\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{makeidx}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pstricks,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3cm, right=3cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii)}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\makeindex
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat S},
pdftitle = {Centres étrangers 12 juin  2015},
allbordercolors = white} 
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small Centres étrangers}
\rfoot{\small 12 juin 2014}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée  : 4 heures }

\vspace{0,25cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Centres étrangers
~\decofourright\\[4pt]12 juin 2014}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\emph{Dans l'ensemble du sujet, et pour chaque question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\subsection*{Exercice 1 \hfill 4 points}

\textbf{\emph{Commun à tous les candidats}}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples comportant quatre questions indépendantes.\\ Pour chaque question, une seule des quatre affirmations proposées est exacte.\\ 
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à l'affirmation exacte. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte un point ; une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.}\index{Q. C. M.}

\medskip
 
\textbf{Question 1}\index{probabilités}
 
Dans un hypermarché, 75\,\% des clients sont des femmes. Une femme sur cinq achète un article au rayon bricolage, alors que sept hommes sur dix le font.
 
Une personne, choisie au hasard, a fait un achat au rayon bricolage. 
La probabilité que cette personne soit une femme a pour valeur arrondie au millième :

\medskip
\begin{tabularx} {\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 0,750& \textbf{b.~~} 0,150& \textbf{c.~~} 0,462& \textbf{d.~~} 0,700 
\end{tabularx}
\medskip

\textbf{Question 2}\index{loi binomiale}

Dans cet hypermarché, un modèle d'ordinateur est en promotion. Une étude statistique a permis d'établir que, chaque fois qu'un client s'intéresse à ce modèle, la probabilité qu'il l'achète est égale à $0,3$. On considère un échantillon aléatoire de dix clients qui se sont intéressés à ce modèle.

La probabilité qu'exactement trois d'entre eux aient acheté un ordinateur de ce modèle a pour valeur arrondie au millième :

\medskip
\begin{tabularx} {\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 0,900& 
\textbf{b.~~} 0,092& 
\textbf{c.~~} 0,002& 
\textbf{d.~~} 0,267
\end{tabularx}
\medskip

\textbf{Question 3}\index{loi exponentielle}

Cet hypermarché vend des téléviseurs dont la durée de vie, exprimée en année, peut être modélisée par une variable aléatoire réelle qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. La durée de vie moyenne d'un téléviseur est de huit ans, ce qui se traduit par : $\lambda = \dfrac{1}{8}$.

La probabilité qu'un téléviseur pris au hasard fonctionne encore au bout de six ans a pour valeur arrondie au millième :

\medskip
\begin{tabularx} {\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 0,750& 
\textbf{b.~~} 0,250& 
\textbf{c.~~} 0,472& 
\textbf{d.~~} 0,528
\end{tabularx}
\medskip

\textbf{Question 4}\index{loi normale}

Cet hypermarché vend des baguettes de pain dont la masse, exprimée en gramme, est une variable aléatoire réelle qui suit une loi normale de moyenne $200$~g. 

La probabilité que la masse d'une baguette soit comprise entre 184 g et 216 g est égale à $0,954$.

La probabilité qu'une baguette prise au hasard ait une masse inférieure à 192 g a pour valeur arrondie au centième :

\medskip
\begin{tabularx} {\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} 0,16& 
\textbf{b.~~} 0,32& 
\textbf{c.~~} 0,84& 
\textbf{d.~~} 0,48 
\end{tabularx}

\medskip

\subsection*{Exercice 2 \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
On définit, pour tout entier naturel $n$, les nombres complexes $z$ par : 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
z_{0}&=& 16\\
z_{n+1}&=&\dfrac{1 + \text{i}}{2}z_{n},\: \text{pour tout entier naturel} \: n.
\end{array}\right.\]

On note $r_{n}$ le module du nombre complexe $z_{n}\: : r_{n} =\left|z_{n}\right|$.

Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct d'origine O, on considère les points $A_{n}$ d'affixes $z_{n}$.

\medskip\index{complexes et suite}

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $z_{1}, z_{2}$ et $z_{3}$.
		\item Placer les points $A_{1}$ et $A_{2}$ sur le graphique de l'\textbf{annexe, à rendre avec la copie}.
		\item Écrire le nombre complexe $\dfrac{1 + \text{i}}{2}$ sous forme trigonométrique.
		\item Démontrer que le triangle O$A_{0}A_{1}$ est isocèle rectangle en $A_{1}$. 
	\end{enumerate}
\item Démontrer que la suite $\left(r_{n}\right)$ est géométrique, de raison $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.\index{suite géométrique}

La suite $\left(r_{n}\right)$ est-elle convergente ?

Interpréter géométriquement le résultat précédent.

On note $L_{n}$ la longueur de la ligne brisée qui relie le point $A_{0}$ au point $A_{n}$ en passant successivement par les points $A_{1}, A_{2},  A_{3}$, etc.

Ainsi $L_{n} = \displaystyle\sum_{i=0}^{n-1} A_{i}A_{i+1} =  A_{0}A_{1} + A_{1}A_{2} + \ldots + A_{n-1}A_{n}.$
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout entier naturel $n \::\: A_{n}A_{n+1} = r_{n+1}$. 
		\item Donner une expression de $L_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Déterminer la limite éventuelle de la suite $\left(L_{n}\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 3 \hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip

Une image numérique en noir et blanc est composée de petits carrés (pixels) dont la couleur va du blanc au noir en passant par toutes les nuances de gris. Chaque nuance est codée par un réel $x$ de la façon suivante : 	

\smallskip

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $x = 0$ pour le blanc ;
\item[$\bullet~~$] $x = 1$ pour le noir;
\item[$\bullet~~$] $x = 0,01 \:;\: x = 0,02$ et ainsi de suite jusqu'à $x = 0,99$ par pas de $0,01$ pour toutes les nuances intermédiaires (du clair au foncé).
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\smallskip

L'image A, ci-après, est composée de quatre pixels et donne un échantillon de ces nuances avec leurs codes.

Un logiciel de retouche d'image utilise des fonctions numériques dites \og fonctions de retouche \fg.

Une fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~1] est dite \og fonction de retouche \fg{} si elle possède les quatre propriétés suivantes : 

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $f(0) = 0$ ;
\item[$\bullet~~$] $f(1) = 1$ ;
\item[$\bullet~~$] $f$ est continue sur l'intervalle [0~;~1] ;
\item[$\bullet~~$] $f$ est croissante sur l'intervalle [0~;~1].
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Une nuance codée $x$ est dite assombrie par la fonction $f$ si $f(x) > x$, et éclaircie, si $f(x) < x$.

Ainsi, si $f(x) = x^2$, un pixel de nuance codée $0,2$ prendra la nuance codée

$0,2^2 = 0,04$. L'image A sera transformée en l'image B ci-dessous. 

Si $f(x) = \sqrt{x}$, la nuance codée $0,2$ prendra la nuance codée $\sqrt{0,2} \approx 0,45$. L'image A sera transformée en l'image C ci-dessous. 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering\arraybackslash}X}}
\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(2,2)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!20](0,1)(1,2)\rput(0.5,1.5){0,20}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!40](1,1)(2,2)\rput(1.5,1.5){0,40}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!60](0,0)(1,1)\rput(0.5,0.5){0,60}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!80](1,0)(2,1)\rput(1.5,0.5){0,80}
\end{pspicture}&
\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(2,2)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!4](0,1)(1,2)\rput(0.5,1.5){0,04}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!16](1,1)(2,2)\rput(1.5,1.5){0,16}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!36](0,0)(1,1)\rput(0.5,0.5){0,36}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!64](1,0)(2,1)\rput(1.5,0.5){0,64}
\end{pspicture}
&\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(2,2)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!45](0,1)(1,2)\rput(0.5,1.5){0,45}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!63](1,1)(2,2)\rput(1.5,1.5){0,63}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!77](0,0)(1,1)\rput(0.5,0.5){0,77}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!89](1,0)(2,1)\rput(1.5,0.5){0,89}
\end{pspicture}\\
Image A&
Image B&
Image C
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f_{1}$ définie sur l'intervalle [0~;~1] par : 

\[f_{1}(x) = 4x^3 - 6x^2 + 3x.\]

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la fonction $f_{1}$ est une fonction de retouche. 
		\item Résoudre graphiquement l'inéquation $f_{1}(x) \leqslant x$, à l'aide du graphique donné en annexe, à rendre avec la copie, en faisant apparaître les pointillés utiles.

Interpréter ce résultat en termes d'éclaircissement ou d'assombrissement.
	\end{enumerate}
\item On considère la fonction $f_{2}$ définie sur l'intervalle [0~;~1] par : 

\[f_{2}(x) = \ln [1 + (\text{e} - 1)x].\]
 
On admet que $f_{2}$ est une fonction de retouche. 

On définit sur l'intervalle [0~;~1] la fonction $g$ par : $g(x) = f_{2}(x) - x$. 
		
	\begin{enumerate}
		\item Établir que, pour tout $x$ de l'intervalle [0~;~1] : $g'(x) = \dfrac{(\text{e} - 2) - (\text{e} - 1)x}{1 + (\text{e} - 1)x}$ ;  
		\item Déterminer les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle [0~;~1]. 
\index{maximum d'une fonction}
Démontrer que la fonction $g$ admet un maximum en $\dfrac{\text{e} - 2}{\text{e} - 1}$, maximum dont une valeur arrondie au centième est $0,12$. 
		\item Établir que l'équation $g(x) = 0,05$ admet sur l'intervalle [0~;~1] deux solutions $\alpha$ et $\beta$, avec $\alpha < \beta$.
 
On admettra que : $0,08 < \alpha < 0,09$ et que : $0,85 < \beta < 0,86$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On remarque qu'une modification de nuance n'est perceptible visuellement que si la valeur absolue de l'écart entre le code de la nuance initiale et le code de la nuance modifiée est supérieure ou égale à $0,05$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans l'algorithme décrit ci-dessous, $f$ désigne une fonction de retouche.

Quel est le rôle de cet algorithme ?\index{algorithme}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.78\linewidth}{|l X|} \hline
\textbf{Variables :}& 	$x$ (nuance initiale)\\
&$y$ (nuance retouchée)\\
&$E$ (écart)\\
&$c$ (compteur)\\
& $k$\\
\textbf{Initialisation :}& 	$c$ prend la valeur $0$\\
\textbf{Traitement :}& 	Pour $k$ allant de 0 à 100, faire\\
&\hspace{1cm}\begin{tabular}{l}
$x$ prend la valeur $\frac{k}{100}$\\
$y$ prend la valeur $f(x)$\\
$E$ prend la valeur $|y - x|$
\end{tabular}\\
	&\hspace{2cm}\begin{tabular}{l}
	Si $E \geqslant 0,05$, faire\\
\quad $c$ prend la valeur $c + 1$\\
Fin si
\end{tabular}\\
&Fin pour\\
\textbf{Sortie :}& Afficher $c$ \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Quelle valeur affichera cet algorithme si on l'applique à la fonction $f_{2}$ définie dans la deuxième question de la \textbf{partie A} ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\parbox{0.6\linewidth}{Dans cette partie, on s'intéresse à des fonctions de retouche $f$ dont l'effet est d'éclaircir l'image dans sa globalité, c'est-a-dire telles que, 
pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~1], $f(x) \leqslant  x$.

On décide de mesurer l'éclaircissement global de l'image en calculant l'aire $\mathcal{A}_{f}$ de la portion de plan comprise entre l'axe des abscisses, la 
courbe représentative de la fonction $f$, et les droites d'équations  respectives $x = 0$ et $x = 1$.

\index{intégrale et aire}
Entre deux fonctions, celle qui aura pour effet d'éclaircir le plus l'image ~ celle correspondant à la plus petite aire.
On désire comparer l'effet des deux fonctions suivantes, dont on admet 
qu'elles sont des fonctions de retouche :} \hfill
\parbox{0.36\linewidth}{\psset{unit=4cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.15,-0.15)(1.1,1.1)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.5,Dy=0.5](0,0)(0,0)(1.1,1.1)

\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{x dup mul}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{x dup mul}
\psline(1,0)(0,0)}
\uput[dl](0,0){O}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(1,1)
\end{pspicture}
}

\[f_{3}(x) = x \text{e}^{\left(x^2 - 1 \right)}\qquad 
f_{4}(x) = 4x - 15 + \dfrac{60}{x+4}.\]

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\mathcal{A}_{f_{3}}$.
		\item Calculer $\mathcal{A}_{f_{4}}$
	\end{enumerate}
\item De ces deux fonctions, laquelle a pour effet d'éclaircir le plus l'image ? 
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les points :

\index{géométrie dans l'espace} 
\[\text{A}(1~;~2~;~7),\quad \text{B}(2~;~0~;~2),\quad \text{C}(3~;~1~;~3),\quad \text{D}(3~;~ -6~;~1) \:\:\text{et E}(4~;~-8~;~-4).\]
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés. 
\item Soit $\vect{u}(1~;~b~;~c)$ un vecteur de l'espace, où $b$ et $c$ désignent deux nombres réels.
	\begin{enumerate}\index{vecteur normal}
		\item Déterminer les valeurs de $b$ et $c$ telles que $\vect{u}$ soit un vecteur normal au plan (ABC).
		\item En déduire qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est : 

\index{equation de plan@équation de plan}
		$x - 2 y + z - 4 = 0$.
		\item Le point D appartient-il au plan (ABC) ?
	\end{enumerate} 
\item On considère la droite $\mathcal{D}$ de l'espace dont une représentation paramétrique est :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x& =& \phantom{-}2t+3\\ 
y& =& - 4t + 5\\
z& =&\phantom{-}2t-1
\end{array}\right. \: \text{où}\: t\: \text{est un nombre réel.}\]

	\begin{enumerate}
		\item La droite $\mathcal{D}$ est-elle orthogonale au plan (ABC) ?
		\item Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite $\mathcal{D}$ et du plan (ABC).
	\end{enumerate}
\item Étudier la position de la droite (DE) par rapport au plan (ABC).
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\textbf{Partie A : préliminaires}

\medskip

\begin{enumerate}\index{arithmétique}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Soient $n$ et $N$ deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2, tels  que :

\[n^2 \equiv  N -1\quad  \text{modulo}\: N.\]

Montrer que : $n \times  n^3 \equiv 1 \quad  \text{modulo}\:\: N$. 
		\item Déduire de la question précédente un entier $k_{1}$ tel que: $5k_{1} \equiv 1\quad \text{modulo}\:\: 26$.

On admettra que l'unique entier $k$ tel que : $ 0 \leqslant k \leqslant   25$ et $5k \equiv 1 \quad  \text{modulo}\:\: 26$ vaut 21.
	\end{enumerate}
	\index{matrices}
\item On donne les matrices : $A = \begin{pmatrix}4&1\\3&2\end{pmatrix},\: B = \begin{pmatrix}\phantom{-}2&- 1\\- 3&\phantom{-}4\end{pmatrix},\: X = \begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}$ et $Y = \begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la matrice $6A - A^2$.
		\item En déduire que $A$ est inversible et que sa matrice inverse, notée $A^{- 1}$, peut s'écrire sous la  forme $A^{-1} = \alpha I + \beta A$, ou $\alpha$ et $\beta$ sont deux réels que l'on  déterminera.
		\item Vérifier que : $B = 5A^{-1}$.
		\item Démontrer que si $A X = Y$, alors $5X = B Y$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : procédure de codage}

\medskip

Coder le mot \og ET \fg, en utilisant la procédure de codage décrite ci-dessous.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Le mot à coder est remplacé par la matrice $X = \begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}$, où $x_{1}$ est l'entier représentant la première lettre du mot et $x_{2}$ l'entier représentant la deuxième, selon le tableau de correspondance ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
A&B&C&D&E&F&G&H&I&J&K&L&M\\ \hline
0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\ \hline \hline
N&O&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y&Z\\ \hline
13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item[$\bullet~~$] La matrice $X$ est transformée en la matrice $Y = \begin{pmatrix}y_{1}\\ y_{2}
\end{pmatrix}$  telle que : $Y  = AX$.
\item[$\bullet~~$] La matrice $Y$ est transformée en la matrice $R = \begin{pmatrix}r_{1}\\r_{2}\end{pmatrix}$, où $r_{1}$ est le reste de la division euclidienne de $y_{1}$ par 26 et $r_{2}$ le reste de la division euclidienne de $y_{2}$ par  26. 
\item[$\bullet~~$] Les entiers $r_{1}$ et $r_{2}$ donnent les  lettres du mot codé, selon  le tableau de correspondance ci-dessus.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\medskip

\textbf{Exemple :} \og  OU \fg (mot à coder) $\to  X \begin{pmatrix}14\\20\end{pmatrix} \to Y = \begin{pmatrix}76\\82\end{pmatrix} \to R = \begin{pmatrix}24\\4 \end{pmatrix} \to $ \og YE \fg{} (mot codé).

\bigskip

\textbf{Partie C : procédure de décodage (on conserve les mêmes notations que pour le codage)}

\medskip

Lors du codage, la matrice $X$ a été transformée en la matrice  $Y = \begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}$  telle que : $Y = A X$.

\medskip


\begin{enumerate}
\item Démontrer que : $\left\{\begin{array}{l c l}
5x_{1} &=& \phantom{-}2y_{1} - y_{2}\\ 
5x_{2} &=&- 3y_{1} + 4y_{2}
\end{array}\right..$
\item En utilisant la question 1. b. de la \textbf{partie A}, établir que:

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x_{1}&\equiv&16y_{1} + 5y_{2}\\
x_{2}&\equiv&15y_{1} + 6y_{2}
\end{array}\right. \quad \text{modulo}\:\: 26\]

\item Décoder le mot \og QP \fg.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{Annexe à rendre avec la copie}

\bigskip

\textbf{Annexe relative à l'exercice 2}

\bigskip

\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-5,-2.5)(18,9) 
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-5,-2.5)(18,9) 
\multido{\n=-4+2}{11}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.3pt](\n,-2.5)(\n,9)}
\multido{\n=-2+2}{6}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.3pt](-5,\n)(18,\n)}
\psdots(-4,0)(-4,4)(-2,-2)(0,-2)(16,0)
\uput[ur](16,0){$A_{0}$}\uput[ur](-4,4){$A_{3}$}\uput[ur](-4,0){$A_{4}$}
\uput[ur](-2,-2){$A_{5}$}\uput[ur](0,-2){$A_{6}$}
\uput[ur](0,0){0}
\end{pspicture}

\vspace{1cm}

\textbf{Annexe relative à l'exercice 3}

\bigskip

\textbf{Courbe représentative de la fonction}\:\boldmath $f_{1}$ \unboldmath

\medskip

\psset{unit=6.5cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(1.25,1.2) 
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.5,Dy=0.5](0,0)(0,0)(1.25,1.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(1,1)
\psframe(1,1)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{x 3 exp 4 mul x dup mul 6 mul sub 3 x mul add}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}