%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-text}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{24cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small juin 2004} 
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Centres étrangers juin 2004~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv,  unité graphique : 2~cm.

On appelle A le  point d'affixe $- 2\text{i}$.

À tout point $M$ du plan d'affixe $z$, on associe le point $M'$ d'affixe 
 
\[z'= -2\overline{z} + 2\text{i}.\]

\begin{enumerate}
\item On considère le point B d'affixe $b = 3-2\text{i}$.

Déterminer la forme algébrique des affixes $a'$ et $b'$ des points $A'$ et 
$B'$ associés  respectivement aux points A et  B. Placer ces points sur le 
dessin.
\item Montrer que si $M$ appartient à la droite ($\Delta$) d'équation $y = - 2$ alors $M'$ appartient aussi à ($\Delta$).
\item Démontrer que pour tout point $M$ d'affixe $z~, \left|z' + 
2\text{i}\right| = 2|z + 2\text{i}|$ ; interprétez  géométriquement
cette égalité.
\item Pour tout point $M$ distinct de A on appelle $\theta$ un argument de 
$z + 2\text{i}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $\theta$ est une mesure de l'angle 
$\left(\vect{u},~\vect{\text{A}M}\right)$.
		\item Démontrer que $(z+2\text{i})(z'+2\text{i})$ est un réel négatif ou nul.
		\item En déduire un argument  de $z'+2\text{i}$ en fonction de $\theta$.
		\item Que peut-on en déduire pour les demi-droites [A$M$)  et [A$M'$) ?
	\end{enumerate} 
\item En utilisant  les résultats précédents, proposer une construction
 géométrique du point $M'$ associé au point $M$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignement 
de spécialité}

\medskip

Un employé se rend à son travail. S'il est à l'heure il prend le bus  de 
ramassage gratuit mis à  disposition par l'entreprise, s'il est en  retard 
il prend le bus de la ville  et il lui en coûte 1,50 \euro.

Si l'employé est à l'heure un jour donné, la probabilité qu'il soit en
 retard le lendemain est $\dfrac{1}{5}$, s'il est en retard un jour donné la probabilité qu'il soit en retard le 
lendemain est $\dfrac{1}{20}$.

Pour tout entier naturel non nul $n$, on appelle $R_n$ l'évènement :
\og l'employé est en retard le jour $n$ \fg. On note  $p_n$, la probabilité de $R_n$ et $q_n$, celle de $\overline{R_n}$. On suppose que $p_{1} = 0$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Détermination  d'une relation de récurrence. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les probabilités conditionnelles 
$p_{R_n}\left(R_{n+1}\right)$ et $p_{\overline{R_n}}\left(R_{n+1}\right)$.
		\item Déterminer $p\left(R_{n+1} \cap R_n\right)$ en fonction de $p_n$ et $p\left(R_{n+1} \cap \overline{R_n}\right)$ en fonction de $q_n$
		\item Exprimer $p_{n+1}$ en fonction de $p_n$ et de $q_n$.
		\item En déduire que $p_{n+1} = \dfrac{1}{5} - \dfrac{3}{20}p_n$.
	\end{enumerate}
\item Étude de la suite $\left(p_n\right)$.

Pour tout entier naturel non nul $n$, on pose $v_n = p_n - \dfrac{4}{23}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $- \dfrac{3}{20}$.
		\item  Exprimer  $v_n$ puis $p_n$ en fonction de $n$.
		\item  Justifier que la suite $\left(p_n\right)$ est convergente et calculer sa limite.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Réservé aux candidats ayant suivi l'enseignement de 
spécialité}

\medskip

On se propose dans cet exercice d'étudier le problème suivant :

\og \emph{Les  nombres dont l'écriture décimale n'utilise que le seul 
chiffre} 1 \emph{peuvent-ils être premiers} ? \fg

Pour  tout entier naturel $p \geqslant 2$, on pose $N_{p} = 1 \ldots 
1$ où 1 apparaît $p$ fois.

On rappelle dès lors que  $N_{p} = 10^{p-1} + 10^{p-2} + \cdots + 10^0$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Les nombres $N_{2} = 11,~ N_{3} = 111,~N_{4} = \np{1111}$ sont-ils premiers ?
\item Prouver que $N_{p} = \dfrac{10^p -1}{9}$. Peut-on être certain 
que $10^p - 1$ est divisible par 9 ?
\item On se propose de démontrer que si $p$ n'est pas premier, alors 
$N_{p}$ n'est pas premier.

On rappelle que pour tout nombre réel $x$ et tout entier naturel $n$ 
non nul,

\[x^n - 1 = (x - 1)\left(x^{n-1} + x^{n-2} + \cdots + x + 1\right).\]

	\begin{enumerate}
		\item On suppose que $p$ est pair et on pose $p = 2q$, où $q$ est un entier naturel plus grand que 1.

Montrer que $N_{p}$ est divisible par $N_{2} = 11$.
		\item On suppose que $p$ est multiple de 3 et on pose $p = 3q$, où $q$ est un entier naturel plus grand que 1. 

Montrer que $N_{p}$ est divisible par $N_{3} = 111$.
		\item On suppose $p$ non premier et on pose $p = kq$ où $k$ et $q$ sont des entiers naturels plus grands que 1.

En déduire que $N_{p}$ est divisible par $N_{k}$.
	\end{enumerate}
\item énoncer une condition nécessaire   pour que $N_{p}$ soit premier.

Cette condition est-elle suffisante ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 9 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On s'intéresse à des courbes servant de modèle à la  distribution de la masse salariale d'une entreprise. Les fonctions  $f$ associées définies sur l'intervalle [0~;~1] doivent  vérifier les conditions suivantes :
 
(1) $f(0) = 0$ et $f(1) = 1$ ;
 
(2) $f$ est croissante sur l'intervalle [0 ; 1]
 
(3) Pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle [0 ; 1],~$f(x) 
 \leqslant x$.
 
Le plan est rapporté au repère orthonormal $\mathcal{R}$ = \Oij, unité 
graphique :  10~cm.

\medskip

\textbf{I. Première partie} étude d'un modèle

\medskip

On appelle $g$ la  fonction définie sur l'intervalle [0~;~1] par 

\[g(x) = x\text{e}^{x - 1}.\]

\begin{enumerate}
\item Prouver que $g$ vérifie les conditions (1) et (2).
\item Montrer que $g(x) - x = \dfrac{x}{\text{e}}\left(\text{e}^x - 
\text{e}\right)$ et en déduire que $g$ vérifie la condition (3).
\item Tracer les droites d'équations $y = x$ et $x = 1$ et la courbe 
représentative de $g$ dans  le repère $\mathcal{R}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{II. Seconde partie} Un calcul d'indice

\medskip

Pour une fonction $f$ vérifiant les conditions (1), (2) (3), on définit un 
indice $I_{f}$ égal à l'aire exprimée en unité d'aire, du domaine plan M 
délimité par les droites d'équations $y = x,~x = 1$ et la courbe 
représentative de $f$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que $I_{f} = \displaystyle\int_{0}^1 \left[x - f(x)\right] 
\text{d}x$.
\item À l'aide d'une intégration par parties, calculer l'indice $I_{g}$, 
associé à $g$.
\item On s'intéresse aux fonctions $f_{n}$, définies sur l'intervalle 
[0~;~1] par 

\[f_{n}(x) = \dfrac{2x^n}{1 + x}\]

où $n$ est un entier naturel supérieur en égal à 2. On admet que ces
fonctions vérifient les conditions (1), (2), (3) et on se propose d'étudier l'évolution de leur indice $I_{n}$ lorsque $n$ tend vers l'infini.
	\begin{enumerate}
		\item On pose $I_{n} = \displaystyle\int_{0}^1 \left[x - 
f_{n}(x)\right]\:\text{d}x$  et $u_{n} = \displaystyle\int_{0}^1 
f_{n}(x)\:\text{d}x$. Prouver que 

$I_{n} = \dfrac{1}{2}  - u_{n}$.
		\item Comparer $\dfrac{t^{n+1}}{1 + t}$ et $\dfrac{t^n}{1 + t}$ sur  l'intervalle [0~;~1] ; en déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$
 est décroissante.
		\item Prouver que pour tout réel $t$ appartenant à l'intervalle [0~;~1],
 
 \[0 \leqslant \dfrac{t^{n+1}}{1 + t} \leqslant t^n.\]

		\item En déduire que pour tout entier naturel $n \geqslant 2,~
0 \leqslant u_{n} \leqslant \dfrac{2}{n+1}$.
		\item Déterminer alors la limite de $I_{n}$ quand $n$ tend vers l'infini.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document} 