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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{juin  2001}}
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Centres étrangers juin 2001~\decofourright}}\normalsize{}	
\end{center}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Le tableau ci-dessous donne le taux d'équipement en lave-vaisselle des ménages français, de 1975 à 1993.
 
\medskip 

\[\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|m{3cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\text{Année} 					&1975 	&1980 	&1985 	&1990 	&1993 \\ \hline
$x_i$ : rang de l'année 		&0 		&5 		&10 	&15 	&18 \\ \hline
$y_i$ : taux en \% 				&8,4 	&16,5 	&23,1 	&30,0 	&33,6\\ \hline
\multicolumn{6}{r}{\footnotesize(Source : INSEE)}
\end{tabularx}\]
 
Par exemple : 8,4\,\% des ménages français ont un lave-vaisselle en 1975.

\emph{Dans tout l'exercice, le détail des calculs n'est pas demandé. 
Les résultats pourront être obtenus à l'aide de la calculatrice; ils seront arrondis à $10^{-3}$ près}.

Le plan est rapporté à un repère orthogonal (unité graphique  : 0,5~cm
 par année sur l'axe des abscisses et 1~cm pour $3\,\%$ sur l'axe des  ordonnées.

\medskip
  
\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Représenter le nuage de points $\left(x_i~;~y_i\right)$. On utilisera une feuille de papier millimétré.
		\item Calculer les coordonnées du point moyen G de cette série statistique et le placer sur le dessin précédent.
\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer le coefficient de corrélation linéaire de la série $\left(x_i~;~y_i\right)$.

Un ajustement affine est-il justifié ?
		\item Donner une équation de la droite de régression (D) de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés.

Représenter (D) sur le dessin précédent.
	\end{enumerate}
\item On suppose dans cette question que le modèle
 obtenu à la question \textbf{2.} reste valable pour les années suivantes.
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer le taux d'équipement en lave-vaisselle que l'on peut prévoir en 2002.
		\item En quelle année ce taux dépasserait-il 50\,\% ? Déterminer l'année par le calcul.
		
Expliquer comment on peut retrouver graphiquement ce résultat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Une enquête est faite auprès des élèves d'un lycée. Elle révèle que 
$30\,\%$ d'entre eux sont allés le mois précédent au moins quatre fois au 
cinéma. 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item D'après cette enquête, quelle est la
 probabilité pour qu'un lycéen, pris au hasard, y soit allé au plus trois fois ?
\item On interroge trois élèves choisis au hasard et
 de manière indépendante.
 
Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre d'élèves qui, parmi ces trois élèves, sont allés au moins quatre fois au cinéma le mois  précédent.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la loi de probabilité de $X$. On pourra utiliser un arbre pondéré.
		\item Calculer l'espérance mathématique de $X$.
	\end{enumerate}
\item Soit $F$ la fonction de répartition de 
$X$. Représenter graphiquement $F$ dans le plan rapporté à un repère orthogonal (unités graphiques : 2 cm par unité en abscisse et 10 cm pour une unité en ordonnée).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

L'espace est rapporté à un repère orthonormal $\left(\text{A}~ ; 
\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$.

ABCDEFGH est un pavé défini par $\vect{\text{AB}} = 
2\vect{\imath}~;~\vect{\text{AD}} = 
6\vect{\jmath}~;~$ et $\vect{\text{AE}} = 4 \vect{k}$. 

I, J et K sont les milieux respectifs de [EF], [FB] et [AD].

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Placer les points I, J et K sur la figure
 donnée en annexe. Donner les coordonnées des points B, D et E. Puis vérifier par le calcul que I, J et K ont pour coordonnées respectives (1~;~0~;~4),  (2~;~0~;~2) et (0~;~3~;~0).
\item Soit (P$_1$) le plan d'équation $y = 0$ et 
(P$_2$) le plan d'équation $2x + z = 6$.
	\begin{enumerate} 
		\item Donner un vecteur $\vect{n}_1$, normal au plan (P$_1$) et un vecteur $\vect{n}_2$ normal au plan (P$_2$).
		\item En déduire que les plans (P$_1$) et (P$_2$) sont sécants.
		\item Soit ($\Delta$) l'intersection des deux plans (P$_1$) et 
(P$_2$).

Montrer que ($\Delta$) est la droite (IJ).
	\end{enumerate}
\item Soit $\vect{n}$(2~;~2~;~1).
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que $\vect{n}$ est un vecteur orthogonal aux
 vecteurs $\vect{\text{IJ}}$ et $\vect{\text{IK}}$
		\item En déduire que $\vect{n}$ est un vecteur normal au 
plan (IJK).
		\item Montrer alors que le plan (IJK) a pour équation $2 x + 2y + z = 6$.
	\end{enumerate}
\item On considère le plan (P) d'équation $5 x +y = 
5$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées des points R et T, intersections du plan 
(P) avec les axes (A$x$) et (A$y$) respectivement.
		\item Vérifier que le point I appartient au plan (P).
		\item Sur la figure précédente, placer les points R et T, puis dessiner la trace du plan (P) sur le plan ($x$A$y$).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=8mm}
\begin{center}
\begin {pspicture}(9,7)
\psgrid[subgriddiv=2,gridlabelcolor=white,gridcolor=orange,subgridcolor=orange]
\psline[linewidth=1.pt](2,2)(9,2)
\psline[linewidth=1.pt](1,1)(7,1)(7,5)(8,6)(2,6)(1,5)(1,1)(2,2)(2,6)
\psline[linewidth=1.pt](1,5)(7,5) 
\psline[linewidth=1.pt](7,1)(8,2)(8,6)
\psline[linewidth=1pt](1,1)(0,0)
\psline[linewidth=1pt](2,6)(2,7)
\psline[linewidth=1pt](8,2)(9,2)
\uput[dr](2,2){A} \uput[l](1,1){B} \uput[dr](7,1){C} \uput[ur](8,2){D} 
\uput[ul](2,6){E} \uput[dl](1,5){F} \uput[dr](7,5){G} \uput[ur](8,6){H} 
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(2,2)(3,2)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(2,2)(2,3)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(2,2)(1.5,1.5)
\rput(2.4,2.4){$\vect{\jmath}$}\rput(1.2,1.7){$\vect{\imath}$}
\rput(1.7,2.5){$\vect{k}$}\rput(0.5,0.2){$x$} \rput(8.6,1.7){$y$} \rput(2.2,6.8){$z$}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}
 
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :

\[f(x) = (x + 1)^2 \text{e}^{- x}.\]

On désigne par ($\mathcal{C}$) la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij.

\medskip

\textbf{Partie A $\star~$ Étude d'une fonction}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer la limite de $f$ en - $\infty$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que, pour tout réel $x,~ f(x) =
 x^2\text{e}^{-x} + 2x \text{e}^{-x}  + \text{e}^{-x}$.
		\item En déduire la limite de $f$ en $+ \infty$. (On rappelle que
 $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x^{\alpha}\text{e}^{- x} = 0$,
pour tout réel $\alpha$.)

Quelle interprétation graphique peut-on en faire ?
	\end{enumerate}
\item Soit	la fonction dérivée de $f$. Montrer que,
 pour tout réel $x,$
 \[f'(x) = \left(1 - x^2\right)\text{e}^{- x}.\]
\item Donner une équation de la tangente (T) à la courbe ($\mathcal{C}$) au point d'abscisse 0. 
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\R$. Résumer cette étude dans un tableau.
\item Montrer que l'équation $f(x) = 1$ admet une unique solution $x_0$ dans l'intervalle [1~;~3]. Donner un encadrement décimal de $x_0$, d'amplitude $10^{- 2}$.
\item Construire dans le repère \Oij, d'unité graphique 2~cm la courbe ($\mathcal{C}$), la tangente (T) à la courbe ($\mathcal{C}$) au point d'abscisse 0, ainsi que les tangentes horizontales à la courbe ($\mathcal{C}$).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B $\star~$ Étude de la fonction inverse}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Montrer que la fonction $f$ est strictement
 positive sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
\item On considère la fonction $g$ définie sur
 $[0~ ;~ + ~\infty[$ par $g(x) = \dfrac{1}{f(x)}.$
 
Calculer $g(0),~ g(1)$ et $g(x_0)$, où $x_0$ désigne le nombre défini à la question \textbf{6.} de la \textbf{partie A}.
\item Déterminer la limite de $g$ en $+ \infty$.
\item Dresser le tableau des variations de la fonction $g$ sur $[0~;~+ \infty[$ en donnant les justifications nécessaires.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C} $\star~$ \textbf{Calcul d'aire}

\medskip

On considère la fonction $F$ définie pour tout $x$ de $\R$ par :

\[F(x) = \left(- x^2 - 4x - 5\right)\text{e}^{- x}.\]

\begin{enumerate} 
\item Montrer que la fonction $F$ est une primitive
 de la fonction $f$ sur $\R$.
\item On considère l'aire $\mathcal{A}$, exprimée en cm$^2$ du domaine plan limité par la courbe ($\mathcal{C}$), l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 2$.
 
Donner la valeur exacte de $\mathcal{A}$, puis une valeur approchée par défaut de $\mathcal{A}$ à $10^{- 2}$ près.
\end{enumerate}
\end{document}