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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}
\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{ Baccalauréat S Centres étrangers 14 juin 2010}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Pour chaque question une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Toute réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.

\bigskip

\textbf{Question 1}

\medskip

Dans l'espace muni d'un repère orthonormal \Oijk, on considère les droites ($\mathcal{D}_{1}$) et ($\mathcal{D}_{2}$) de représentations paramétriques :

\[(\mathcal{D}_{1}) \left\{\begin{array}{l !{=} r}
x& - 1 + 2t\\
y& - 3t\\
z&1 + t
\end{array}\right. (t \in \R) \quad \text{et} \quad (\mathcal{D}_{2}) 
\left\{\begin{array}{l !{=} r}
x& 1 - 2t\\
y& 5 - t\\ 	
z&-2 + t
\end{array}\right. (t \in \R).\]

\emph{Affirmation} :

Les droites ($\mathcal{D}_{1}$) et ($\mathcal{D}_{2}$) sont orthogonales.

\medskip

\textbf{Question 2}

\medskip

Dans l'espace muni d'un repère orthonormal \Oijk, on considère le point A de coordonnées $(2~;~-1~;~3)$ et la droite $(\mathcal{D})$ de représentation paramétrique :

\[(\mathcal{D})\left\{\begin{array}{l !{=} r}
x& 1 + 4t\\
y& - 2 + 2t\\
z& 3 - 2t
\end{array}\right. (t \in \R).\]
 
\emph{Affirmation} :

Le plan $(\mathcal{P})$ contenant le point A et orthogonal à la droite $(\mathcal{D})$ a pour équation : $2 x + y - z = 0$.

\medskip

\textbf{Question 3}

\medskip

La durée de vie, exprimée en heures, d'un jeu électronique, est une variable aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = \np{0,0003}$.

On rappelle que, pour tout $t \geqslant  0,~ p(X \leqslant  t) = \displaystyle\int_{0}^t \lambda \text{e}^{-\lambda x}\:\text{d}x$.

\emph{Affirmation} :

La probabilité pour que la durée de vie de ce jeu soit strictement supérieure à \np{2000} heures est inférieure à $0,5$.

\medskip

\textbf{Question 4}

\medskip

$A$ et $B$ sont deux évènements liés à une même épreuve aléatoire qui vérifient : 

\[p(A) = 0,4,\quad  p_{A}(B) = 0,7\quad  \text{et} \quad p_{\overline{A}}\left(\overline{B}\right) = 0,1.\]
 
\emph{Affirmation} :

La probabilité de l'évènement $A$ sachant que l'évènement $B$ est réalisé est égale à $\dfrac{14}{41}$.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité }

\medskip

Dans le plan complexe $(\mathcal{P})$ muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 4~cm, on considère le point A d'affixe $a = - 1$ et l'application $f$, du plan $(\mathcal{P})$ dans lui-même, qui  au point $M$ d'affixe $z$, distinct de A, associe le point $M' = f(M)$ d'affixe $z'$ tel que :

\[z' =\dfrac{\text{i}z}{z + 1}.\]

\begin{enumerate}
\item  Déterminer l'affixe des points $M$ tels que $M' = M$. 
\item  Démontrer que pour tout point $M$ distinct de A et de O, on a :

\[\text{O}M' = \dfrac{\text{O}M}{\text{A}M}~\text{et}~ \left(\vect{u},~\vect{\text{O}M'}\right) =  \left(\vect{M\text{A}},~\vect{M\text{O}}\right) + \dfrac{\pi}{2}~\text{à}~2\pi~\text{près}.\]
 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit B le point d'affixe $b = - \dfrac{1}{2} + \text{i}$.

Placer dans le repère le point B et la médiatrice ($\Delta$) du segment [OA]. 
		\item Calculer sous forme algébrique l'affixe $b'$ du point B$'$ image du point B par $f$.

Établir que B$'$ appartient au cercle $(\mathcal{C})$ de centre O et de rayon 1.

Placer le point B$'$ et tracer le cercle $(\mathcal{C})$ dans le repère.
		\item En utilisant la question 2, démontrer que, si un point $M$ appartient à la médiatrice ($\Delta$), son image $M'$ par $f$ appartient au cercle $(\mathcal{C})$.
		\item Soit C le point tel que le triangle AOC soit équilatéral direct.

En s'aidant des résultats de la question 2, construire, à la règle et au compas, l'image du point C par $f$ (On laissera apparents les traits de construction.)
	\end{enumerate} 
\item Dans cette question, on se propose de déterminer, par deux méthodes différentes, l'ensemble ($\Gamma$) des points $M$ distincts de A et de O dont l'image $M'$ par $f$ appartient à l'axe des abscisses.

Les questions a. et b. peuvent être traitées de façon indépendante.
	\begin{enumerate}
		\item On pose $z = x + \text{i}y$ avec $x$ et $y$ réels tels que $(x,~y) \neq  (-1,~0)$  et $(x,~y) \neq (0,~0)$.

Démontrer que la partie imaginaire de $z'$ est égale à :

\[\text{Im}\left(z'\right) = \dfrac{x^2 + y^2 + x}{(x + 1)^2 + y^2}\]

En déduire la nature et les éléments caractéristiques de l'ensemble ($\Gamma$) et le tracer dans le repère.
		\item À l'aide de la question 2, retrouver géométriquement la nature de l'ensemble ($\Gamma$).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 1~cm, on considère les points A, B, C, M, N et P d'affixes respectives :

\[a = 1 + \text{i},~ b = - 1 + 2\text{i},~ c = 2 + 3\text{i},~m = 7 - 5\text{i},~n = 5 - \text{i},~p = 9 + \text{i}.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A, B, C, M, N et P dans le repère.
		\item Calculer les longueurs des côtés des triangles ABC et NMP.
		\item En déduire que ces deux triangles sont semblables.
	\end{enumerate}

\emph{Dans la suite de l'exercice, on se propose de mettre en évidence deux similitudes qui transforment le triangle \emph{ABC} en le triangle \emph{MNP}.}

\item Une similitude directe

Soit $s$ la similitude directe qui transforme le point A en N et le point B en P. 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer qu'une écriture complexe de la similitude $s$ est:

\[z' = \left(- \dfrac{6}{5} - \dfrac{8}{5}\text{i}\right)z + \dfrac{23}{5} + \dfrac{9}{5}\text{i}.\]

		\item Déterminer le rapport, la valeur de l'angle arrondie au degré, ainsi que le centre de la similitude $s$.
		\item Vérifier que la similitude $s$ transforme le point C en M.
	\end{enumerate}

\item Une similitude indirecte

Soit $s'$ la similitude dont l'écriture complexe est :

\[z'= 2\text{i}\overline{z} +3 - 3\text{i}.\]

	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que : $\left\{\begin{array}{l !{=} l}
s'(\text A) & \text N\\
s'(\text B) & \text M\\
s'(\text C) & \text P
\end{array}\right.$
		\item Démontrer que $s'$ admet un unique point invariant K d'affixe $k = 1 - \text{i}$.
		\item Soit $h$ l'homothétie de centre K et de rapport $\dfrac{1}{2}$ et J le point d'affixe $2$.

On pose : $f = s'\circ h$.

Déterminer les images des points K et J par la transformation $f$. En déduire la nature précise de la transformation  $f$.
		\item Démontrer que la similitude $s'$ est la composée d'une homothétie et d'une réflexion.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On considère les deux courbes $\left(\mathcal{C}_{1}\right)$ et $\left(\mathcal{C}_{2}\right)$  d'équations respectives $y = \text{e}^x$ et $y = -x^2 - 1$ dans un repère orthogonal du plan.

Le but de cet exercice est de prouver qu'il existe une unique tangente $\mathcal{T}$ commune à ces deux courbes.

\medskip
\begin{enumerate}
\item Sur le graphique représenté dans l'annexe 1, tracer approximativement une telle tangente à l'aide d'une règle.

Lire graphiquement l'abscisse du point de contact de cette tangente avec la courbe $\left(\mathcal{C}_{1}\right)$ et l'abscisse du point de contact de cette tangente avec la courbe $\left(\mathcal{C}_{2}\right)$.
\item On désigne par $a$ et $b$ deux réels quelconques, par A le point d'abscisse $a$ de la courbe $\left(\mathcal{C}_{1}\right)$ et par B le point d'abscisse $b$ de la courbe $\left(\mathcal{C}_{2}\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation de la tangente $\left(\mathcal{T}_{\text{A}}\right)$ à la courbe $\left(\mathcal{C}_{1}\right)$ au point A.
		\item Déterminer une équation de la tangente $\left(\mathcal{T}_{\text{B}}\right)$ à la courbe $\left(\mathcal{C}_{2}\right)$ au point B.
		\item En déduire que les droites $\left(\mathcal{T}_{\text{A}}\right)$ et $\left(\mathcal{T}_{\text{B}}\right)$ sont confondues si et seulement si les réels $a$ et $b$ sont solutions du système (S) :

\[\left\{\begin{array}{l !{=} l}
\text{e}^a& - 2b \\
\text{e}^a - a\text{e}^a & \phantom{-2}b^2 - 1
\end{array}\right..\]
		\item Montrer que le système (S) est équivalent au système (S$'$) :

\[\left\{\begin{array}{l !{=} r}
\text{e}^a&  - 2b \\
\text{e}^{2a} + 4a\text{e}^a - 4\text{e}^a - 4& 0
\end{array}\right..\]
	\end{enumerate}
\item Le but de cette question est de prouver qu'il existe un unique réel solution de l'équation

\[(\text{E})~~:\quad  \text{e}^{2x} + 4 x\text{e}^{x} - 4\text{e}^{x} - 4 = 0.\]
 
Pour cela, on considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
 
\[f(x) = \text{e}^{2x} + 4 x\text{e}^{x} - 4\text{e}^{x} - 4.\]
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout $x$ appartenant à $]- \infty~;~0[,~\text{e}^{2x} - 4 < 0$ et $4\text{e}^{x}(x - 1) < 0$.
		\item  En déduire que l'équation (E) n'a pas de solution dans l'intervalle 
		$]- \infty~;~0[$.
		\item  Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
		\item Démontrer que l'équation (E) admet une solution unique dans l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.

On note $a$ cette solution. Donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $a$.
	\end{enumerate}
\item On prend pour A le point d'abscisse $a$. Déterminer un encadrement d'amplitude $10^{-1}$ du réel $b$ pour lequel les droites $\left(\mathcal{T}_{\text{A}}\right)$ et $\left(\mathcal{T}_{\text{B}}\right)$ sont confondues.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = 6 -  \dfrac{5}{x + 1}.\]

Le but de cet exercice est d'étudier des suites $\left(u_{n}\right)$ définies par un premier terme positif ou nul $u_{0}$ et vérifiant pour tout entier naturel $n$ :

\[u_{n+1} = f\left(u_{n}\right).\]

\begin{enumerate}
\item Étude de propriétés de la fonction $f$ 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
		\item Résoudre dans l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ l'équation $f(x) = x$.

On note $\alpha$ la solution.
		\item Montrer que si $x$ appartient à l'intervalle $[0~;~\alpha]$, alors $f(x)$ appartient à l'intervalle $[0~;~\alpha]$.

De même, montrer que si $x$ appartient à l'intervalle $[\alpha~;~+ \infty[$ alors $f(x)$ appartient à l'intervalle $[\alpha~;~ + \infty[$.
	\end{enumerate}
\item Étude de la suite $\left(u_{n}\right)$ pour $u_{0} = 0$

Dans cette question, on considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 0$ et pour tout entier naturel $n$ :

\[u_{n + 1} = f\left(u_{n}\right) = 6 - \dfrac{5}{u_{n} + 1}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Sur le graphique représenté dans l'annexe 2, sont représentées les courbes d'équations $y = x$ et $y=f(x)$.

Placer le point $A_{0}$ de coordonnées $\left(u_{0}~;~0\right)$, et, en utilisant ces courbes, construire à partir de $A_{0}$ les points $A_{1}$,~$A_{2}$,~$A_{3}$  et $A_{4}$ d'ordonnée nulle et d'abscisses respectives $u_{1},~u_{2},~u_{3}$ et $u_{4}$.
 
Quelles conjectures peut-on émettre quant au sens de variation et à la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
		\item Démontrer, par récurrence, que, pour tout entier naturel $n,~ 0 \leqslant u_{n} \leqslant u_{n+1} \leqslant \alpha$.
		\item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite.
	\end{enumerate}
\item Étude des suites $\left(u_{n}\right)$ selon les valeurs du réel positif ou nul $u_{0}$

\emph{Dans cette question, toute trace d'argumentation, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
Que peut-on dire du sens de variation et de la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ suivant les valeurs du réel positif ou nul $u_{0}$ ?
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{FEUILLE ANNEXE (à rendre avec la copie)}

\vspace{0.25cm}

\textbf{Annexe 1 (Exercice 3, question 1)}

\vspace{0.25cm}

\psset{unit=1.cm}
\begin{pspicture}(-5,-5)(5,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-5,-5)(5,5)
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\psplot[linecolor=red,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{-2}{2}{x dup mul 1 add neg}
\end{pspicture}

\vspace{1cm}

\textbf{Annexe 2 (Exercice 4, question 2. a.)}

\vspace{0.25cm}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(9.5,9.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(9.5,9)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{0}{9.5}{6 5 x 1 add div sub}
\psplot[linecolor=red,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{0}{8.5}{x}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}