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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Centres étrangers  I}}
\rfoot{\small  juin 1996}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Centres étrangers  I juin 1996~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Dans cet exercice, les résultats seront donnés sous forme de
fractions irréducti\-bles.} 
\medskip

Dans un jeu, il s'agit de trouver la bonne réponse à une question posée. Les
questions sont classées en \textbf{trois} catégories : sport, cinéma, musique. Dans chaque catégorie, il y a le même nombre de questions. Les trois catégories sont donc équiprobables.
 
Alain, fervent supporter de ce jeu, est conscient qu'il a :
 
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item 5 chances sur 6 de donner la bonne réponse sachant qu'il est interrogé en
sport ; 
\item 2 chances sur 3 de donner la bonne réponse sachant qu'il est interrogé en
cinéma ; 
\item 1 chance sur 9 de donner la bonne réponse sachant qu'il est interrogé en
musique.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 
 
\begin{enumerate}
\item Alain participe à ce jeu et tire au
hasard une question. Déterminer la probabilité que : 
	\begin{enumerate}
		\item la question soit dans la catégorie sport et qu'il donne la bonne
réponse ;
		\item sa réponse soit bonne à la question posée.
	\end{enumerate}
\item Pour participer au jeu, Alain doit payer
10 F de droit d'inscription.
		 
Il recevra :
		
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item 10 F s'il est interrogé en sport et que sa réponse est bonne ;
\item 20 F s'il est interrogé en cinéma et que sa réponse est bonne ;
\item 50 F s'il est interrogé en musique et que sa réponse est bonne ;
\item 0 F si la réponse qu'il donne est fausse.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Soit $X$ la variable aléatoire égale au gain d'Alain (on appelle gain la
différence, en francs, entre ce qu'il reçoit et les 10 F de droit 
d'inscription). 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les valeurs prises par $X$.
		\item Déterminer la loi de probabilité de $X$.
		\item Calculer l'espérance mathématique E($X$) de $X$. Alain a-t-il intérêt
à jouer ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
		
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

Le plan ($\mathcal{P}$) est muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 1~cm.

On rappelle que $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien et e le nombre réel
tel que $\ln \text{e} = 1$.

On considère la fonction numérique $f$, définie sur l'intervalle 
$]0~;~\text{e}]$ par

 \[ f(x) = x - \dfrac{\ln x}{x} \]

\begin{enumerate}
\item Déterminer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~\text{e}]$.
\item La courbe ($\mathcal{C}$) ci-dessous représentedans le plan ($\mathcal{P}$) la fonction $f$. On appelle ($\Delta$) la droite
d'équation $y = x$.
	\begin{enumerate}
		\item Étudier, suivant les valeurs du réel $x$, le signe de $x - f(x)$ sur
l'intervalle $]0~;~$ e].
		\item En déduire la position relative de la courbe ($\mathcal{C}$) et de la
droite ($\Delta$).
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la fonction dérivée $g'$ de la
fonction numérique $g$ définie sur l'intervalle  $]0~;~$ e] par $g(x) = (\ln x)^2$.
En déduire, sur cet intervalle, une primitive de la fonction qui à $x$
associe $\dfrac{\ln x}{x}$.
		\item Calculer, en cm$^2$, l'aire de la partie du plan ($\mathcal{P}$) 
limitée par la courbe ($\mathcal{C}$), la droite ($\Delta$) et les 
droites d'équations $x = 1$ et $x$ = e.\\
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\psset{unit=2cm}
\begin{center} 
\begin{pspicture}(3,4)
\psgrid[gridlabels=0pt](0,0)(3,4)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(3,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psline{<->}(0.2,1)(1.8,1)
\psline[linewidth=1.5pt](0,0)(3,3)
\rput(0.5,-0.2){$\vect{\imath}$} 
\rput(-0.2,0.5){$\vect{\jmath}$} 
\rput(0.5,3.2){\blue $\mathcal{(C)}$} 
\rput(2.9,3.1){($\Delta$)} \rput(2.72,-0.2){e} 
\psline[linestyle=dashed](2.728,0)(2.728,4)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.314}{3}{x x ln x div sub}
\end{pspicture} 
\end{center}
     
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

Dans une entreprise, le salaire mensuel des employés est de \np{7040}~F, celui des techniciens le double et celui des cadres	\np{21120}~F. La masse salariale mensuelle de cette entreprise s'élève à \np{380160}~F, pour un salaire mensuel moyen de \np{8640}~F

Pour des raisons économiques, la direction doit diminuer la	masse salariale de 2\,\%. 

Cette diminution se répartit alors de la façon suivante :  une baisse de 1 \% sur le salaire des employés, de 3\,\% sur celui des techniciens et de 6\,\% sur celui des cadres.	

On désigne respectivement par $a$ le nombre d'employés, $b$ le
nombre de techniciens, $c$ le nombre de cadres.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire les données précédentes par trois égalités vérifiées par les entiers $a, b$ et $c$.
\item Sachant que le triplet $(a,\: b,\: c)$ est solution du système suivant, d'inconnues $X,\: Y,\: Z$,

\[\left\{\begin{array}{l c l}
X + Y + Z&=&44\\
X + 2Y + 3Z&=& 54\\ 
X + 6Y + 18Z&=&	108,
\end{array}\right.\]

résoudre ce système et en déduire l'effectif de chaque catégorie de salariés.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 5 points}

\medskip

Le tableau ci-dessous décrit le nombre moyen $y$ d'objets qu'un	ouvrier commençant à travailler sur une chaîne de montage produit en un jour, le $x$-ième jour où il travaille sur cette chaîne.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$&	1&	3&	5&		7&	9\\ \hline		
$y_{i}$&27&	41&	46&	48&		49\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{Partie A}

\medskip

Dans cette partie, on utilisera pour les calculs statistiques les fonctions de la calculatrice (le détail des calculs n'est pas demandé).
 
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Le plan (P) est muni d'un repère orthogonal d'unités graphiques : 1~cm pour un jour en abscisse et 1~cm pour 5 objets en ordonnée.

Dans le plan (P) représenter le nuage de points associé à la série
statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$.
\item Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage et le placer sur le graphique précédent.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une valeur approchée à $10^{- 2}$	près du coefficient
de corrélation linéaire de la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$.
		\item Donner une équation de la droite $\Delta$ de régression de $y$ en $x$
par la méthode des moindres carrés.
		
Représenter la droite $\Delta$ sur le graphique précédent.
		\item Un ajustement affine de ce nuage de points est-il acceptable ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit alors la fonction numérique $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par

\[ f(x) = 50 - 34 \text{e}^{- 0,4x}.\]

\begin{enumerate}
\item On appelle ($C$) sa courbe représentative dans le plan (P).
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. Interpréter graphiquement ce résultat.
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\item Dans la situation de la partie A, on constate une stabilisation
de la quantité d'objets produits en un jour après un certain temps  de manipulation de la machine.

Une étude permet de considérer que le nombre d'objets produits par un ouvrier le $x$-ième jour où il travaille sur cette chaîne est modélisé par une expression de la	
forme $50 - a\text{e}^{bx}$ où $a$ et $b$ sont	des réels.

Soit $g$ la fonction numérique définie sur l'intervalle [0~;~100] par

\[g(x) = 50 - a\text{e}^{bx}.\]

Déterminer les réels $a$ et $b$ pour que la courbe représentant la fonction $g$ dans le plan (P) passe par les points A et B de coordonnées respectives (1~;~27) et (9~;~49).

On donnera de $a$ la valeur exacte puis une valeur entière approchée à une unité près. On donnera de $b$ la valeur exacte puis une valeur décimale approchée à $10^{-1}$ près.
\item En considérant que, pour $x$ entre 0 et 100, $f(x)$ est une bonne approximation de $g(x)$, estimer le nombre d'objets que devrait produire un ouvrier le 15\up{e} jour où il travaille sur la chaîne.
\end{enumerate}		 
\end{document}