%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text,pstricks} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \usepackage{fancyhdr} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat S}, pdftitle = {Centres étrangers juin 2006}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Centres étrangers}} \rfoot{\small{juin 2006}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Centres étrangers juin 2006~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A.} Restitution organisée de connaissances \medskip \fbox{\begin{minipage}{\textwidth} Prérequis : On rappelle les deux résultats suivants :\\ \textbf{i.} Si $z$ est un nombre complexe non nul, on a l'équivalence suivante : \[\left\{\begin{array}{l c l} |z|&=&r\\ \text{arg}~z &=& \theta~\text{à}~2\pi~\text{près}\\ \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l cl}z&=&r(\cos \theta + \text{i}\sin \theta)\\ r & > & 0\\ \end{array}\right.\] \textbf{ii.} Pour tous nombres réels $a$ et $b$ : \[\left\{\begin{array}{l cl} \cos (a + b)&=&\cos a\cos b - \sin a\sin b\\ \sin (a + b)&=&\sin a\cos b + \sin b \cos a\\ \end{array}\right.\] \end{minipage}} \medskip Soient $z_{1}$ et $z_{2}$ deux nombres complexes non nuls. Démontrer les relations : \[\left|z_{1}z_{2}\right| = \left|z_{1}\right|\left|z_{2}\right|~\text{et arg}\left(z_{1}z_{2}\right) = \text{arg}\left(z_{1}) + \text{arg}(z_{2}\right)~\text{à}~2\pi~\text{près}\] \medskip \textbf{Partie B.} \medskip Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une démonstration pour la réponse indiquée. Dans le cas d'une proposition fausse, la démonstration consistera à fournir un contre-exemple. Une réponse sans démonstration ne rapporte pas de point. On rappelle que si $z$ est un nombre complexe, $\overline{z}$ désigne le conjugué de $z$ et $|z|$ désigne le module de $z$. \medskip \begin{enumerate} \item Si $z = - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}$, alors $z^4$ est un nombre réel. \item Si $z + \overline{z} = 0$, alors $z = 0$. \item Si $z + \dfrac{1}{z} = 0$, alors $z = \text{i}$ ou $z = - \text{i}$. \item Si $|z| = 1$ et si $|z + z'| = 1$, alors $z' = 0$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Réservé aux candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité} \medskip On lance un dé tétraédrique dont les quatre faces portent les nombres 1, 2, 3 et 4. On lit le nombre sur la face cachée. Pour $k \in \{1~;~2~;~3~;~4)$, on note $p_{i}$ la probabilité d'obtenir le nombre $k$ sur la face cachée. Le dé est déséquilibré de telle sorte que les nombres $p_{1},~p_{2},~p_{3}$ et $p_{4}$ dans cet ordre, forment une progression arithmétique. \medskip \begin{enumerate} \item Sachant que $p_{4} = 0,4$ démontrer que $p_{1}= 0,1,~p_{2} = 0,2$ et $p_{3} = 0,3$. \item On lance le dé trois fois de suite. On suppose que les lancers sont deux à deux indépendants. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité d'obtenir dans l'ordre les nombres 1, 2, 4 ? \item Quelle est la probabilité d'obtenir trois nombres distincts rangés dans l'ordre croissant ? \end{enumerate} \item On lance $10$ fois de suite le dé. On suppose les lancers deux à deux indépendants. On note $X$ la variable aléatoire qui décompte le nombre de fois où le chiffre 4 est obtenu. \begin{enumerate} \item Pour $1 \leqslant i \leqslant 10$, exprimer en fonction de $i$ la probabilité de l'évènement $(X = i$). \item Calculer l'espérance mathématique de $X$. Interpréter le résultat obtenu. \item Calculer la probabilité de l'évènement ($X \geqslant 1$). On donnera une valeur arrondie au millième. \end{enumerate} \item Soit $n$ un entier naturel non nul. On lance $n$ fois le dé, les lancers étant encore supposés indépendants deux à deux. On note $U_{n}$ la probabilité d'obtenir pour la première fois le nombre 4 au $n$-ième lancer. \begin{enumerate} \item Montrer que $\left(U_{n}\right)$ est une suite géométrique et qu'elle est convergente. \item Calculer $S_{n} = \displaystyle\sum_{i = 1}^n U_{i}$ puis étudier la convergence de la suite $\left(S_{n}\right)$. \item Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $S_{n} > 0,999$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Réservé aux candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité} \medskip Le but de l'exercice est d'étudier certaines propriétés de divisibilité de l'entier $4^n -1$, lorsque $n$ est un entier naturel. On rappelle la propriété connue sous le nom de petit théorème de Fermat : \og si $p$ est un nombre entier et $a$ un entier naturel premier avec $p$, alors $a^{p-1} -1 \equiv 0 \mod p $\fg. \bigskip \textbf{Partie A.} Quelques exemples \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n,~ 4^n$ est congru à $1$ modulo $3$. \item Prouver à l'aide du petit théorème de Fermat, que $4^{28} - 1$ est divisible par $29$. \item Pour $1 \leqslant n \leqslant 4$ , déterminer le reste de la division de $4^n$ par $17$. En déduire que, pour tout entier $k$, le nombre $4^{4k} - 1$ est divisible par $17$. \item Pour quels entiers naturels $n$ le nombre $4^n - 1$ est-il divisible par $5$ ? \item À l'aide des questions précédentes. déterminer quatre diviseurs premiers de $4^{28} - 1$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B.} Divisibilité par un nombre premier \medskip Soit $p$ un nombre premier différent de 2. \begin{enumerate} \item Démontrer qu'il existe un entier $n \geqslant 1$ tel que $4^n \equiv 1 \mod p$. \item Soit $n \geqslant 1$ un entier naturel tel que $4^n \equiv1 \mod p$. On note $b$ le plus petit entier strictement positif tel que $4^b \equiv 1 \mod p$ et $r$ le reste de la division euclidienne de $n$ par $b$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $4^r \equiv 1 \mod p$. En déduire que $r = 0$. \item Prouver L'équivalence : $4^n - 1$ est divisible par $p$ si et seulement si $n$ est multiple de $b$. \item En déduire que $b$ divise $p - 1$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On désigne par $f$ la fonction définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par \[f(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^{-x}}.\] On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal \Oij, (unité graphique : 5~cm). \bigskip \textbf{Partie A.} Étude de la fonction $f$ \medskip \begin{enumerate} \item Vérifier que pour tout nombre réel $x ~:~ f(x) = \dfrac{ \text{e}^{x}}{1 + \text{e}^x}$. \item Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+ \infty$. Interpréter graphiquement les résultats obtenus. \item Calculer $f'(x)$ pour tout nombre réel $x$. En déduire les variations de $f$ sur $\R$. \item Dresser le tableau des variations de $f$. \item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ et ses asymptotes éventuelles dans le repère \Oij. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B.} Quelques propriétés graphiques \medskip \begin{enumerate} \item On considère les points $M$ et $M'$ de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisses respectives $x$ et~$-x$. Déterminer les coordonnées du milieu $A$ du segment [$MM'$]. Que représente le point $A$ pour la courbe $\mathcal{C}$ ? \item Soit $n$ un entier naturel. On désigne par $D_{n}$ le domaine du plan limité par la droite d'équation $y = 1$, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = n,~\mathcal{A}_{n}$ désigne l'aire du domaine $D_{n}$ exprimée en unité d'aire. \begin{enumerate} \item Calculer $\mathcal{A}_{n}$. \item Étudier la limite éventuelle de $\mathcal{A}_{n}$, lorsque $n$ tend vers $+\infty$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C.} Calcul d'un volume. \medskip Soit $\lambda$ un réel positif, On note $\mathcal{V}(\lambda)$ l'intégrale $\displaystyle\int_{- \lambda}^0 \pi[f(x)]^2 \:\text{d}x$. On admet que $\mathcal{V}(\lambda)$ est une mesure. exprimée en unité de volume, du volume engendré par la rotation autour de l'axe des abscisses, de la portion de la courbe $\mathcal{C}$ obtenue pour $- \lambda \leqslant x \leqslant 0$. \begin{enumerate} \item Déterminer les nombres réels $a$ et $b$ tels que : \[\text{pour tout nombre réel}~x : \dfrac{\text{e}^{2x}}{\left(\text{e}^x + 1\right)^2} = \dfrac{a\text{e}^x}{\text{e}^x + 1} + \dfrac{b\text{e}^x}{\left(\text{e}^x + 1\right)^2}\] \item Exprimer $\mathcal{V}(\lambda)$ en fonction de $\lambda$. \item Déterminer la limite de $\mathcal{V}(\lambda)$ lorsque $\lambda$ tend vers $+ \infty$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Commun àˆ tous les candidats} \medskip ABCDEFGH est le cube d'arête 1 représenté sur la feuille annexe qui sera complétée et rendue avec la copie. L'espace est rapporté au repère orthonormal $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}}~;~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}}\right)$ \medskip \textbf{Partie A.} Un triangle et son centre de gravité. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que le triangle BDE est équilatéral. \item Soit I le centre de gravité du triangle BDE. \begin{enumerate} \item Calculer les coordonnées de I. \item Démontrer que $\vect{\text{AI}} = \dfrac{1}{3}\vect{\text{AG}}$. Que peut-on en déduire pour les points A, I, G ? \end{enumerate} \item Prouver que I est le projeté orthogonal de A sur le plan (BDE). \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B.} Une droite particulière \medskip Pour tout nombre réel $k$, on définit deux points $M_{k}$ et $N_{k}$, ainsi qu'un plan $\mathcal{P}_{k}$ de la façon suivante : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] $M_{k}$ est le point de la droite (AG) tel que $\vect{\text{A}M_{k}} = k\vect{\text{AG}}$ ; \item[$\bullet~$] $\mathcal{P}_{k}$ est le plan passant par $M_{k}$ et parallèle au plan (BDE) ; \item[$\bullet~$] $N_{k}$ est le point d'intersection du plan $\mathcal{P}_{k}$ et de la droite (BC). \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Identifier $\mathcal{P}_{\frac{1}{3}},~M_{\frac{1}{3}}$ et $N_{\frac{1}{3}}$ en utilisant des points déjà définis. Calculer la distance $M_{\frac{1}{3}}N_{\frac{1}{3}}$. \item Calcul des coordonnées de $N_{k}$. \begin{enumerate} \item Calculer les coordonnées de $M_{k}$ dans le repère $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}}~;~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}}\right)$. \item Déterminer une équation du plan $\mathcal{P}_{k}$ dans ce repère. \item En déduire que le point $N_{k}$ a pour coordonnées $(1~;~3k - 1~;~0)$. \end{enumerate} \item Pour quelles valeurs de $k$ la droite $\left(M_{k}N_{k}\right)$ est-elle orthogonale à la fois aux droites (AG) et (BC) ? \item Pour quelles valeurs de $k$ la distance $M_{k}N_{k}$ est-elle minimale ? \item Tracer sur la figure donnée en annexe, la section du cube par le plan $\mathcal{P}_{\frac{1}{2}}$. Tracer la droite $\left(M_{\frac{1}{2}}N_{\frac{1}{2}} \right)$ sur la même figure. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE} \vspace{1cm} \textbf{Exercice 4 (commun à tous les candidats)} \vspace{1cm} \textbf{Feuille à compléter et à rendre avec la copie} \vspace{4cm} \begin{pspicture}(6,6) \psset{unit=3cm,linewidth=1pt} \psframe(0,0)(2,2) %ABFE \psline(0,2)(0.75,2.75)(2.75,2.75)(2,2)%EFGH \psline(2.75,2.75)(2.75,0.75)(2,0)%BCG \psline[linestyle=dashed](0,0)(0.75,0.75)%AD \psline[linestyle=dashed](0.75,0.75)(0.75,2.75)%DH \psline[linestyle=dashed](2.75,0.75)(0.75,0.75)%DC \uput[dr](0.6,0.9){A} \uput[dl](0,0){B} \uput[dr](2,0){C} \uput[dr](2.75,0.75){D} \uput[dr](0.6,3){E} \uput[ul](0,2){F} \uput[ul](2,2){G} \uput[ur](2.8,2.8){H} \end{pspicture} \end{center} \end{document}