1.5,3)(5.2,0)(7.5,2.5)(5.2,3)%ACSD
\psline(1.5,3)(1.5,0)%AB
\psline(5.2,3)(5.2,0)%DC
\uput[u](1.5,3){A} \uput[d](1.5,0){B} \uput[d](5.2,0){C} \uput[u](5.2,3){D} 
\uput[l](0,1.5){E} \uput[r](7.3,0.5){G} \uput[r](7.5,2.5){S}
\rput(0.7,2.4){4}  \rput(0.7,0.6){7}  \rput(1.4,1.5){2}  \rput(2.5,2.4){8}  
\rput(2.8,1.25){6}  \rput(3.4,3.15){9}  \rput(3.2,-0.2){5}  \rput(5.1,1.5){3}  
\rput(6,2.25){5}  \rput(5.8,0.85){8}  \rput(6.8,2.85){8}  \rput(7.6,1.6){5}  
\rput(6.5,0.15){4}  
\end{pspicture}
\end{center}
Le graphe pondéré ci-dessus donne, en minutes, les durées des trajets existant entre les différentes stations du réseau des égouts.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Un ouvrier doit se rendre par ce réseau de la station E à la station S. Déterminer, en utilisant un algorithme, le trajet le plus rapide pour aller de E à S et préciser sa durée.
\item Ayant choisi le trajet le plus rapide, l'ouvrier arrivant en C, apprend que les canalisations CG et CS sont fermées pour cause de travaux et qu'il ne peut les utiliser.
	\begin{enumerate}
		\item Comment peut-il terminer, au plus vite, son trajet jusqu'à S ? Combien de temps le trajet entre E et S prendra-t-il dans ce cas ?
		\item S'il avait su dès le départ que les canalisations CG et CS étaient impraticables, quel trajet aurait choisi l'ouvrier pour se rendre, au plus vite de E à S ? Combien de temps ce trajet aurait-il pris ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On suppose que, pour tous les jours de septembre, la probabilité qu'il pleuve est $\dfrac{1}{4}$.

S'il pleut, la probabilité que Monsieur X arrive à l'heure à son travail est $\dfrac{1}{3}$.

S'il ne pleut pas, la probabilité que Monsieur X arrive à l'heure à son travail est $\dfrac{5}{6}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter par un arbre de probabilité la situation ci-dessus.
\item Quelle est la probabilité qu'un jour de septembre donné, il pleuve et que Monsieur X arrive à l'heure à son travail ?
\item Montrer que la probabilité qu'un jour de septembre donné, Monsieur X arrive à l'heure à son travail est $\dfrac{17}{24}$.
\item Un jour de septembre donné, Monsieur X arrive à l'heure à son travail.\\
Quelle est la probabilité qu'il ait plu ce jour là ?
\item Sur une période de 4 jours de septembre, quelle est la probabilité que
Monsieur X arrive à l'heure au moins une fois ? \emph{On arrondira le résultat à $10^{-3}$ près.}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On s'intéresse à la production mensuelle d'une certaine catégories d'articles par une entreprise E. On sait que le nombre d'articles produits par mois est compris entre $0$ et $500$. On suppose que le coût marginal, exprimé en milliers d'euros, peut être modélisé par la fonction $C$ définie sur l'intervalle [0~;~5] par 

\[C(x) = 4x + (1 -  2x)\text{e}^{-2x + 3}\]

où $x$ représente le nombre de centaines d'articles fabriqués.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On sait que la fonction coût total, notée $C_{T}$, est la primitive de la fonction $C$ sur [0~;~5] qui s'annule pour $x =0$.

Justifier que $C_{T}(x) =  2x^2 + x\text{e}^{-2x + 3}$.
\item La fonction coût moyen, notée $C_{M}$ est la fonction définie sur ]0 ; 5] par :

\[C_{M}(x) = \dfrac{C_{T}(x)}{x}.\]

Donner une expression de $C_{M}(x)$, en fonction de $x$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer $C_{M}'(x)$ où $C_{M}'$ désigne la fonction dérivée de $C_{M}$.
		\item  Résoudre dans $\R$ l'équation : 	 $1 - \text{e}^{-2x + 3} =  0$.
		\item  Résoudre dans $\R$ l'inéquation : $1 - \text{e}^{-2x + 3} >  0$.
		\item  En déduire le sens de variations de $C_{M}$ sur ]0~;~5].
	\end{enumerate}
\item Pour quelle production l'entreprise a-t-elle un coût moyen minimal et quel est ce coût en euros ?
\item Chaque centaine d'articles est vendue \np{7000}~\euro. La recette totale pour $x$ centaines d'articles est donnée, en admettant que toute la production soit vendue, par $R_{T}(x) = 7x$ en milliers d'euros.

Le bénéfice est donc défini par $B(x) = R_{T}(x) - C_{T}(x)$.
	\begin{enumerate}
		\item  En \textbf{annexe 2} sont représentées les fonctions $C_{T}$ et $R_{T}$.
		
Par lecture graphique déterminer :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item le coût moyen minimal,
\item l'intervalle dans lequel doit se situer la production $x$ pour qu'il y ait un bénéfice positif de l'entreprise E,
\item la production $x_{0}$ pour laquelle le bénéfice est maximal.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On fera apparaître les constructions nécessaires.
		\item Avec l'aide de votre calculatrice, affiner l'intervalle (à un article près) dans lequel doit se situer la production $x$ pour qu'il y ait un bénéfice positif de l'entreprise E.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Annexe 1\hfill à rendre avec la copie}

Exercice 1 : commun à tous les candidats

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{10cm}|X|}\hline
\multirow{3}{7cm}{\textbf{1.} $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \left(\text{e}^{-x^2 + 3}\right)$ est égale à :}	&$\Box~~+ \infty$ \\ \cline{2-2}
		&$\Box~~0$\\ \cline{2-2}
 		&$\Box~~\text{e}^3$\\ \hline
\multirow{3}{7cm}{\textbf{2.} $\text{e}^{\ln (2)} +\text{e} - 4$ est égal à :}&$\Box~~\text{e} - 2$\\ \cline{2-2}
		& $\Box~~\ln (2) +\text{e} - 4$\\ \cline{2-2}
		&$\Box~~-2$\\ \hline
\multirow{3}{7cm}{\textbf{3.} $\ln (1 - x) \geqslant 1$ est équivalente à :}	&$\Box~~x \leqslant 1 - \text{e}$\\ \cline{2-2}
		&$\Box~~x < 0$\\ \cline{2-2}
		&$\Box~~x  > -\text{e}$\\ \hline
\multirow{3}{10cm}{\textbf{4.}  La fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $f(x) = \ln (x)+2$ a pour primitive la fonction $F$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par :}&$\Box~~F(x) = x \ln (x)$\\ \cline{2-2}
		&$\Box~~F(x) = x \ln (x) - x$\\ \cline{2-2}	
 		&$\Box~~F(x) =  x\ln (x) + x$\\ \hline
 \end{tabularx}
 
\medskip

\noindent\textbf{Partie B}

\medskip
\renewcommand\arraystretch{1.6}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{10cm}|X|}\hline
\multirow{3}{7cm}{\textbf{5.}  $P\left(\overline{A}\right)$ est égale à :}	&$\Box~~$ $(1 - a)(1 + a)$\\ \cline{2-2}
		&$\Box~~$ $a^2 - 1$\\ \cline{2-2}
		&$\Box~~$ $b^2 - a^2$\\ \hline
\multirow{3}{7cm}{\textbf{6.} $P(A \cup B)$ est égale à :}	&$\Box~~$ $(a+b)^2$\\ \cline{2-2}	
		&$\Box~~$ $(a - b)^2$\\ \cline{2-2}	
		&$\Box~~$ $a^2 + b^2$\\ \hline
\multirow{3}{7cm}{\textbf{7.} $P_{B}(A)$ est égale à:}		&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$ $\dfrac{a}{2b}$\\ \cline{2-2}
		&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$ $\dfrac{2b}{a}$\\ \cline{2-2}
		&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$ $\dfrac{2a}{b}$\\ \hline
 \end{tabularx}
 
\medskip

\noindent\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{10cm}|X|}\hline
\multirow{3}{7cm}{\textbf{8.} $U_{n+1}$  est égale à :}&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$$U_{n} + \dfrac{1}{2}$\\ \cline{2-2}	
&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$$\dfrac{1}{2}U_{n}$\\ \cline{2-2}
&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$$\left(U_{n}\right)^{\frac{1}{2}}$\\ \hline
\multirow{3}{7cm}{\textbf{9.} $U_{n}$ est égale à :}&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$	$ 2 + \dfrac{1}{2}n$\\ \cline{2-2}
&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$	$2^{(1 - n)}$\\ \cline{2-2}
&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$$2^{(n+1)}$\\ \hline
\multirow{3}{7cm}{\textbf{10.} $U_{0} + U_{1} + U_{2} + U_{3} + U_{4}$ est égale à:}&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$  $\dfrac{31}{8}$\\ \cline{2-2}
&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$ $15$\\ \cline{2-2}
&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$ $ \dfrac{15}{8}$\\ \hline
\end{tabularx}
\renewcommand\arraystretch{1}
\newpage

\textbf{Annexe 2\hfill à rendre avec la copie}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 : commun à tous les candidats}

\vspace{3cm}

\begin{center}
\psset{xunit=2.4cm,yunit=1.8mm}
\begin{pspicture}(5,50)
\multido{\n=0+0.2}{26}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.4pt](\n,0)(\n,50)}
\multido{\n=0+2}{26}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.4pt](0,\n)(5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=10]{->}(0,0)(5,50)
\uput[d](5.1,0){$x$} \uput[l](0,50){$y$}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=8000]{0}{5}{2.71828 3 2 x mul sub exp  x  mul  x 2 exp 2 mul add}
\psplot{0}{5}{7 x mul}
\psline[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](1,-6)(1.75,-6) \rput(3,-6){Courbe représentative de $C_{T}$}
\psline(1,-10)(1.75,-10) \rput(3,-10){Courbe représentative de $R_{T}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}