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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Centres étrangers juin 2006~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A.} Restitution organisée de connaissances

\medskip

\fbox{\begin{minipage}{\textwidth}Prérequis : On rappelle les deux résultats suivants :\\
\textbf{i.}  Si $z$ est un nombre complexe non nul, on a l'équivalence suivante :
\[\left\{\begin{array}{l cl}
|z|&=&r\\
\text{arg}~z &=& \theta~\text{à}~2\pi~\text{près}\\
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l cl}z&=&r(\cos \theta + \text{i}\sin \theta)\\
r & > & 0\\ \end{array}\right.\]
\textbf{ii.} Pour tous nombres réels $a$ et $b$ :
\[\left\{\begin{array}{l cl}
\cos (a + b)&=&\cos a\cos b - \sin a\sin b\\
\sin (a + b)&=&\sin a\cos b + \sin b \cos a\\
\end{array}\right.\]
\end{minipage}}

\medskip

Soient $z_{1}$ et $z_{2}$ deux nombres complexes non nuls.

Démontrer les relations :

\[\left|z_{1}z_{2}\right|  = \left|z_{1}\right|\left|z_{2}\right|~\text{et arg}\left(z_{1}z_{2}\right) = \text{arg}\left(z_{1}) + \text{arg}(z_{2}\right)~\text{à}~2\pi~\text{près}\]

\medskip

\textbf{Partie B.}

\medskip

Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une démonstration pour la réponse indiquée. Dans le cas d'une proposition fausse, la démonstration consistera à fournir un contre-exemple. Une réponse sans démonstration ne rapporte pas de point.

On rappelle que si $z$ est un nombre complexe, $\overline{z}$ désigne le conjugué de $z$ et $|z|$ désigne le module de $z$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Si $z = - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}$, alors $z^4$ est un nombre réel.
\item Si $z + \overline{z} = 0$, alors $z = 0$.
\item Si $z + \dfrac{1}{z} = 0$, alors $z = \text{i}$ ou $z = - \text{i}$.
\item Si $|z| = 1$ et si $|z + z'| = 1$, alors $z' = 0$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Réservé aux candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité}

\medskip

On lance un dé tétraédrique dont les quatre faces portent les nombres 1, 2, 3 et 4.

On lit le nombre sur la face cachée.

Pour $k \in \{1~;~2~;~3~;~4)$, on note $p_{i}$ la probabilité d'obtenir le nombre $k$ sur la face cachée.

Le dé est déséquilibré de telle sorte que les nombres $p_{1},~p_{2},~p_{3}$ et $p_{4}$ dans cet ordre, forment une progression arithmétique.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Sachant que $p_{4} = 0,4$ démontrer que $p_{1}= 0,1,~p_{2} = 0,2$  et  $p_{3} = 0,3$.
\item On lance le dé trois fois de suite. On suppose que les lancers sont deux à deux indépendants.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité d'obtenir dans l'ordre les nombres 1, 2, 4 ? 
		\item Quelle est la probabilité d'obtenir trois nombres distincts rangés dans l'ordre croissant ?
	\end{enumerate}
\item On lance $10$ fois de suite le dé. On suppose les lancers deux à deux indépendants. On note $X$ la variable aléatoire qui décompte le nombre de fois où le chiffre 4 est obtenu. 
	\begin{enumerate}
		\item Pour $1 \leqslant i \leqslant  10$, exprimer en fonction de $i$ la probabilité de l'évènement 
		
		$(X = i$). 
		\item Calculer l'espérance mathématique de $X$. Interpréter le résultat obtenu. 
		\item Calculer la probabilité de l'évènement ($X \geqslant  1$). On donnera une valeur arrondie au millième.
	\end{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel non nul. On lance $n$ fois le dé, les lancers étant encore supposés indépendants deux à deux.

On note $U_{n}$ la probabilité d'obtenir pour la première fois le nombre 4 au $n$-ième lancer.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\left(U_{n}\right)$ est une suite géométrique et qu'elle est convergente.
		\item Calculer $S_{n} = \displaystyle\sum_{i = 1}^n U_{i}$ puis étudier la convergence de la suite $\left(S_{n}\right)$.
		\item Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $S_{n} > 0,999$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Réservé aux candidats ayant  choisi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le but de l'exercice est d'étudier certaines propriétés de divisibilité de l'entier $4^n -1$, lorsque $n$ est un entier naturel.

On rappelle la propriété connue sous le nom de petit théorème de Fermat :  \og si $p$ est un nombre entier et $a$ un entier naturel premier avec $p$, alors $a^{p-1} -1 \equiv 0 \mod p $\fg.

\bigskip

\textbf{Partie A.} Quelques exemples

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n,~ 4^n$ est congru à $1$ modulo $3$. 
\item Prouver à l'aide du petit théorème de Fermat, que $4^{28} - 1$ est divisible par $29$. 
\item Pour $1 \leqslant  n \leqslant 4$ , déterminer le reste de la division de $4^n$ par $17$. En déduire que, pour tout entier $k$, le nombre $4^{4k} - 1$ est divisible par $17$. 
\item Pour quels entiers naturels $n$ le nombre $4^n - 1$ est-il divisible par $5$ ? 
\item À l'aide des questions précédentes. déterminer quatre diviseurs premiers de $4^{28} -  1$.
\end{enumerate} 
 
\medskip

\textbf{Partie B.} Divisibilité par un nombre premier

\medskip

Soit $p$ un nombre premier différent de 2.
\begin{enumerate}
\item  Démontrer qu'il existe un entier $n \geqslant 1$ tel que $4^n \equiv 1 \mod p$. 
\item Soit $n \geqslant 1$ un entier naturel tel que $4^n \equiv1  \mod p$. On note $b$ le plus petit entier strictement positif tel  que $4^b \equiv 1  \mod  p$  et $r$ le reste de la division euclidienne de $n$ par $b$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que $4^r \equiv 1 \mod  p$. En déduire que $r = 0$.
		\item Prouver L'équivalence : $4^n - 1$ est divisible par $p$ si et seulement si $n$ est multiple de $b$. 
		\item En déduire que $b$ divise $p - 1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On désigne par  $f$ la fonction définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par

\[f(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^{-x}}.\]

On  note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal \Oij,  (unité graphique : 5~cm).

\bigskip

\textbf{Partie A.} Étude de la fonction $f$

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Vérifier que pour tout nombre réel $x ~:~ f(x) = \dfrac{ \text{e}^{x}}{1 + \text{e}^x}$.

\item Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+ \infty$. Interpréter graphiquement les résultats obtenus.
\item Calculer $f'(x)$ pour tout nombre réel $x$. En déduire les variations de $f$ sur $\R$.
\item Dresser le tableau des variations de $f$.
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ et ses asymptotes éventuelles dans le repère \Oij.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B.} Quelques propriétés graphiques

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On considère les points $M$ et $M'$ de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisses respectives $x$ et~$-x$. Déterminer les coordonnées du milieu $A$ du segment [$MM'$]. Que représente le point $A$ pour la courbe $\mathcal{C}$ ?
\item Soit $n$ un entier naturel. On désigne par $D_{n}$ le domaine du plan limité par la droite d'équation $y = 1$, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équations $x = 0$ et 

$x = n,~\mathcal{A}_{n}$  désigne l'aire du domaine $D_{n}$ exprimée en unité d'aire. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\mathcal{A}_{n}$. 
		\item Étudier la limite éventuelle de $\mathcal{A}_{n}$, lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C.} Calcul d'un volume.

\medskip

Soit $\lambda$ un réel positif, On note $\mathcal{V}(\lambda)$  l'intégrale $\displaystyle\int_{- \lambda}^0  \pi[f(x)]^2 \:\text{d}x$.

On admet que $\mathcal{V}(\lambda)$ est une mesure. exprimée en unité de volume, du volume engendré par la rotation autour de l'axe des abscisses, de la portion de la courbe $\mathcal{C}$ obtenue pour $- \lambda \leqslant x \leqslant 0$.
\begin{enumerate}
\item  Déterminer les nombres réels $a$ et $b$ tels que :

\[\text{pour tout nombre réel}~x  : \dfrac{\text{e}^{2x}}{\left(\text{e}^x + 1\right)^2} = \dfrac{a\text{e}^x}{\text{e}^x + 1} + \dfrac{b\text{e}^x}{\left(\text{e}^x + 1\right)^2}\]

\item Exprimer $\mathcal{V}(\lambda)$ en fonction de $\lambda$.
\item Déterminer la limite de $\mathcal{V}(\lambda)$ lorsque $\lambda$ tend vers $+ \infty$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

ABCDEFGH est le cube d'arête 1 représenté sur la feuille annexe qui sera complétée et rendue avec la copie. L'espace est rapporté au repère orthonormal $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}}~;~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}}\right)$

\medskip

\textbf{Partie A.}  Un triangle et son centre de gravité.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que le triangle BDE est équilatéral.
\item Soit I le centre de gravité du triangle BDE.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer les coordonnées de I.
		\item Démontrer que $\vect{\text{AI}} = \dfrac{1}{3}\vect{\text{AG}}$. Que peut-on en déduire pour les points A,  I, G ?
	\end{enumerate}
\item Prouver que I est le projeté orthogonal de A sur le plan (BDE).
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B.} Une droite particulière

\medskip

Pour tout nombre réel $k$, on définit deux points $M_{k}$ et $N_{k}$, ainsi qu'un plan $\mathcal{P}_{k}$ de la façon suivante :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  $M_{k}$ est le point de la droite (AG) tel que $\vect{\text{A}M_{k}} = k\vect{\text{AG}}$ ;
\item[$\bullet~$] $\mathcal{P}_{k}$ est le plan passant par $M_{k}$ et parallèle au plan (BDE) ;
\item[$\bullet~$] $N_{k}$ est le point d'intersection du plan $\mathcal{P}_{k}$ et  de la droite (BC).
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Identifier $\mathcal{P}_{\frac{1}{3}},~M_{\frac{1}{3}}$  et $N_{\frac{1}{3}}$ en utilisant des points déjà définis. Calculer la distance $M_{\frac{1}{3}}N_{\frac{1}{3}}$.
\item Calcul des coordonnées de $N_{k}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer les coordonnées de $M_{k}$ dans le repère $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}}~;~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}}\right)$.
		\item Déterminer une équation du plan $\mathcal{P}_{k}$ dans ce repère.
		\item En déduire que le point $N_{k}$ a pour coordonnées $(1~;~3k - 1~;~0)$.
	\end{enumerate}
\item Pour quelles valeurs de $k$ la droite $\left(M_{k}N_{k}\right)$ est-elle orthogonale à la fois aux droites (AG) et (BC) ?
\item Pour quelles valeurs de $k$ la distance $M_{k}N_{k}$ est-elle minimale ?
\item Tracer sur la figure donnée en annexe, la section du cube par le plan $\mathcal{P}_{\frac{1}{2}}$.

Tracer la droite  $\left(M_{\frac{1}{2}}N_{\frac{1}{2}} \right)$ sur la même figure.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 4 (commun à tous les candidats)}

\vspace{1cm}

\textbf{Feuille à compléter et à rendre avec la copie}

\vspace{4cm}

\begin{pspicture}(6,6)
\psset{unit=3cm,linewidth=1pt}
\psframe(0,0)(2,2) %ABFE
\psline(0,2)(0.75,2.75)(2.75,2.75)(2,2)%EFGH
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\uput[ul](2,2){G} \uput[ur](2.8,2.8){H} 
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document} 