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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{15 juin 2007}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{Baccalauréat S Centres étrangers 15 juin 2007}}
 \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Pour chacune des questions de ce QCM une seule, des trois propositions \text{A,~ B} ou \text{C} est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.\\
Une réponse exacte rapporte $0,5$ point . (Une réponse inexacte enlève $0,25$ point. L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.\\
Si le total est négatif la note de l'exercice est ramenée à $0$.}

\medskip
  
Une urne contient $8$ boules indiscernables au toucher, $5$ sont rouges et $3$ sont noires.
\begin{enumerate}
\item  On tire au hasard simultanément $3$ boules de l'urne. 
	\begin{enumerate}
		\item  La probabilité de tirer $3$ boules noires est :
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{A.}~~$\dfrac{1}{56}$&\textbf{B.}~~$\dfrac{1}{120}$&\textbf{C.}~~$\dfrac{1}{3}$\\
\end{tabularx}
		\item La probabilité de tirer 3 boules de la même couleur est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{A.}~~ $\dfrac{11}{56}$&\textbf{B.}~~ $\dfrac{11}{120}$& 	\textbf{C.}~~ $\dfrac{16}{24}$\\
\end{tabularx}
	\end{enumerate}
\item  On tire au hasard une boule dans l'urne, on note sa couleur, on la remet dans l'urne ; on procède ainsi à $5$ tirages successifs et deux à deux indépendants. 
	\begin{enumerate}
		\item  La probabilité d'obtenir $5$ fois une boule noire est :
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{A.}~~$\left(\dfrac{3}{8}\right)^3 \times \left(\dfrac{3}{8}\right)^3$&\textbf{B.}~~$\left(\dfrac{3}{8}\right)^5$&\textbf{C.}~~$\left(\dfrac{1}{5}\right)^5$
\end{tabularx}	
\item  La probabilité d'obtenir 2 boules noires et 3 boules rouges est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{A.}~~$\left(\dfrac{5}{8}\right)^3 \times \left(\dfrac{3}{8}\right)^2$&\textbf{B.}~~$2 \times \dfrac{5}{8} + 3 \times \dfrac{3}{8}$&\textbf{C.}~~$10 \times \left(\dfrac{5}{8}\right)^3 \times \left(\dfrac{3}{8}\right)^2$
\end{tabularx}	
\end{enumerate}
\item  On tire successivement et sans remise deux boules dans cette urne. On note :

\setlength\parindent{5mm} 
\begin{itemize}
\item $R_{1}$ l'évènement : \og La première boule tirée est rouge \fg{} ;
\item $N_{1}$ l'évènement : \og La première boule tirée est noire \fg{} ;
\item $R_{2}$ l'évènement : \og La deuxième boule tirée est rouge \fg{} ; 
\item $N_{2}$ l'évènement : \og La deuxième boule tirée est noire \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 

\begin{enumerate}
\item La probabilité conditionnelle $P_{R_{1}}\left(R_{2}\right)$ est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{A.}~~$\dfrac{5}{8}$&\textbf{B.}~~$\dfrac{4}{7}$&\textbf{C.}~~$\dfrac{5}{14}$\\
\end{tabularx}
\item  La probabilité de l'évènement $R_{1} \cap  N_{2}$ est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{A.}~~$\dfrac{16}{49}$&\textbf{B.}~~$\dfrac{15}{64}$& 	\textbf{C.}~~$\dfrac{15}{56}$\\
\end{tabularx}
		\item  La probabilité de tirer une boule rouge au deuxième tirage est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{A.}~~$\dfrac{5}{8}$&\textbf{B.}~~$\dfrac{5}{7}$&\textbf{C.}~~$\dfrac{3}{28}$\\
\end{tabularx}
		\item  La probabilité de tirer une boule rouge au premier tirage sachant qu'on a obtenu une boule noire au second tirage est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{A.}~~$\dfrac{15}{56}$&\textbf{B.}~~$\dfrac{3}{8}$& 	\textbf{C.}~~$\dfrac{5}{7}$\\
\end{tabularx}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Réservé aux candidats n'ayant pas suivi !'enseignement de spécialité}

\medskip

\textbf{I. Restitution organisée de connaissances}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Démontrer qu'un nombre complexe $z$ est imaginaire pur si et seulement si $\overline{z} =  - z$.
\item  Démontrer qu'un nombre complexe $z$ est réel si et seulement si $\overline{z}= z$.
\item  Démontrer que pour tout nombre complexe $z$, on a l'égalité : $z\overline{z} = |z|^2$.
\end{enumerate}

\medskip

Le plan complexe est rapporté a un repère orthonormal direct \Ouv. On se propose de démontrer, à l'aide des nombres complexes, que tout triangle de sommets A, B, C, deux à deux distincts, d'affixes respective $a,~b,~c$, et dont le centre du cercle circonscrit est situé à l'origine O, a pour orthocentre le point H d'affixe $a + b + c$.

\medskip

\textbf{Il.  Étude d'un cas particulier}

\medskip

On pose : $a = 3 + \text{i}$, \: $b = - 1 + 3\text{i}$, \: $c = - \sqrt{5} - \text{i}\sqrt{5}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Vérifier que O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
\item  Placer les points A, B, C et le point H d'affixe $a + b + c$, puis vérifier graphiquement que le point H est l'orthocentre du triangle ABC.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{III. Étude du cas général.}

\medskip

ABC est un triangle dont O est le centre du cercle circonscrit, et $a$,  $b$, \:$c$ sont les affixes respectives des points A, B, C.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Justifier le fait que O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC si et seulement si :
\item
	\begin{enumerate}
On pose $w = \barre{b}c - b\barre{c}$.

		\item En utilisant la caractérisation d'un nombre imaginaire pur établie dans le I., démontrer que $w$ est imaginaire pur.
		\item  Vérifier	l'égalité : $(b + c)\left(\barre{b} - \barre{c}\right) = w$ et justifier que : $\dfrac{b + c}{b - c} = \dfrac{w}{|b - c|^2}.$
		\item  En déduire que le nombre complexe $\dfrac{b + c}{b - c}$ est imaginaire pur. 
	\end{enumerate}
\item  Soit H le point d'affixe $a + b + c$.
	\begin{enumerate}
		\item  Exprimer en  fonction de $a,~b$ et $c$ les affixes des vecteurs $\vect{\text{AH}}$ et $\vect{\text{CB}}$.
		\item  Prouver que $\left(\vect{\text{CB}},~\vect{\text{AH}}\right) = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$, où $k$ est un entier relatif quelconque.
		
(On admet de même que $\left(\vect{\text{CA}},~\vect{\text{BH}}\right) = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$).
		\item  Que représente le point H pour le triangle ABC ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Réservé aux  candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. L'unité graphique est 2~cm.

Le but de cet exercice est d'étudier la similitude plane indirecte $f$ d'écriture complexe :

\[z'= \text{i}\sqrt{2}\overline{z} + 2\text{i}\sqrt{2} - 2,\]

et d'en donner deux décompositions.

\medskip

\textbf{I. Restitution organisée de connaissances}

\medskip

On rappelle que l'écriture complexe d'une similitude plane directe autre qu'une translation est de la forme $z'= az +  b$, où $a$ et $b$ sont des nombres complexes avec $a \neq 1$.

Déterminer en fonction de $a$ et de $b$ l'affixe du centre d'une telle similitude plane directe.

\medskip

\textbf{II. Première décomposition de} \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

Soit $g$ la similitude plane directe d'écriture complexe:

\[z'= \text{i}\sqrt{2} z +2\text{i}\sqrt{2} - 2.\]

\begin{enumerate}
\item  Préciser les éléments caractéristiques de $g$ (centre, rapport, angle).
\item  Déterminer une réflexion $s$ telle que $f = g \circ s$,
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{III. Deuxième décomposition de} \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Montrer que $f$ admet un unique point invariant noté $\Omega$. Déterminer l'affixe $\omega$ de $\Omega$.
\item Soit $\mathcal{D}$ la droite d'équation : $y = x+2$.

Montrer que pour tout point $N$ appartenant à $\mathcal{D}$, le point $f(N)$ appartient aussi à $\mathcal{D}$.
\item Soit $\sigma$ la réflexion d'axe $\mathcal{D}$ et $k$ la transformation définie par : $k = f \circ \sigma$.
	\begin{enumerate}
		\item  Donner l'écriture complexe de $\sigma$.

(Indication : on pourra poser $z'= a\overline{z} + b$ et utiliser deux points invariants par $\sigma$ pour déterminer les nombres complexes $a$ et $b$.)
		\item  En déduire que l'écriture complexe de $k$ est : $ z'=\sqrt{2}z + 2\sqrt{2} - 2$.
		\item  Donner la nature de la transformation $k$ et préciser ses éléments caractéristiques.
	\end{enumerate}
\item  Déduire de ce qui précède une écriture de la similitude indirecte $f$ comme composée d'une réflexion et d'une homothétie,
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Dans un plan muni d'un repère orthonormal \Oij, on désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative d'une fonction $f$ définie et dérivable sur un intervalle I  de $\R,~f$ et $f'$ ne s'annulant pas sur l'intervalle I.

On note $M$ un point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $x$ et d'ordonnée $y=f(x)$.

On désigne par $\mathcal{T}$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point $M$.

On rappelle qu'une équation de $\mathcal{T}$ est de la forme : $Y = f'(x)[X - x]+ f(x)$.

\medskip

\textbf{I. Question préliminaire}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Montrer que $\mathcal{T}$ coupe l'axe des abscisses en un point $H$ dont l'abscisse $X_{T}$ vérifie :

\[X_{T} = x  - \dfrac{f(x)}{f'(x)}.\]

\item  Montrer que $\mathcal{T}$ coupe l'axe des ordonnées en un point $K$ dont l'ordonnée $Y_{T}$ vérifie :
\[Y_{T} = f(x) - xf'(x).\]
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{II.}  $k$ désigne un réel fixé non nul. On cherche à déterminer les fonctions $f$ pour lesquelles la différence $x - X_{T}$ est constante, et égale à $k$, pour tout nombre réel $x$. (Propriété 1)

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que $f$ vérifie la propriété 1 si et seulement si $f$ vérifie l'équation différentielle :

\[y' = \dfrac{1}{k}y\]

\item  En déduire la famille des fonctions vérifiant la propriété 1 et déterminer pour $k = \dfrac{1}{2}$ la fonction $f$ de cette famille qui vérifie de plus la condition : $f(0)= 1$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{III.} $k$ désigne un réel fixé non nul. On cherche à déterminer les fonctions $f$ pour lesquelles la différence $y - Y_{T}$ est constante et égale à $k$, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle
I $ = ]0~;~+\infty[$.  (Propriété 2)

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que $f$ vérifie la condition posée si et seulement si $f$  vérifie l'équation différentielle :

\[y' = \dfrac{k}{x}.\]

\item  En déduire la famille des fonctions vérifiant la propriété 2 et déterminer pour $k = \dfrac{1}{2}$ la fonction $f$ de cette famille qui vérifie la condition : $f(1) = 0$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Le but de l'exercice est de montrer  que l'équation (E) : $\text{e}^x = \dfrac{1}{x}$, admet une unique solution dans  l'ensemble $\R$ des nombres réels, et de construire une suite qui converge vers cette unique solution.

\medskip

\textbf{I. Existence et unicité de la solution}

\medskip

 On note $f$ la fonction définie sur $\R$ par : $f(x)=x - \text{e}^{-x}$.

\begin{enumerate}
\item  Démonter que $x$ est solution de l' équation (E) si et seulement si $f(x) =  0$.

\item  Étude du signe de la fonction $f$ 
	\begin{enumerate}
		\item  Étudier le sens de variations de la fonction $f$ sur $\R$. 
		\item  En déduire que l'équation (E) possède une unique solution sur $\R$, notée~$\alpha$.
		\item  Démontrer que $\alpha$ appartient à l'intervalle $\left[\dfrac{1}{2}~;~1\right]$.
		\item  Étudier le signe de $f$  sur l'intervalle $[0~;~\alpha]$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{II. Deuxième approche}

\medskip

On note $g$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~1] par : $g(x) = \dfrac{1 + x}{1 + \text{e}^x}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ est équivalente à l'équation $g(x) = x$.
\item  En déduire que $\alpha$ est l'unique réel vérifiant : $g(\alpha)  = \alpha$.
\item  Calculer $g'(x)$ et en déduire que la fonction $g$ est croissante sur l'intervalle $[0~;~\alpha]$.
\end{enumerate}

\textbf{III. Construction d'une suite de réels ayant pour limite}  $\alpha$

\medskip

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : $u_{0} =0$ et, pour tout entier naturel $n$, par : $u_{n+1} =  g\left(u_{n}\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ : 

$0 \leqslant  u_{n} \leqslant u_{n+1} \leqslant  \alpha$.
\item  En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. On note $\ell$ sa limite.
\item  Justifier l'égalité : $g(\ell) = \ell$. En déduire la valeur  de $\ell$.
\item  À l'aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée de $u_{4}$ arrondie à la  sixième décimale.
\end{enumerate}

\end{document}