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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P{}. M. E. P{}.}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{juin 2002}} 
\thispagestyle{empty}    
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Centres étrangers juin 2002~\decofourright}}

\textbf{Calculatrice autorisée}\end{center}
    
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On définit deux suites $u$ et $v$ par  $u_0 = 1,~ v_0 = 12$ et pour tout 
entier naturel  $n$ :

\renewcommand\arraystretch{1.8}
\[ \left\{ \begin{array}{r c r}
u_{n+1}& =& \dfrac{1}{3} \left(u_n  + 2v_n\right)\\
v_{n+1} & = & \dfrac{1}{4}\left(u_n  + 3v_n\right)
\end{array}\right.\]
\renewcommand\arraystretch{1}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item	On appelle $w$ la suite définie pour tout entier
 naturel $n$ par :  $w_n =  v_n - u_n$.
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que $w$ est une suite géométrique à termes positifs, dont
 on précisera la raison.
		\item Déterminer la limite de la suite $w$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que la suite $u$ est croissante.
		\item Montrer que la suite $v$ est décroissante.
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n,\;u_0 \leqslant u_n  \leqslant v_n \leqslant  v_0$.
	\end{enumerate}
\item On admet que les suites $u$ et $v$ convergent. Montrer 
qu'elles ont alors même limite que l'on appellera $\ell$.
\item On appelle $t$ la suite définie pour tout entier
 naturel $n$ par : $t_n = 3u_n + 8v_n$.
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que $t$ est une suite constante.
 Déterminer cette constante.
		\item Déterminer alors la valeur de $\ell$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Réservé aux candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de 
spécialité}

\medskip

Le plan complexe $\mathcal{P}$ est rapporté au repère orthonormal
\Ouv.

Soit A le point d'affixe $z_{\text{A}} = \dfrac{\text{i}}{2}$.

$\mathcal{T}$ est l'application qui, à tout point $M$, 
d'affixe $z$, distinct de A, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que
\[2zz'= \text{i} (z + z').\]

\begin{enumerate} 
\item On appelle I et J les points d'affixes 
respectives : $z_{\text{I}} = 1 ,~ z_{\text{J}} = \text{i}$ .
Soit K le milieu du segment [IJ]. 

\medskip

	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer l'affixe $z_{\text{K}}$ de K.
		\item Déterminer les affixes des images des points I, J, K par l'application $\mathcal{T}$.
		\item En déduire que $\mathcal{T}$ ne conserve pas les milieux.
	\end{enumerate}
\item Déterminer les points invariants par $\mathcal{T}$. 
\item Montrer que $M' = \mathcal{T}(M)$ si et seulement si
$\left(z' - \dfrac{\text{i}}{2}\right)\left(z - 
\dfrac{\text{i}}{2}\right) = - \dfrac{1}{4}$.
\item En déduire l'image par $\mathcal{T}$ du cercle $\mathcal{C}$ de
centre A et de rayon 1.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Réservé aux candidats ayant choisi l'enseignement de 
spécialité}

\medskip

Soit $p$ un nombre premier donné. On se propose d'étudier l'existence de couples $(x~;~y)$ d'entiers naturels strictement positifs vérifiant l'équation : 

\[\textbf{E}~: x^2  + y^2 = p ^2\]

\begin{enumerate} 
\item On pose $p = 2$. Montrer que l'équation  \textbf{E}
 est sans solution.

On suppose désormais $p \neq  2$ et que le couple $(x~;~ y)$ est 
solution de l'équation \textbf{E}.

\item Le but de cette question est de prouver que $x$ et 
$y$ sont  premiers entre eux.
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que $x$ et $y$ sont de parités différentes.
		\item Montrer que $x$ et $y$ ne sont pas divisibles par $p$.
		\item En déduire que $x$ et $y$ sont premiers entre eux.
	\end{enumerate}
\item On suppose maintenant que $p$ est une somme de 
deux carrés non nuls, c'est-à-dire : $p = u^2 + v^2$
où $u$  et $v$ sont deux entiers naturels strictement positifs.  
	\begin{enumerate} 
		\item Vérifier qu'alors le  couple $\left(\left|u^2 - 
v^2\right|~;~2uv\right)$ est solution de l'équation \textbf{E}.
		\item Donner une solution de l'équation \textbf{E}, lorsque $p = 5$
 puis lorsque $p = 13$. 
	\end{enumerate} 
\item	On se propose enfin de vérifier sur deux exemples, que l'équation \textbf{E} est impossible lorsque $p$ n'est pas somme de  deux  carrés.
	\begin{enumerate} 
		\item $p = 3$ et $p = 7$ sont-ils somme de deux carrés ?
		\item Démontrer que les équations $x^2  +y^2 = 9$ et $x^2 + y^2 = 
49$ n'admettent pas de solution en entiers naturels strictement positifs.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

Pour chaque entier naturel $n$, on définit, sur l'intervalle $]0~;~+ 
\infty[$ la fonction notée $f_n$ par :

\[f_n(x) = \dfrac{\text{e}^x - 1}{x} + n \ln x,\]

où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie A : Étude du cas particulier} \boldmath $n = 0$ 
\unboldmath

$f_0$ est donc la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ 
\infty[$ par $f_0(x) =  \dfrac{\text{e}^x - 1}{x}$.

\begin{enumerate} 
\item Construire dans un	repère orthonormal, la courbe
représentative de la fonction exponentielle, puis tracer sa tangente au
 point d'abscisse 0.

\item Résolution graphique d'une inéquation :
	\begin{enumerate} 
		\item Justifier graphiquement l'inégalité suivante : 
\[\text{pour tout réel}~u,~\text{e}^u \geqslant u + 1.\]
		\item En déduire que pour tout réel $x$,
\[\text{e}^{- x} + x - 1 \geqslant 0,~ \text{puis que},~ 1 + (x - 1)\text{e}^x \geqslant  0.\]
	\end{enumerate}
\item Limites :
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la limite de $f_0$ en $+ \infty$.
		\item Déterminer la limite de $f_0$ en 0.
	\end{enumerate}
\item Sens de variations :
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[$	on a $f'_0(x) = \dfrac{\text{e}^x(x - 1) + 1}{x^2}$.
		\item En déduire le sens de variation de $f_0$.
	\end{enumerate}
\item On appelle $\mathcal{C}_0$ la courbe représentative de
 $f_0$ dans un repère orthonormal \Oij~ pour lequel l'unité graphique est 2 cm.

Tracer $\mathcal{C}_0$ dans ce repère et placer le point A de coordonnées (0~;~1).
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie B : Étude de la famille de fonctions} \boldmath 
$f_n$ \unboldmath \textbf{pour} \boldmath $n \geqslant 1$ \unboldmath

On appelle $\mathcal{C}_n$  la courbe représentative de la fonction $f_n$  dans le repère \Oij{} précédent.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Déterminer le sens de variation de $f_n$
sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
\item Déterminer les limites de $f_n$ en $+ \infty$ et en 0.

En déduire que $\mathcal{C}_n$ possède une asymptote qu'on 
précisera.
\item Étudier les positions respectives des courbes 
$\mathcal{C}_{n+1}$ et $\mathcal{C}_n$.
\item Montrer que toutes les courbes $\mathcal{C}_n$ passent par
 un même point B dont  on précisera les coordonnées.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer qu'il existe un unique réel $\alpha_1$, appartenant à l'intervalle [0,2~;~0,9] 
tel que $f_1(\alpha_1) = 0$.
		\item Montrer que $f_n\left(\alpha_1\right) < 0$ pour tout entier naturel $n > 1$.
		\item Pour tout entier naturel $n > 1$ , montrer qu'il existe un unique réel $\alpha_n$  appartenant à l'intervalle $\left[\alpha_1~;~1\right]$ tel que $f_n\left(\alpha_n\right) = 0$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate} 
		\item En utilisant la \textbf{partie  A} montrer que pour
 tout réel $x$ appartenant  à l'intervalle ]0~;~1],
 
\[\dfrac{\text{e}^x - 1}{x} \leqslant \text{e} - 1.\] 

		\item En déduire que, pour tout entier naturel non nul $n,~ \ln 
(\alpha_n) \geqslant \dfrac{1 - \text{e}}{n}$,\:	puis que, $\alpha_n 
\geqslant \text{e}^{\frac{1 - \text{e}}{n}}$.
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(\alpha_n\right)$.
	\end{enumerate}
\item Construire sur le graphique précédent, les courbes $\mathcal{C}_1,~\mathcal{C}_2$.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie C : Étude d'une suite d'intégrales}

Pour tout entier naturel $n$, on appelle $I_n$ l'intégrale
 
\[I_n =  \displaystyle\int_1^{\frac{3}{2}} f_n(x)\: \text{d}x.\]

\begin{enumerate} 
\item Donner une interprétation graphique de cette intégrale. 
\item Étudier le sens de variation de la suite $\left(I_n\right)$. 
\item Démontrer que l'aire comprise entre les courbes 
$\mathcal{C}_{n+1}$, et  $\mathcal{C}_n$ et les droites d'équation $x = 1$ et $x = \dfrac{3}{2}$ est constante.
\end{enumerate}
\end{document} 