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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center}
{\Large \textbf{ Baccalauréat S Centres étrangers juin 2005}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Une entreprise confie  à une société de sondage par téléphone une enquête sur la qualité de ses produits.

On admet que lors du premier appel téléphonique, la probabilité que le correspondant ne décroche pas est $0,4$ et que s'il décroche, la probabilité pour qu'il réponde au questionnaire est $0,3$.

On pourra construire un arbre pondéré.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note :

$\bullet~~$$D_{1}$ l'évènement : \og la personne décroche au premier appel \fg{} ;

$\bullet~~$$R_{1}$ l'évènement \og la personne répond au questionnaire lors du premier appel \fg.

Calculer la probabilité de l'évènement $R_{1}$.
\item Lorsqu'une personne ne décroche pas au premier appel, on la contacte une seconde fois. La probabilité pour que le correspondant ne décroche pas la seconde fois est $0,3$ et la probabilité pour qu'il réponde au questionnaire sachant qu'il décroche est $0,2$. Si une personne ne décroche pas lors du second appel, on ne tente plus de la contacter.

On note :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $D_{2}$ l'évènement : \og la personne décroche au second appel \fg.
\item[$\bullet~$] $R_{2}$ l'évènement : \og la personne répond au questionnaire lors du second appel\:\fg.
\item[$\bullet~$] $R$ l'évènement : \og la personne répond au questionnaire \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Montrer que la probabilité de l'évènement $R$ est $0,236$.

\item Sachant qu'une personne a répondu au questionnaire, calculer la probabilité pour que la réponse ait été donnée lors du premier appel. (on donnera la réponse arrondie au millième)
\item Un enquêteur a une liste de 25 personnes  à contacter. Les sondages auprès des personnes d'une même liste sont indépendants. Quelle est la probabilité pour que 20\,\% des personnes répondent au questionnaire ? (on donnera la réponse arrondie au millième)
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Réservé aux candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan complexe est rapporté  à un repère orthonormal direct \Ouv{} unité graphique 8~cm.

On appelle A le point d'affixe $-1$ et B le point d'affixe $1$.

On appelle  $\mathcal{E}$ l'ensemble des points du plan distincts de A, O et B.

À tout point $M$ d'affixe $z$ appartenant  à l'ensemble $\mathcal{E}$, on associe le point $N$ d'affixe $z^2$ et le point $P$ d'affixe $z^3$.

\begin{enumerate}
\item Prouver que les points $M,~  N$ et $P$ sont deux  à deux distincts.
\item On se propose dans cette question de déterminer l'ensemble $\mathcal{C}$ des points $M$ appartenant  à  $\mathcal{E}$ tels que le triangle $MNP$ soit rectangle en $P$. 
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant le théorème de Pythagore, démontrer que $MNP$ est rectangle en $P$ si et seulement si $|z + 1|^2 + |z|^2 = 1$.
		\item Démontrer que $|z + 1|^2 + |z|^2 = 1$ équivaut  à $\left(z + \dfrac{1}{2}\right)\left( \overline{z + \dfrac{1}{2}}\right)= \dfrac{1}{4}$.
		\item En déduire l'ensemble $\mathcal{C}$ cherché.
	\end{enumerate}
\item Soit $M$ un point de $\mathcal{E}$ et $z$ son affixe, On désigne par $r$ le module de $z$ et $\alpha$  l'argument de  $z,~\alpha \in ]- \pi~;~\pi]$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que l'ensemble $\mathcal{F}$ des points $M$  de $\mathcal{E}$ tels que l'affixe de $P$ soit un réel strictement positif est la réunion de trois demi-droites (éventuellement privées de points).
		\item Représenter les ensembles $\mathcal{C}$ et $\mathcal{F}$ dans le repère \Ouv.
		\item Déterminer les affixes des points $M$ de $\mathcal{E}$ tels que le triangle $MNP$ soit rectangle en $P$, l'affixe de $P$ étant un réel  strictement positif.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Réservé aux candidats ayant  choisi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $N$ un entier naturel, impair non premier.

On suppose que $N =  a^2 - b^2$ où $a$ et $b$ sont deux entiers naturels.

\begin{enumerate}
\item Montrer que $a$ et $b$ n'ont pas la même parité. 
\item Montrer que $N$ peut s'écrire comme produit de deux entiers naturels $p$ et $q$.
\item Quelle est la parité de $p$ et de $q$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On admet que \np{250507} n'est pas premier.

On se propose de chercher des couples d'entiers naturels $(a~;~ b)$ vérifiant la relation 

\[(\text{E})~ :\quad  a^2 - \np{250507} =  b^2.\]

\begin{enumerate}
\item Soit $X$ un entier naturel.
	\begin{enumerate}
		\item Donner dans un tableau, les restes possibles de $X$ modulo 9 ; puis ceux de $X^2$ modulo 9.
		\item Sachant que $a^2 - \np{250507} = b^2$,	déterminer les restes possibles modulo 9 de $a^2 - \np{250507}$ ; en déduire les restes possibles module 9 de $a^2$.
		\item Montrer que les restes possibles modulo 9 de $a$ sont 1 et 8.
	\end{enumerate}
\item Justifier que si le couple $(a~;~b)$ vérifie la relation (E), alors $a \geqslant 501$.

Montrer qu'il  n'existe pas de solution du type $(501~;~b)$.
\item On suppose que le couple $(a~;~b)$ vérifie la relation (E).
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $a$ est congru  à $503$ ou  à $505$ modulo 9.
		\item Déterminer le plus petit entier naturel $k$ tel que le couple $(505 + 9k~;~b)$ soit solution de (E), puis donner le couple solution correspondant.
	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déduire des parties précédentes une écriture de \np{250507} en un produit deux facteurs. 
\item Les deux facteurs sont-ils premiers entre eux ? 
\item Cette écriture est-elle unique ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip
 
Soit ABCD un tétraèdre tel que ABC, ABD et ACD soient trois triangles isocèles rectangles en A avec  AB =  AC =  AD = $a$. On appelle A$_{1}$ le centre de gravité du triangle BCD.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la droite $\left(\text{A}\text{A}_{1}\right)$ est orthogonale au plan (BCD). 

$\left(\text{On pourra par exemple calculer}~ \vect{\text{A}\text{A}_{1}} \cdot \:\vect{\text{CD}}~  \text{et}~ \vect{\text{A}\text{A}_{1}} \cdot\: \vect{\text{BC}}\right)$.
\item En exprimant de deux façons différentes le volume du tétraèdre ABCD, calculer la longueur du segment $\left[\text{A}\text{A}_{1}\right]$.
\item On appelle G l'isobarycentre du tétraèdre ABCD et I le milieu de [BC].
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que G appartient au segment $\left[\text{A}\text{A}_{1}\right]$ et déterminer la longueur AG.
		\item Déterminer l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que

\[\left\|\vect{M\text{A}} + \vect{M\text{B}} + \vect{M\text{C}} + \vect{M\text{D}}\right\| = 2 \left\|\vect{M\text{B}} + \vect{M\text{C}}\right\|.\]
	\end{enumerate}
\item Soit H le symétrique de A par rapport  à G.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $4\vect{\text{GA}} + \vect{\text{AC}} + \vect{\text{AD}} = \vect{\text{BA}}$.
		\item Démontrer l'égalité  $\text{HC}^2 - \text{HD}^2 = \vect{\text{DC}} \cdot \vect{\text{BA}}$.
		\item En déduire que HC = HD.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\emph{On rappelle que le volume d'une pyramide de hauteur $h$ et d'aire de base associée $b$ est}

\[V = \dfrac{1}{3}bh.\]

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

\textbf{I. Première partie}

\medskip

On appelle $f$ et $g$ les deux fonctions définies sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par
 
\[f(x) = \ln(1 + x) - x\quad \text{et} \quad  g(x) = \ln (1 + x) - x + \dfrac{x^2}{2}.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier les variations de $f$et de $g$ sur $[0~;~+ \infty[$.
		\item En déduire que pour tout $x \geqslant 0,~ x - \dfrac{x^2}{2} \leqslant \ln (1 + x) \leqslant x$.
	\end{enumerate}

\textbf{II. Deuxième partie}

\medskip

On se propose d'étudier la suite $\left(u_{n}\right)$ de nombres réels définie par :
 
\[u_{1}  = \dfrac{3}{2}\quad \text{et} \quad 	u_{n+1} = u_{n}\left(1 + \dfrac{1}{2^{n+1}}\right).\]

\begin{enumerate}
\item Montrer par récurrence que $u_{n} > 0$ pour tout entier naturel $n \geqslant 1$. 
\item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ :

\[\ln u_{n} = \ln \left(1 + \dfrac{1}{2}\right) +  \ln \left(1 + \dfrac{1}{2^2}\right) + \cdots +  \ln \left(1 + \dfrac{1}{2^n}\right).\]
\item On pose $S_{n}	 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{2^3} + \cdots + \dfrac{1}{2^n}$ et $T_{n} =  \dfrac{1}{4} +\dfrac{1}{4^2}+\dfrac{1}{4^3}+\cdots +\dfrac{1}{4^n}.$

À l'aide  de la première partie, montrer que :

\[S_{n} - \dfrac{1}{2}T_{n} \leqslant \ln u_{n} \leqslant S_{n}.\]

\item Calculer $S_{n}$ et $T_{n}$ en fonction de $n$. En déduire  $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}  S_{n}$ et $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}  T_{n}$.
\item Étude de la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est strictement croissante.
		\item En déduire que $\left(u_{n}\right)$ est convergente. Soit $\ell$ sa limite.
		\item On admet le résultat suivant : si deux suites $\left(v_{n}\right)$ et $\left(w_{n}\right)$ sont convergentes et telles  que $v_{n} \leqslant w_{n}$  pour tout $n$ entier naturel, alors 
		
$\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_{n} \leqslant \displaystyle\lim_{n \to +\infty} w_{n}$.

Montrer alors que $\dfrac{5}{6} \leqslant \ln \ell \leqslant 1$ et en déduire, un encadrement de $\ell$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document} 